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电动力学-第二章


第二章

静电场

Electrostatic field

第二章

静电场

本章研究的主要问题是:在给定的自由电 荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下, 求解电场。
? 注意两点:①电荷静止,即: v ? 0
? ?E ? 0

②电场不随时间变化,即:? t

本章求解静电场的方法有:①分离变量法; ②镜像法; ③格林函数法; ④电多极矩法 。 求解的依据是:唯一性定理。

第二章

静电场

本章主要内容
? 静电场的标势及其微分方程
? 唯一性定理 ? 拉普拉斯方程 ? ? ?

分离变量法

镜象法

格林函数法

? 电多极矩

§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场和静电场的标势
(1).静电势的引入(数学)

静 电 场

? ? J ? ?? ? 0 ;

? ?t

( 物理量 ) ? 0

? ?? ? E ? 0 ? ? ?? ? D ? ?

? E ? ?? ?

? ? d? ? ? E ? dl
d? ? ?? ?x dx ? ?? ?y dy ?

? (B ) ? ? ( A) ? ? ?

B A

? ? E ? dl

?? ?z

? dz ? ? ? ? d l

注:

① ? 的选择不唯一,相差一个常数 ②取负号是为了与电磁学讨论一致 ③ ? 满足迭加原理

§2.1 静电场的标势及其微分方程
(2)电势差(物理)
B A

? (B ) ? ? ( A) ? ? ?

? ? E ? dl

空间某点电势无物 理意义,两点间电 势差才有意义 电势差为电场力将 单位正电荷从A移 到B点所作功负值

① 电场力作正功,电势下降 电场力作负功,电势上升

(? Q ? ? P ) (? Q ? ? P )
? ? (? ? E ? dl ? 0)
L

② 两点电势差与作功的路径无关

§2.1 静电场的标势及其微分方程
●等势面:电势处处相等的曲面
? ? E E 与等势面垂直
均匀场电场线与等势面

+

电偶极子的电场线与等势面

点电荷电 场线与等 势面

§2.1 静电场的标势及其微分方程
? 参考点 (1)电荷分布在有限区域, P点电势为将单位正电 通常选无穷远为电势参考点 荷从P移到∞电场力所
做的功。

?? ? 0

? (P) ?

?

?

? ? E ? dl

P

(2)电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考 点,否则积分将无穷大。

?电荷分布在有限区几种情况的电势
(1)点电荷
Q 4πε 0 r

? ?P ? ?

§2.1 静电场的标势及其微分方程
(2)点电荷系
? ?P ? ?

?
i

Qi 4πεr
i

(3)无限大均匀线性介质中点电荷 Q 产生的电势
QP
?f ?
Qf 4?? 0 r
QP 4?? 0 r

? ?P ? ?

Q 4πεr

产生的电势

?P ?
?

? ? ? f ??P ?

Q f ? QP 4?? 0 r

Qf 4??r

(QP ? (

?0 ?

? 1)Q f )

(4)连续分布电荷

? ?P ? ?

?

? ? x ? ?d V ?
4 ?? 0 r

?

V

§2.1 静电场的标势及其微分方程
2、静电势的微分方程和边值关系
(1)电势满足的方程
? 导出过程 ? 泊松方程
? ? ? ?
2

? ?

适用于均 匀介质
适用于无自由电荷 分布的均匀介质

? 拉普拉斯方程

? ? ?0
2

§2.1 静电场的标势及其微分方程
(2)静电势的边值关系
? 两(均匀)介质分界面
?2
S
S

Q

? n

?2
?1

?1
?2

S

? ?2
? ?1
S

?1
? ??

P

?? 2 ?n

??1 ?n
S

? D2 n ? D1n ? ?

? 2 E2 n ? ? 1 E1n ? ?
En ? ? ?? ?n

? ? D ?? E

§2.1 静电场的标势及其微分方程
?导体表面上的边值关系

? | ? 常数
s
?
?? ?n s ? ??
En ?

? ?

