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2015-2016学年人教版必修二 第三章 第四章 圆与方程 单元测试3



2015-2016 学年人教版必修二 第三章 第四章 圆与方 程 单元测试
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.下面表示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 2

2.若方程 x +y -x+y+m=0 表示圆,则实数 m 的取值范围为 ( ) 1 A.m<2 B.m<0 1 1 C.m>2 D.m≤2 3.已知空间两点 P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( ) A. 74 B.3 10 C. 14 D. 53 2 2 4.圆 x +y +2x-4y=0 的圆心坐标和半径分别是( ) A.(1,-2),5 B.(1,-2), 5 C.(-1,2),5 D.(-1,2), 5 5.圆心为(1,-1),半径为 2 的圆的方程是( ) 2 2 A.(x-1) +(y+1) =2 B.(x+1)2+(y-1)2=4 C.(x+1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=4 6.直线 l:x-y=1 与圆 C:x2+y2-4x=0 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 2 2 7.当点 P 在圆 x +y =1 上变动时,它与定点 Q(3,0)连线段 PQ 中点的轨迹方程是( )

A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1 8. (2011~2012· 北京东城区高三期末检测)直线 l 过点(-4,0), 且 2 2 与圆(x+1) +(y-2) =25 交于 A,B 两点,如果|AB|=8,那么直线 l 的方程为( ) A.5x+12y+20=0 B.5x-12y+20=0 或 x+4=0 C.5x-12y+20=0 D.5x+12y+20=0 或 x+4=0 9.一束光线从点 A(-1,1)发出,并经过 x 轴反射,到达圆(x-2)2 +(y-3)2=1 上一点的最短路程是( ) A.4 B.5 C.3 2-1 D.2 6 10.(2012· 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5= 2 2 0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长等于( ) A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1 11.方程 4-x2=lg x 的根的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 12. 过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C: (x-2)2+y2=9 交于 A、 B 两点, C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线 l 的方程为( ) A.x=1 B.y=1 C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确 答案填在题中横线上) 13.点 P(3,4,5)关于原点的对称点是________. 14.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,-2,5),B(-1,0,1),C(3, -4,5),则边 BC 上的中线长为________. 15.已知圆 C:(x-1)2+(y+2)2=4,点 P(0,5),则过 P 作圆 C 的切线有且只有________条. 16.与直线 x+y-2=0 和曲线 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切 的半径最小的圆的标准方程是________. 三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)求经过点 P(3,1)且与圆 x2+y2=9 相切的直 线方程.

[分析] 提示一:将点 P(3,1)代入圆的方程得 32+12=10>9,所 以点 P 在圆外,可设过点 P 的圆的切线斜率为 k,写出点斜式方程再 化为一般式.根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质,由点到 直线的距离公式列出含 k 的方程,由方程解得 k,然后代回所设切线 方程即可. 提示二:直线与圆相切,就是直线与圆有唯一公共点,于是将两 曲线方程联立所得的方程组有唯一解,从而方程判别式 Δ=0,由此 解得 k 值,然后回代所设切线方程即可.

18.(本题满分 12 分)(2011~2012· 宁波高一检测)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, M 为 BD1 的中点, N 在 A1C1 上, 且|A1N| =3|NC1|,试求 MN 的长. 19.(本小题满分 12 分)已知实数 x、y 满足方程(x-3)2+(y-3)2 =6,求 x+y 的最大值和最小值. 20.(本题满分 12 分)已知直线 l1:x-y-1=0,直线 l2:4x+3y +14=0,直线 l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线 l1 上,与直线 l2 相 切,截直线 l3 所得的弦长为 6 的圆的方程. [分析] 设出圆心坐标和半径,利用圆的几何性质求解. 21.(本题满分 12 分)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0,O 为坐 标原点,动点 P 在圆 C 外,过 P 作圆 C 的切线,设切点为 M. (1)若点 P 运动到(1,3)处,求此时切线 l 的方程; (2)求满足条件|PM|=|PO|的点 P 的轨迹方程. [分析] (1)对切线的斜率是否存在分类讨论;(2)设出 P 的坐标, 代入平面内两点间的距离公式,化简得轨迹方程. 22. (本题满分 12 分)已知圆 P: (x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0), 满足: ①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3: 1. 求在满足条件①②的所有圆中,使代数式 a2-b2-2b+4 取得最 小值时,圆的方程.

