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2013-2014学年度第一学期期中考试高二数学(理)试题



2013-2014 学年高二数学(理)试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.如果执行框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于( A. )
开始

5 4
开始

B.

4 5

C.

6 5

D.

5 6


输入 N

2.如图. 程序输出的结果 s=132 , 则判断框中应填(

k=1,S=0

i = 12 , s = 1 否 是

S ? S?

1 k (k ? 1)


k ? k ?1

s=s

i

输出s 结束

k?N

输出 S

i=i 1
A. i≥10? B.

i≥11?

C. i≤11? ) D.31

D. i≥12?
结束

3.数 4557、1953 的最大公约数应该是 ( A.651 B.217 C. 93 )

4.二进制数算式 1010(2)+10(2)的值是( A.1011(2) B.1100(2)

C.1101(2)

D.1000(2) ) (5)

5.给出下面一个程序:此程序运行的结果是( A.5,8 B.8,5 C.8,13 D.5,13 6.已知 x , y 的取值如下表所示

x
y

0 2.2

1 4.3

2 4.8

3 6.7 ) D. 4 .5

?? ?,则 a? 的值等于 ( 若从散点图分析, y与 x 线性相关,且 y 0 . 9 5 x ? a
A. 2 .6 B. 6 .3 C. 2

7.袋中共有 5 个除颜色外完全相同的小球,其中 1 个红球,2 个白球和 2 个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白 一黑的概率等于( A. ) B.

1 5

2 5

C.

3 5
2 2

D.

4 5

8. 已知直线 l : x ? y ? 6 ? 0 和曲线 M : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,点 A 在直线 l 上,若直线 AC 与曲线 M 至少有一个 公共点C,且 ?MAC ? 30 ,则点 A 的横坐标的取值范围是.( A. (0,5) 9.曲线 B. [1,5] C. [1,3] ) D. (0,3] )

y ? 1 ? 4 ? x 2 ( x ? 2)

与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个交点时,实数 k 的取值范围是(

? 5 3? ? , ? A. ? 12 4 ?

?5 ? ? ,?? ? ? B. ? 12

?1 3? ? , ? C. ? 3 4 ?

? 5? ? 0, ? D. ? 12 ?

试卷第 1 页,总 4 页

10. 从数字 1, 2, 3, 4, 5 中, 随机抽取 3 个数字 (允许重复) 组成一个三位数, 其各位数字之和等于 9 的概率为 ( A.



13 125

B.

16 125

C.

18 125

D.

19 125

二、填空题(每空 5 分)
2 11.命题:“ ?x0 ? R ,x0≤1 或 x0 >4”的否定是________.

12.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为 一年级 女生 男生 373 377 二年级 三年级 .

x
370

y

z

13.从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了 60 名学生的成绩 得到频率分布直方图如如: 根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分 _________________. 14.已知“命题 p : ( x ? m)2 ? 3( x ? m) ”是“命题 q : x2 ? 3x ? 4 ? 0 ”成 立的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为_________________.

15.如图, P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在第一象限上的动点, F1 , F2 是椭圆的焦点, M 是 25 16
.

?F1PF2 的平分线上的一点,且 F2 M ? MP ? 0 ,则 | OM | 的取值范围是
三、解答题() 16. (本题满分 12 分) 已知集合 A= {x ( x ? 2)[x ? (3a ? 1)] ? 0} ,集合 B= ? x 当 a =2 时,求 A ? B ; 当a ?

?

? x ? 2a ? 0? 。 2 ? x ? ( a ? 1) ?

1 时,若元素 x ? A 是 x ? B 的必要条件,求实数 a 的取值范围。 3

试卷第 2 页,总 4 页

17 . (本题满分 12 分)已知 p : 对任意 m ? [?1,1] ,不等式 a 2 ? 5a ? 3 ?

m2 ? 8 恒成立; q : 存在 x ,使不等式

“ p 且 q ”为假,求实数 a 的取值范围. x 2 ? ax ? 2 ? 0 成立,若“ p 或 q ”为真,

18.2013 年 1 月份,我国北方部分城市出现雾霾天气,形成雾霾天气主要原因与 PM 2.5 有关. PM 2.5 是指大气中直径 小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. PM 2.5 日均值越小,空气质量越好. 2012 年 2 月 29 日,国家 环保部发布的《环境空气质量标准》见下表:
PM 2.5 日均值 k(微克)
k ? 35
35 ? k ? 75 k ? 75

