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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第四节 平面向量应用举例习题 理



第四节
[基础达标] 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)

平面向量应用举例

1. (2016·山西忻州一中月考) 设 P 为等边三角形 ABC 所在平面内一点,满足

+2

,

若 AB=1,则 A.4 1.B 【解析】

的值为 B.

3 C.2 )( )= D.1 ·( )+

(

)

=(

=(

+2

)·(

+2

)-(

+2

)·(

)+

=2

+2CA·

=2×12+2×1×1× =3.

2. (2015·辽宁五校联考) 已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若平面上的三个不共线 的向量 A.1 007 2.A 【解析】因为 满足 B.1 006

=a1

+a2 014

,且 A,B,C 三点共线,则 S2 014= D.2 014

(

)

C.2 012

=a1

+a2 014

,又 A,B,C 三点共线,所以 a1+a2 014=1,所以 S2

014

=

×2 014=1 007.

3. (2016·银川一中月考) 在△ABC 中,AB=2,AC=4.P 是△ABC 的外心,数量积 A.6 B.-6 C.3 D.-3

等于(

)

1

3.A 【解析】设 AB,AC 边的中点分别为 D,E,由 ·( )=

=|

|×|

|-|

|×|

|=

|2-

|2=8-2=6.

4. (2016·浙江余姚中学开学考试) 已知直线 y=2

(x-1)与抛物线 C:y2=4x 交于 A,B 两点,

点 M(-1,m),若

=0,则实数 m=

(

)

A.0

B.

C.

D.

4.C 【解析】由题可得

? 8x -20x+8=0,解得 x=2 或 x= ,则
2

A(2,2

),B

,由

=0 可得(3,2

-m)

=0,化简得

2m -2

2

m+1=0,解得 m=

.

5. (2016·哈尔滨六中月考) 已知 a=(-1,1), 点的等腰直角三角形,则△OAB 的面积是 A.1 B. C.2

=a-b,

=a+b,若△OAB 是以 O 为直角顶
( )

D.4

5.C 【解析】由题可知|

|=|

|,即有|a-b|=|a+b|,即 a·b=0,得 a⊥b,由 a=(-1,1)

可知|a|=

,因为

=a2-b2=0,所以|b|=|a|,故

|

|=|

|=2,S= ×OA×OB= ×2×2=2.

2

6. (2016·江西吉安一中月考) 在△ABC 中,点 D 满足

,点 E 是线段 AD 上的一个动

点,若





,则 t=(λ -1)2+μ 2 的最小值是

(

)

A.

B.

C.

D.

6.C 【解析】如图所示,点 E 在线段 AD 上,所在存在实数 k,使得

=k

,0≤k≤1,由

,得

=k(

)=k

,所以

因此由 t=(λ -1)2+μ 2,得 t=

k2=

k-

2

+

,因此当 k= 时,t 取最

小值

.

7. (2015·张掖诊断) 已知 F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆

=1(a>b>0)的左、右两个焦点,P

为椭圆上的一点,且

=c2,则椭圆的离心率的取值范围为

(

)

A.

B.

C.

D.

7.D 【解析】设 P(x0,y0),则

=1,所以

=b2

,又因为

=c2,即有

(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=c2,整理得

-c2+

=c2,从而有

+b2

=2c2,即

(3c2-a2),0≤

≤a2,所以 0≤

(3c2-a2)≤a2,求得

≤e≤

.

二、填空题(每小题 2 分,共 10 分) 3

8. (2016·宿迁调研) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x +y -6x+5=0,点 A,B 在圆 C 上,且

2

2

AB=2

,则|

|的最大值是

.

8.8 【解析】由题可设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 M(x',y'),所以 x'=

,y'=

,所



=(x1+x2,y1+y2)=2

,圆 C:x2+y2-6x+5=0 的圆心为(3,0),半径 CA 为 2,又因为点

A,B 在圆 C 上,且 AB=2

,所以 CA2-CM2=

,故 CM=1,即点 M 在以 C 为圆心,1 为半径的

圆上,所以|

|max=4,所以|

|max=2|

|max=8.

