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等差等比数列求和公式推导


1 等差数列求和公式:
(1)Sn=n(a1+an)/2 (2) Sn=na1+n(n-1)d/2

2 等比数列求和公式:
a1(1-qn) (1) Sn= 1-q a1-anq (2) Sn= 1-q
q≠1 q≠1

当q=1时,Sn=na1

练习: 求和
1. 1+2+3+……+n 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+……+2n 答案: Sn=2n+1-2
方法:直接求和法

例1 求数列 x, 2x2,3x3, … nxn,… 的前n项和。 解: ⑴当x=0时 S =0
n

⑵当x=1时 Sn=1+2+3+…+ n=n(n+1)/2 ⑶当x≠1时 Sn=x+ 2x2+3x3+ … + nxn xSn= x2 +2x3+3x4… + (n-1)xn +nxn +1
① ②

①-②得:(1-x)Sn=x+ x2+x3+ … +xn - nxn +1 化简得: Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)

0
综合⑴⑵⑶得 Sn= n(n+1)/2

(x=0)
(x=1) (x≠1)

x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)

小结 1:
“错项相减法”求和,常应用于型 如{anbn}的数列求和,其中{an}为等 差数列, {bn} 为等比数列.

练习 1

求和: 1/2+2/4+3/8+……+n/2n 方法: 可以将等式两边同时乘以2或1/2, 然后利用“错位相减法”求和.

1 1 1 1 例2:求和 Sn= + + + …+ 2×5 5×8 8×11 (3n-1) (3n+2)

解:∵数列的通项公式为 1 1 1 1 an= = ( ) (3n-1) (3n+2) 3 3n-1 3n+2

1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn= ( - + - + - +…+ 3 2 5 5 8 8 11 3n-4 1 1 1 + ) 3n-1 3n-1 3n+2 1 1 1 1 = ( )= 3 2 3n+2 6n+4

小结2:

本题利用的是“裂项相消法”,此 法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和, 其中f(n),g(n)是关于n(n∈N)的一次 函数。 方法:把数列中的每一项都拆成两项的 差,从而产生一些可以相消的项, 最后剩下有限的几项。

此方法应注意: 对裂项公式的分析,通俗地 说,裂项,裂什麽?裂通项。

练习 2: 求和 1 1 + 1×4 4×7 1 (3n-2)×(3n+1)

1 + 7×10

+…+

1 1 1 1 分析: an= = ( ) (3n-2)×(3n+1) 3 3n-2 3n+1

接下来可用“裂项相消 法”来求和。

例 3:求和 1 1 1 1 1 1+(1+ )+(1+ + )+…+(1+ + +…+ 2 2 4 2 4 1 1 ) 1× (1- n ) 2n-1 1 1 1 2 1 =2- n-1 解:∵an=1+2 +4 +…+2n-1 = 1 2

12 1 1 1 1 ∴ Sn=(2-- 0 )+(2-- 1 )+(2-- 2 )+…+(2-- n-1 ) 2 2 2 2
1 1× (1- n ) 2 1 =2n=2n+ n-1 –2 1 2 1-

1 1 1 1 =2n-( 0 + 1 + 2 +…+ n-1 ) 2 2 2 2

小结 3: 本题利用的是“分解转化求和法” 方法:
把数列的通项分解成几项,从 而出现几个等差数列或等比数 列,再根据公式进行求和。

练习 3

求和:1+(1+2)+(1+2+22)+…+(1+2+22
+…+2n-1)

分析:利用“分解转化求和”

总结:
常见求和方法 直接求和 (公式法) 倒序求和 错项相减 裂项相消 分解转化法 适用范围及方法 等差、或等比数列用求和公 式,常数列直接运算。 等差数列的求和方法 数列{ anbn}的求和,其中{an} 是等差数列,{bn}是等比数列。 数列{1/f(n)g(n)}的求和,其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数。 把通项分解成几项,从而出现 几个等差数列或等比数列进行 求和。


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