空气质量等级 一级 二级 超标

某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况,在过去某月的 30 天中分别随机抽取了甲、乙两市 6 天的 PM 2.5 日均 值作为样本,样本数据茎叶图如上右图所示(十位为茎,个位为叶). (Ⅰ)分别求出甲、乙两市 PM 2.5 日均值的样 本平均数,并由此判断哪个市的空气质量较好; (Ⅱ)若从甲市这 6 天的样本数据中随机抽取两天的数据,求恰有一天空气质量超标的概率.

19(13 分) .已知过点 A (1,1)且斜率为 ? m ( m ? 0 )的直线 l 与 x, y 轴分别交于 P, Q 两点,分别过 P, Q 作直线

2 x ? y ? 0 的垂线,垂足分别为 R, S , 求四边形 PRSQ的面积的最小值.

试卷第 3 页,总 4 页

20. (本小题满分 13 分) 已知圆 G:x +y —2x— 2 y ? 0 ,经过椭圆
2 2

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 及上顶点 B,过椭圆外一点 M(m,0) a2 b2

(m>0)的倾斜角为 π 的直线 l 交椭圆于 C、D 两点.

5 6

(Ⅰ)求椭圆方程 (Ⅱ)当右焦点在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求实数 m 的范围。

21. (13 分)已知椭圆:

y 2 x2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率为 ,焦点 F 1 ? 0, ?c ? , F 2 ? 0, c ? 过 F1 的直线交椭圆于 M , N 2 a b 2

两点,且 F2 MN 的周长为 4. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m)(m ? 0),与椭圆 C 交于相异两点 A,B 且 AP ? ? PB .若 OA ? ? OB ? 4OP ,求 m 的取值 范围。

试卷第 4 页,总 4 页

高二数学(理)参考答案
1 1 1 1 2 ? ,k ? 2; S? ? ? , k ? 3; 第二次循环, 1? 2 2 2 2?3 3 2 1 3 3 1 4 ? , k ? 4 ;第四次循环, S ? ? ? , k ? 5 ;第五次循 第三次循环, S ? ? 3 3? 4 4 4 4?5 5 4 1 5 5 ? ;此时 k ? 5 不满足条件,输出 S ? ,选 D. 环, S ? ? 5 5? 6 6 6 i ? 12 s ? 1 i ? 11 2.B.试题分析:由题意知当 时, ;当 时, s ? 12 ;当 i ? 10 时, s ? 132 , 此时应输出 s,则判断框中应填 i ? 11? . S ? 0? 1. D 试题分析: 第一次循环,
考点:程序框图. 3 . A 【 解 析 】 4557=1953×2+651,1953=651×3,∴4557,1953 的最大公约数是 651; 3 2 1 0 1 0 4 .B 【 解 析 】1010(2)+10(2)=(1×2 +0×2 +1×2 +0×2 )+(1×2 +0×2 )=12=1100(2), 故选 B . 5 . C【 解 析 】 此程序先将 A 的值赋给 X,再将 B 的值赋给 A,再将 X+A 的值赋给 B,即将 原来的 A 与 B 的和赋给 B,最后 A 的值是原来 B 的值 8,而 B 的值是两数之和 13. 6.A【解析】分析:首先求出这组数据的横标和纵标的平均数,写出这组数据的样本中心点, 把样本中心点代入线性回归方程求出 a 的值

解答:解:∵ x =

0 ?1? 3 ? 4 2.2 ? 4.3 ? 4.8 ? 6.7 =2, y = =4.5, 4 4

∴这组数据的样本中心点是(2,4.5) ?? ?,∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6,故选 A. ∵y 与 x 线性相关,且 y 0 . 9 5 x ? a 7.B 试题分析:用 A 表示红球, B1 , B2 表示两个白球, C1 , C2 表示两个黑球,任取两求的 基本事件有 AB1 , AB2 , AC1 , AC2 , B1B2 , B1C1 , B1C2 , B2C1 , B2C2 , C1C2 共 10 种,一白一黑的 为 B1C1 , B1C2 , B2C1 , B2C2 共 4 种,由古典概型的概率计算公式得 P ?