[分析] 根据条件可以判断出圆 P 被 x 轴截得的劣弧的圆心角为 90° ,建立起 r,a,b 之间的方程组,然后解出相应的 a,b,r 间的 关系,最后借助于一元二次函数解决. 2015-2016 学年人教版必修二 第三章 第四章 圆与方程 单元测 试详解答案 1[答案] C [解析] 根据空间直角坐标系的规定可知(1)(2)(4)都正确,(3)中, Oy 轴的正向应为负向,∴选 C. 2[答案] A 1 [解析] (-1)2+12-4m>0,∴m<2,故选 A. 3[答案] A [解析] |P1P2|= ?-1-2?2+?3-4?2+?5+3?2= 74. 4[答案] D [解析] 圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5, 则圆心是 (-1,2),半径为 5. 5[答案] D [解析] 由圆的标准方程得圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=4. 6[答案] C [解析] 圆 C 的圆心为 C(2,0),半径为 2,圆心 C 到直线 l 的距 |2-1| 2 离 d= = 2 <2,所以圆与直线相交. 2 7[答案] C [解析] 设 PQ 中点坐标为(x,y),则 P(2x-3,2y)代入 x2+y2=1 得(2x-3)2+4y2=1,故选 C. 8[答案] D [解析] 由题意,得圆心 C(-1,2),半径 r=5,当直线 l 的斜率 不存在时,直线 l 的方程为 x+4=0,解方程组 2 2 ? ? ? ??x+1? +?y-2? =25, ?x=-4, ?x=-4, ? ? 得 或? 即此时与 ? ? ? ?x+4=0, ?y=-2 ?y=6, 圆 C 的交点坐标是(-4,-2)和(-4,6),则|AB|=8,即 x+4=0 符合 题意;当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+4),即 kx |-k-2+4k| |3k-2| -y+4k=0, 圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 2 , 又|AB| k2+1 k +1 =2 r2-d2,

|3k-2| 2 5 ? =8,解得 k=-12, 2 k +1 5 5 则直线 l 的方程为-12x-y+4×(-12)=0, 即 5x+12y+20=0. 9[答案] A [解析] 点 A 关于 x 轴的对称点是 A′(-1,-1),圆心 C(2,3), 半径 r=1, 则 |A′C| = ?-1-2?2+?-1-3?2 = 5 ,则最短路程是 |A′C| - r =5-1=4. 10[答案] B [解析] 圆 x2+y2=4 的圆心 O(0,0)到直线 3x+4y-5=0 的距离 |-5| d= 5 =1,弦 AB 的长|AB|=2 r2-d2=2 3. 11[答案] B [解析] 设 f(x)= 4-x,g(x)=lg x,则方程根的个数就是 f(x)与 g(x)两个函数图象交点的个数.如图所示,在同一平面直角坐标系中 画出这两个函数的图象. 所以 2 25-?

由图可得函数 f(x)= 4-x2与 g(x)=lg x 仅有 1 个交点,所以方 程仅有 1 个根. 12[答案] D [解析] 当 CM⊥l,即弦长最短时,∠ACB 最小, 1 ∴kl· kCM=-1,∴kl=2, ∴l 的方程为:x-2y+3=0. [点评] 过⊙C 内一点 M 作直线 l 与⊙C 交于 A、B 两点,则弦 AB 的长最短?弦 AB 对的劣弧最短?弦对的圆心角最小?圆心到直 线 l 的距离最大?CM⊥l?弦 AB 的中点为 M,故以上各种说法反映 的是同一个问题.

13[答案] (-3,-4,-5) [解析] ∵点 P(3,4,5)与 P′(x,y,z)的中点为坐标原点, ∴P′点的坐标为(-3,-4,-5). 14[答案] 2 [ 解 析 ] BC 的 中 点 为 D(1 , - 2,3) , 则 |AD| = ?1-1?2+?-2+2?2+?5-3?2=2. 15[答案] 2 [解析] 由 C(1,-2),r=2, 则|PC|= 12+?-2-5?2=5 2>r=2, ∴点 P 在圆 C 外,∴过 P 作圆 C 的切线有两条. 16[答案] (x-2)2+(y-2)2=2 [解析] ∵⊙A:(x-6)2+(y-6)2=18 的圆心 A(6,6),半径 r1= 3 2,∵A 到 l 的距离 5 2, ∴所求圆 B 的直径 2r2=2 2,即 r2= 2. n-6 设 B(m,n),则由 BA⊥l 得 =1, m-6 |m+n-2| 又∵B 到 l 距离为 2,∴ = 2, 2 解出 m=2,n=2. 故其方程为(x-2)2+(y-2)2=2. 17[解析] 解法一:当过点 P 的切线斜率存在时,设所求切线的 斜率为 k, 由点斜式可得切线方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y-3k+1=0, |-3k+1| 4 ∴ = 3 ,解得 k =- 3. k2+1 4 故所求切线方程为-3x-y+4+1=0,即 4x+3y-15=0. 当过点 P 的切线斜率不存在时,方程为 x=3,也满足条件. 故所求圆的切线方程为 4x+3y-15=0 或 x=3. 解法二:设切线方程为 y-1=k(x-3), ? ?y-1=k?x-3?, 将方程组? 2 2 ,消去 y 并整理得 ?x +y =9 ? (k2+1)x2-2k(3k-1)x+9k2-6k-8=0. 因为直线与圆相切,∴Δ=0, 即[-2k(3k-1)]2-4(k2+1)(9k2-6k-8)=0. 4 解得 k=-3.