9.已知向量 i 和 j 为互相垂直的单位向量,向量 a=i-2j,b=i+λ j,a 与 b 的夹角为锐角,则实 数 λ 的取值范围是 9.(-∞,-2)∪

.
【解析】∵0<<a,b>< ,∴0<cos<a,b><1,∴0<

<1,即

0<

<1,解得 λ < 且 λ ≠-2,∴λ 的取值范围是(-∞,-2)∪

.

三、解答题(共 10 分) 10.(10 分) (2016·河南中原名校联考) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 m=(cos A,cos B),n=(a,2c-b),且 m∥n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求△ABC 面积的最大值. 10.【解析】(1)因为 m∥n, 所以 acos B-(2c-b)cos A=0, 由正弦定理得 sin Acos B-(2sin C-sin B)cos A=0, 所以 sin Acos B-2sin Ccos A+sin Bcos A=0, 即 sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A, 所以 sin(A+B)=2sin Ccos A. 又 A+B+C=π ,所以 sin C=2sin Ccos A, 4

因为 0<C<π ,所以 sin C>0, 所以 cos A= ,又 0<A<π ,所以 A= . (2)由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 所以 16=b +c -bc≥bc,所以 bc≤16, 当且仅当 b=c=4 时,上式取“=”, 所以△ABC 面积为 S= bcsin A≤4 ,
2 2 2 2 2

所以△ABC 面积的最大值为 4 [高考冲关]

.

1.(5 分) (2015·江苏苏州中学期初考试) 在△ABC 中,过中线 AD 中点 E 任作一直线分别交边

AB,AC 于 M,N 两点,设

=x

=y

(x,y≠0),则 4x+y 的最小值是(

)

A.

B.

C.

D.3

1.C 【解析】由题知

)=

=

,由于三

点 M,E,N 共线,所以有

=1,因此 4x+y=(4x+y)

,由题可知

x>0,y>0,所以 4x+y=

+2

,当且仅当 y=2x 时有最小值,故最小值

为 .

2.(5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线上任一点,



最小值的取值范围是

,则该双曲线的离心率的取值范围为 (

)

A.(1,

)

B.[

,2]

C.(1,

]

D.[2,+∞) 5

2.B 【解析】设 P(m,n),则

=1,即有 m2=a2

,又设 F1(-c,0),F2(c,0),即

=(-m-c,-n),

=(c-m,-n),则

=n2+m2-c2=n2+a2

-c2=n2

+a2-c2≥a2-c2(当 n=0 时取得等号).则有

最小值为 a2-c2.由题意可得- c2≤a2-c2≤- c2,即有 c2≤a2≤ c2,即

c≤a≤

c,则有

≤e≤2.
2

3.(5 分)已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x +|a|x+a·b=0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值 范围是 A. B. C.
2

( D.
2

)

3.B 【解析】|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x +|a|x+a·b=0 有实根,则|a| -4a·b≥0,即 a·b≤ ,设向量 a·b 的夹角为 θ ,cos θ = ,∴θ ∈

.

4.(5 分) (2015·上海闵行区二模) 如图,已知点 P(2,0),且正方形 ABCD 内接于☉

O:x2+y2=1,M,N 分别为边 AB,BC 的中点.当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时,
围为

的取值范

.

4.[-

]

【解析】设 M

,∵

,∴

=0,所以

N

6

=-

sin α ·

cos α -2 + sin α cos α =

sin α .因为 sin α ∈[-1,1],所以

sin

α ∈[-

],即

∈[-

],故

的取值范围为[-

].

5.(10 分) (2016·江西高安二中月考) 已知 a= 2sin x,

cos x-

+1 ,b=

,设 f(x)=a·b.

(1)求 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,且 a=2,b= ,f(A)=1,求边 c.

5.【解析】(1)f(x)=a·b=2sin xcos x+2cos2

-1=sin 2x+cos(2x-π )=sin 2x-cos

2x=

sin

,

∴f(x)的最小正周期 T=

=π .

由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z 得单调增区间为

,k∈Z.

(2)∵a=2,b=

,a<b,∴0<A< .

∵f(A)=

sin

=1,

∴sin

.

又- <2A-

,

7

∴2A-

,A= .

由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 得 4=6+c2-2

c,即 c2-2

c+2=0,

∴c=

+1 或 c=

-1.

8



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