4 2 ? ,选 B. 10 5

考点:古典概型概率的计算. 8.B【解析】如图,设点 A 的坐标为(x0,6-x0) , 圆心 M 到直线 AC 的距离为 d, 则 d=|AM|sin30° , ∵直线 AC 与⊙M 有交点, ∴d=|AM|sin30°≤2, ∴(x0-1)2+(5-x0)2≤16, ∴1≤x0≤5, . 9.A【解析】析:要求的实数 k 的取值范围即为直线 l 斜率的取值范围,主要求出斜率的取 值范围,方法为:曲线 y=1+ 4 ? x 2 表示以(0,1)为圆心,2 为半径的半圆,在坐标系 中画出相应的图形,直线 l 与半圆有不同的交点,故抓住两个关键点:当直线 l 与半圆相切 时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于 k 的方程,求出方 程的解得到 k 的值;当直线 l 过 B 点时,由 A 和 B 的坐标求出此时直线 l 的斜率,根据两种 情况求出的斜率得出 k 的取值范围. 解答:解:根据题意画出图形,如图所示: 由题意可得:直线 l 过 A(2,4),B(-2,1), 又直线 y=1+ 4 ? x 2 图象为以(0,1)为圆心,2 为半径的半 圆, 当直线 l 与半圆相切, C 为切点时, 圆心到直线 l 的距离 d=r, 即

3 ? 2k 5 =2,解得:k= ;当直线 l 过 B 点时,直线 l 的 2 12 k ?1
答案第 1 页,总 4 页

斜率为

4 ?1 3 = , 2 ? ? ?2 ? 4
5 3 , ].故答案为:A 12 4

则直线 l 与半圆有两个不同的交点时,实数 k 的范围为(

10.D 解:从 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复) ,可以组成 5×5×5=125 个不同的三位数, 其中各位数字之和等于 9 的三位数可分为以下情形: ①由 1,3,5 三个数字组成的三位数:135,153,315,351,513,531 共 6 个; ②由 1,4,4 三个数字组成的三位数:144,414,441,共 3 个; ③同理由 2,3,4 三个数字可以组成 6 个不同的三位数; ④由 2,2,5 三个数字可以组成 3 个不同的三位数; ⑤由 3,3,3 三个数字可以组成 1 个三位数,即 333. 故满足条件的三位数共有 6+3+6+3+1=19,所求的概率为 19 /125 . 11. ?x ? R, x ? 1且x ? 4 . 试题分析:存在性命题的否定是全称命题,存在性命题 p: ? x ∈ M,p(x),否定: ? x∈ M,非 p(x), 例如:有些实数的绝对值是正数,否定是所有实数的绝对值都不是正数.
2

12. 16 分析: 在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19, 即

解得 x ? 380 ,由此可得,三年级共有学生 500 人,根据分层抽样设三年级抽取的学生人数 为 k ,则 13.

x ?1 9 0 . 2000



500 k ? ,解得 k ? 16 .考点:分层抽样. 2000 64
3 3 分析: 从 4 名男生和 3 名女生中任取 3 人共有 C7 全是男生的有 C4 =35 中取法, =4

31 35

种取法, 所以选出的人中至少有一名女生共有 35-4=31 种, 所以选出的人中至少有一名女生

31 考点:排列、组合;随机事件的概率。 35 。 14. (??, ?7] ? [1, ??) 试题分析:将两个命题化简得,命题 p : x ? m ? 3或x ? m ,命题 q : ?4 ? x ? 1.因为 p 是 q 成 立 的 必 要 不 充 分 条 件 , 所 以 m?3? ?4, m ? ? 7或 m ? 1 , 故 m 的 取 值 范 围 是 (??, ?7] ? [1, ??) .考点:1.一元二次不等式的解法;2.必要不充分条件. 15. (0,3) 分析:延长 F2 M 交 PF1 于点 N ,由已知条件可知 1 1 | OM |? | NF1 |? (| PF1 | ? | PF2 |) ? a ? | PF2 | , 而 a ? c|? 2P | F) ? , a 所 以 2 2 |O M ?| ( 即 0 c | OM , ) |? (0,3) .考点:1.向量的数量积;2.椭圆的定义. 16.解: (1) A ? B = {x 4 ? x ? 5 } (2)1≤a≤3
的概率是