所以切线方程为 4x+3y-15=0. 又过点 P(3,1)与 x 轴垂直的直线 x=3 也与圆相切, 故所求圆的切线方程为 4x+3y-15=0 或 x=3. [点评] 若点在圆外,所求切线有两条,特别注意当直线斜率不 存在时的情况,不要漏解. 18[解析] 以 D 为原点建立如图所示坐标系,

则 B(a,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a). a a a 由于 M 为 BD1 的中点,所以 M(2,2,2),取 A1C1 中点 O1,则 a a O1(2,2,a), 因为|A1N|=3|NC1|,所以 N 为 O1C1 的中点, a 3 故 N(4,4a,a). 由两点间的距离公式可得: a a a 3 a |MN|= ?2-4?2+?2-4a?2+?2-a?2 6 = 4 a. [ 点评 ] 空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离 公式求解. 19[解析] 设 x+y=t, 则直线 y=-x+t 与圆(x-3)2+(y-3)2=6 有公共点 |3+3-t| ∴ ≤ 6,∴6-2 3≤t≤6+2 3 2 因此 x+y 最小值为 6-2 3,最大值为 6+2 3. 20[解析] 设圆心为 C(a,a-1),半径为 r,

则点 C 到直线 l2 的距离 |4a+3?a-1?+14| |7a+11| d1= = 5 . 5 |3a+4?a-1?+10| |7a+6| 点 C 到直线 l3 的距离是 d2= = 5 . 5 11| ?|7a+ 5 =r, 由题意,得? |7a+6| ? ? 5 ? +3 =r .
2 2 2

解得 a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25. 21[解析] 把圆 C 的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4, ∴圆心为 C(-1,2),半径 r=2. (1)当 l 的斜率不存在时,此时 l 的方程为 x=1,C 到 l 的距离 d =2=r,满足条件. 当 l 的斜率存在时, 设斜率为 k,得 l 的方程为 y-3=k(x-1), 即 kx-y+3-k=0, |-k-2+3-k| 3 则 = 2 ,解得 k =- 4. 1+k2 3 ∴l 的方程为 y-3=-4(x-1), 即 3x+4y-15=0. 综上,满足条件的切线 l 的方程为 x=1 或 3x+4y-15=0. (2)设 P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4, |PO|2=x2+y2, ∵|PM|=|PO|. ∴(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2, 整理,得 2x-4y+1=0, ∴点 P 的轨迹方程为 2x-4y+1=0. 22[解析] 如下图所示,圆心坐标为 P(a,b),半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴的距离分别为|b|,|a|.

∵圆 P 被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1, ∴∠APB=90° . 取 AB 的中点 D,连接 PD, 则有|PB|= 2|PD|,∴r= 2|b|. 取圆 P 截 y 轴的弦的中点 C,连接 PC,PE. ∵圆截 y 轴所得弦长为 2, ∴|EC|=1,∴1+a2=r2, 即 2b2-a2=1. 则 a2-b2-2b+4=b2-2b+3=(b-1)2+2. ∴当 b=1 时,a2-b2-2b+4 取得最小值 2, 此时 a=1,或 a=-1,r2=2. 对应的圆为:(x-1)2+(y-1)2=2, 或(x+1)2+(y-1)2=2. ∴使代数式 a2-b2-2b+4 取得最小值时,对应的圆为 (x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y-1)2=2. [点评] (1)当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离为 d +r,最小距离为 d-r,其中 d 为圆心到直线的距离. (2)当直线与圆相交时,设弦长为 l,弦心距为 d,半径为 r,则有 l (2)2+d2=r2.



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