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2014-2015高中数学 1.2.3 空间中的垂直关系(2) 平面与平面垂直学案 新人教B版必修2



1.2.3 空间中的垂直关系(2)——平面与平面垂直 自主学习 学习目标 1.掌握两个平面互相垂直的概念,并能利用判定定理,判定两个平面互相垂直. 2.掌握两个平面垂直的性质定理,并能利用该定理作平面的垂线. 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系. 自学导引 1. 如果两个相交平面的交线与第三个平面______, 又这两个平面与第三个平面相交所得 的两条交线互相__

____,就称这两个平面互相垂直. 2.如果一个平面过另一个平面的__________,则两个平面互相垂直. 3. 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个 平面. 对点讲练 知识点一 面面垂直的证明 例1 如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点. 求证:平面 EDB⊥平面 ABCD. 点评 将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键,另外利用面面垂直的定义求二 面角的平面角是 90°(如例 1). 变式训练 1 1 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E、F、G 分别为 CD、DA 和对角线 AC 的中点. 求证:平面 BEF⊥平面 BGD. 知识点二 面面垂直的性质定理的应用 例2 如图所示, P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点, ABCD 是∠DAB=60°且边长为 a 的菱形. 侧 面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB. 2 点评 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,再一种方法是利用面面垂 直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定 理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个 平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线. 变式训练 2 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠BCD=120°,平 面 PCD⊥平面 ABCD,PC=a,PD= 2a,E 为 PA 的中点.求证:平面 EDB⊥平面 ABCD. 知识点三 线线、线面、面面垂直的综合应用 例3 如图所示,平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 为垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形. 3 点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面,有时需考虑多种情况 的综合. 在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法 是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线 线垂直. 变式训练 3 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,AB=BC.能否在侧棱 BB1 上找到一 点 E,使得截面 A1EC⊥侧面 AA1C1C?若能找到,指出点 E 的位置;若不能找到,说明理由. 1.面面垂直的证法 (1)定义法; (2)判定定理法. 2. 面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理. 至此判定线面垂直的方法主要 有以下五种: (1)线面垂直的定义;(2)线面垂直的判定定理; (3)面面垂直的性质定理; (4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于同一平面, ? a∥b ? ? a⊥α ? ? b⊥α . (5)如果一条直线垂直


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