; 【解析】 本试题主要是考查了集合的交集运算以及集合之间的包含关系的运用。 利用集合的 子集关系求解参数的取值范围。 解: (1)当 a=2 时,A= {x 2 ? x ? 7 }
2 2

B= {x 4 ? x ? 5 } ∴ A ? B = {x 4 ? x ? 5 }

2 ( 2 ) ∵ a +1-2a=(a-1) ≥ 0 ∴ B = {x 2a ? x ? a ? 1 } 当 a>

1 时 , 3a+1>2 3



A= {x 2 ? x ? 3a ? 1 } ∵ B ? A

∴ 2a≥2 且 a +1 ≤ 3a+1 ∴ 1≤a≤3

2

2 17. 【解析】若 p 成立,由 m ? [?1,1] 得 m 2 ? 8 ? 2 2 ,3 即 a ? 5a ? 3 ? 3 ,解得 a ? 6

?

?

或 a ? ?1 ;若 q 成立,则不等式中 ? ? 0 ,解得 a ? 2 2 或 a ? ?2 2 ;
答案第 2 页,总 4 页

若“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假,则命题 p 与 q 一真一假, (1)若 p 真 q 假,则 ? 2 2 ? a ? ?1 ; (2)若 p 假 q 真,则 2 2 ? a ? 6 ; 综上: a 的取值范围是 ? 2 2 ? a ? ?1 或 2 2 ? a ? 6 18. (Ⅰ)乙市的空气质量较好; (Ⅱ)
8 . 15

试题分析: (Ⅰ)由茎叶图分别得到甲市与乙市抽取的样本数据,计算出两市 PM 2.5 日均值 的样本平均数即可; (Ⅱ)根据古典概型,只需求出 6 天中抽取两天的所有情况和“恰有一 天空气质量超标”这一事件包含的基本事件即可. 试题解析: (Ⅰ)甲市抽取的样本数据分别是 34,42,67,71,79,85;乙市抽取的样本数据为 31,48,45,65,73,86. 34 ? 42 ? 67 ? 71 ? 79 ? 85 31 ? 48 ? 45 ? 65 ? 73 ? 86 x甲 ? ? 63 , x乙 ? ? 58 . 6 6 因为 x甲 ? x 乙 ,所以乙市的空气质量较好. 6分 (Ⅱ)由茎叶图知,甲市 6 天中有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标,记未超标的 4 天数据为 a, b, c, d ,超标的两天数据为 m, n , 则 6 天中抽取两天的所有情况为: ab, ac, ad , am, an, bc, bd , bm, bn, cd , cm, cn, dm, dn, mn ,基本事 件总数为 15. 记“恰有一天空气质量超标”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为: am, bm, cm, dm, an, bn, cn, dn ,事件数为 8. 8 8 所以 P( A) ? . 即恰有一天空气质量超标的概率为 . 12 分.考点:统计、古典概型. 15 15

18 1 【解析】设直线 l 方程为 y ? 1 ? ?m( x ? 1) ,则 P( 1 ? ) , Q(0,1 ? m) ??2 分 5 m m ?1 ? 0和x ? 2 y ? 2(m ? 1) ? 0 ,??5 分 从而 PR 和 QS 的方程分别为 x ? 2 y ? m 1 2 1 2m ? 2 ? 1 ? 2? 3 ? 2m ? m m , QS ? m ? 1 m ,又 PR ? 又 PR // QS ? RS ? ? 5 5 5 5 ? 四边形 PRSQ 为梯形????????????9 分 1 1 9 1 1 9 1 18 ? (2 ? ) 2 ? ? ? S PRSQ ? (m ? ? ) 2 ? 5 m 4 80 5 4 80 5 18 ?????? 12 分 ? 四边形 PRSQ 的面积的最小值为 5 ? 13 ? x2 ? y 2 ? 1 2) OP ? ?1, 20. (1) ? 析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解,以 2 4 ? ?
19. 及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

