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【轻松突破120分】2014高考数学精炼15 文



2014 高考数学(文)轻松突破 120 分 15
一、选择题 1.圆柱的侧面展开图是一个边长为 6π 和 4π 的矩形,则圆柱的全面积为( A.6π (4π +3) B.8π (3π +1) C.6π (4π +3)或 8π (3π +1) D.6π (4π +1)或 8π (3π +2) 解析: 设圆柱的底面半径为 r,母线为 l,则
? ?2π r=4π

? ?l=6π ? ? ?2π r=6π 或? ?l=4π ?

)



∴?

? ?r=2 ? ?l=6π

或?

? ?r=3 ? ?l=4π
2


2

∴圆柱的全面积为 24π +8π 或 24π +18π , 即 8π (3π +1)或 6π (4π +3). 答案: C 1 2.正棱锥的高缩小为原来的 ,底面外接圆半径扩大为原来的 3 倍,则它的体积是原来 2 体积的( ) 3 9 A. B. 2 2 3 9 C. D. 4 4 1 h 解析: 设原棱锥高为 h,底面面积为 S,则 V= Sh,新棱锥的高为 ,底面面积为 9S, 3 2 1 h V′ 9 ∴V′= ·9S· ,∴ = . 3 2 V 2 答案: B 3.圆台上、下底面面积分别是 π 、4π ,侧面积是 6π ,这个圆台的体积是( ) 2 3 A. π B.2 3π 3 7 3 7 3 π D. π 6 3 解析: 上底半径 r=1, 下底半径 R=2.∵S 侧=6π , 设母线长为 l, 则 π (1+2)·l=6π , 2 2 ∴l=2,∴高 h= l -? R-r? = 3, 1 7 3 2 2 ∴V= π · 3×(1 +1×2+2 )= π. 3 3 答案: D 4.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为( ) C.

A.18π B.30π C.33π D.40π 解析: 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成.球半径和圆锥底面半径都等于 3,圆锥 2 的母线长等于 5,所以该几何体的表面积 S=2π ×3 +π ×3×5=33π .
-1-

答案: C 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于(

)

28 16 π B. π 3 3 4 C. π +8 D.12π 3 解析: 由三视图可知,该几何体为底面半径是 2,高为 2 的圆柱体和半径为 1 的球体的 4 28 2 组合体,则该几何体的体积为 π ×2 ×2+ π = π . 3 3 答案: A 6. 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 使 BD=a, 则三棱锥 D-ABC 的体积为( ) A. A. C.

a3
6

B.

a3
12

3 3 2 3 a D. a 12 12 解析: 设正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 E,沿 AC 折起后,依题意得:当 BD= a 时,BE⊥DE,∴DE⊥面 ABC, 2 ∴三棱锥 D-ABC 的高为 DE= a, 2 1 1 2 2 2 3 ∴VD-ABC= · a · a= a . 3 2 2 12 答案: D 二、填空题 7.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,O 为底面正方形 ABCD 的中心,则三棱锥 B1-BCO 的体积为________. 1 1 1 1 解析 : V = S △ BOC·B1B = × BO·BC·sin45°·B1B = × 2 3 3 2 6 2 2 ×2= . 2 3 2 答案: 3 8.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是________. ×2×

-2-

解析: 由三视图可知,该几何体为底面半径为 1,母线长为 2 的圆锥的一半,所以圆锥 1 1 3 2 的高为 3,因此所求体积 V= × ×π ×1 × 3= π . 2 3 6 答案: 3 π 6

9.已知球 O 的表面上四点 A、B、C、D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= 3,则球 O 的体积等于________. 解析: 如图,

3 4 ?3? 易知球心 O 为 DC 中点, 由题意可求出 CD=3, 所以球 O 的半径为 , 故球 O 的体积为 π ×? ? 2 3 ?2? 9π 3 = . 2 9π 答案: 2 三、解答题 10.如图所示,以圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶 点作圆锥,则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形, 求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比. 解析: 设圆锥底面半径为 r,则母线为 2r,高为 3r, ∴圆柱的底面半径为 r,高为 3r, S圆柱侧 2π r· 3r ∴ = = 3. S圆锥侧 π r·2r 6π 11.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 5、圆心角为 的扇形,在这个圆锥中内接 5 一个高为 x 的圆柱. (1)求圆锥的体积. (2)当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大? ?【解析方法代码 108001088】 解析: (1)因为圆锥侧面展开图的半径为 5,所以圆锥的母线长为 5.设圆锥的底面半径 6π 为 r,则 2π r=5× ,解得 r=3. 5 1 2 所以圆锥的高为 4.从而圆锥的体积 V= π r ×4=12π . 3 (2)右图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形.

-3-

3-a x 3 = ,从而 a=3- x. 3 4 4 3 3 2 圆柱的侧面积 S(x)=2π (3- x)x= π (4x-x ) 4 2 3 2 = π [4-(x-2) ](0<x<4). 2 当 x=2 时,S(x)有最大值 6π . 所以当圆柱的高为 2 时,圆柱有最大侧面积为 6π . 12.如图所示,从三棱锥 P-ABC 的顶点 P 沿着三条侧棱 PA、PB、PC 剪开成平面图形得 到△P1P2P3,且 P2P1=P2P3. 设圆柱的底面半径为 a,则

(1)在三棱锥 P-ABC 中,求证:PA⊥BC. (2)若 P1P2=26,P1P3=20,求三棱锥 P-ABC 的体积. ?【解析方法代码 108001089】 解析: (1)证明:由题设知 A、B、C 分别是 P1P3,P1P2,P2P3 的中点,且 P2P1=P2P3,从而 PB=PC,AB=AC, 取 BC 的中点 D,连 AD、PD,则 AD⊥BC,PD⊥BC, ∴BC⊥面 PAD.故 PA⊥BC. 1 (2)由题设有 AB=AC= P1P2=13,PA=P1A=BC=10, 2 PB=PC=P1B=13, 2 2 ∴AD=PD= AB -BD =12, 在等腰三角形 DPA 中, ?1 ? 底边 PA 上的高 h= AD2-? PA?2= 119, ?2 ? 1 ∴S△DPA= PA·h=5 119,又 BC⊥面 PAD, 2 ∴VP-ABC=VB-PDA+VC-PDA 1 1 = BD·S△DPA+ DC·S△PDA 3 3 1 1 = BC·S△PDA= ×10×5 119 3 3 = 50 119. 3

-4-



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