x2 y 2 3 (1)因为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l1 经过椭圆的上顶点 A 和 a b 2 4 2 2 右顶点 B ,并且和圆 x ? y ? 相切. 5
结合椭圆的性质和线与圆的位置关系得到参数 a,b,c 的表达式,得到椭圆的方程。 (2)根据直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理表示出点 P 的坐标,然后点 P 在 椭圆上得到参数的关系式, ,利用 m 的范围得到 op 的范围。

a 2 ? b2 3 ? 得 a 2 ? 4b2 ,所以 a ? 2b ????????1 分 解: (1)由 e ? 2 a 4
2

答案第 3 页,总 4 页

所以 l1 : x ? 2 y ? a ? 0 ,有

a

12 ? 22 x2 ? y 2 ? 1???????????.6 分 所以 b ? 1 ,所以椭圆方程为 4 ? x2 ? ? y2 ? 1 (2) ? 4 , 消去 y 得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 1) ? 0 ? y ? kx ? m ? ?8km 2m 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) 则 x0 ? x1 ? x2 ? , y0 ? y1 ? y2 ? , 2 4k ? 1 4k 2 ? 1 ?8km 2m , 2 ) ???????????????????9 分 故点 P ( 2 4k ? 1 4k ? 1 ?8km ( 2 )2 2m 2 点 P 在椭圆上,有 4k ? 1 ? ( 2 ) ? 1 ,整理得 4m2 (1 ? 4k 2 ) ? (1 ? 4k 2 )2 4 4k ? 1 1 ?8km 2 2m 3 2 2 2 2 ) ? ( 2 )2 ? 4 ? 所以 m ? k ? ,而 OP ? x0 ? y0 ? ( 2 ,?11 分 4 4k ? 1 4k ? 1 4m 2 ? 13 ? 3 ?1 ? ?1 ? ? 13 ? 因为 m ? ? ,1? 所以 m2 ? ? ,1? ,所以 4 ? ? ?1, ? ,所以 OP ? ?1, ? ?12 分 2 4m ? 4 ? ?2 ? ?4 ? ? 2 ? 1 1 2 2 21.(Ⅰ) y ? 2 x ? 1 ;(Ⅱ) m ? (?1, ? ) ? ( ,1) 2 2 2 2 y x 2 c 2 试题分析: (1)设 C: 2 ? 2 ? 1 (A>b>0) ,由条件知 A-C= , ? 由此能导出 C a b 2 a 2
的方程.(Ⅱ)由题意可知λ =3 或 O 点与 P 点重合.当 O 点与 P 点重合时,m=0.当λ =3 时, 直线 l 与 y 轴相交,设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,?

?

4 ,解得 a ? 2 ???..5 分 5

? y ? kx ? m
2 2 ?2 x ? y ? 1



(k 2 ? 2) x 2 ? 2kmx? (m2 ?1) ? 0, 再由根的判别式和韦达定理进行求解.
y2 x2 2 2 2 2 ? 2 ? 1(A>b>0) ,设 C>0,c ? a ? b ,由条件知 A-C= , 2 a b 2 c 2 2 2 2 ,∴A=1,b=C= ,故 C 的方程为: y ? 2 x ? 1 ; ? a 2 2 2 2 (Ⅱ)设 l 与椭圆 C 的交点为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y2 )。将 y=kx+m 代入 y ? 2 x ? 1
试题解析: (1)设 C: 得 (k ? 2) x ? 2kmx ? m ?1 ? 0 ,所以 ? ? 4(k ? 2m ? 2) ? 0 ①,
2 2 2
2 2

?2km m2 ? 1 2 , x x ? .因为 AP ? 3PB ,所以 x1 ? x2 ? ?2x2 , x1x2 ? ?3x2 , 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2 ?2km 2 m2 ? 1 ) ? 4( 2 )?0, 消去 x 2 得 3( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 0 ,所以 3( 2 k ?2 k ?2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0 ,当 m ? 时, 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0 4 1 2 2 ? 2m 2 1 1 2 2 2 所以 m ? , k ? 由①得 k ? 2m ? 2 ,解得 m ? (?1, ? ) ? ( ,1) 2 4 2 2 4m ? 1 x1 ? x2 ?

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