Q ? ? ? dS ? ? ? ?
S S

?? ?n

dS

§2.1 静电场的标势及其微分方程
3.静电场的能量 仅讨论均匀介质 (1) 一般方程: 能量密度 总能量
W ? 1 2

1 ? ? w ? E ?D 2

? ? ? E ? DdV ?
?

(2) 若已知 ? , ? 总能量为
W ? 1

? ?? d V ? 2
?

§2.1 静电场的标势及其微分方程
1
?

讨论:对W ? 2 ? ?? d V ?的使用注意几点: (1)适用于静电场,线性介质; (2)适用于求总能量; 1 (3)不能把 ?? 看成是电场能量密度,它 2 只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。 1 ? ? 真实的静电能量是以 w ? E ? D 的形式在空间 2 连续分布,场强大的地方能量也大;

(4)式中的 ? 是由电荷分布 ? 激发的电势;

§2.1 静电场的标势及其微分方程
(5)在静电场中,电场决定于电荷分布。在场 内没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布 所决定。 (6)若全空间充满了介电常数为ε的介质,则得 到电荷分布ρ所激发的电场总能量
W ? 1 8 ??

? dV ?

? ? ? ( x ) ? ( x ?) r

dV ?

§2.1 静电场的标势及其微分方程
4、例题
[例1]求均匀电场
? E0

z

的电势。
x

P θ R

? E0

y

[例2]均匀带电的无限长直导线 电荷线密度的λ,求空间的电

z 电荷源 z' o
?

势。

dq? ? ?dz?

? r

R

场点 P

§2.2 唯一性定理
思考:本节内容是否回答了两个问题:
(1)要具备什么条件才能求解静电问题 (2)所求的解是否唯一

§2.2 唯一性定理
唯一性定理
区域V由封闭面S0、S1、S2、·· ·等所包围,其中S0是最外包围面。如果V内 Vk ? k V 的电荷密度 ? 分布已知,并且各边界面满足下列条件之一时: S Vi V S1 (i)Si面上电势 ? i S ? i 已知; ? ε ? ? (ii)Sj面上为等势面。 j ? c x S 未知常数,并且Sj面上流出的电通量已知, d si ? ρ ds j 即 N j ? ? ?? ? ? j ? n ?ds j ? 已 知 ; s V ?j ?? j ? 已知 (iii)Sk面上的电场法线分量En已知,即 ;S2 ?n S ij 则区域V内电场强度被唯一确定。
i

j

Sk

V ε S2 S1

S0

§2.2 唯一性定理
[例]两同心导体球壳之间充以两种介质,左半球介 电常数为 ? ,右半球介电常数为 ? 。设内球壳半 径为a,带电荷为Q,外球壳接地,半径为b,求电 场和球壳上的电荷分布。 ? r
1
2

S2

? n

a S1
?1 ? 2

b

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
? ? ? ?
2

? ?

?

? ? ? 0
2

Laplace's equation可以用分离变量法求通解,其求解条 件是: ① 方程是齐次的。 ② 边界应该是简单的几何面。

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
1、用分离变量法求Laplace's equation的通解
(1)在直角坐标系中
? ? ?
2

? ?
2

?x

2

?

? ?
2

?y

2

?

? ?
2

?z

2

? 0

设 ? ( x , y , z ) ? X ( x )Y ( y ) Z ( z ) 分离变量解其通解为
? ( x , y , z ) ? ( A1 cos k x x ? A 2 sin k x x )
? ( B 1 cos k y y ? B 2 sin k y y ) ? ( C 1 cos k z z ? C 2 sin k z z ) 或

? ( x, y, z) ? e

? ik x x

e

? ik y y

e

? ik z z

;

(k z ? k x ? k y )
2 2 2

各A,B,C为待定系数。

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
(2)在柱坐标系中
? ? ?
2

1 ? r ?r

(r

?? ?r

)?

1 ? ?
2

r

2

??

2

?

? ?
2

?z

2

? 0



? ( r , ? , z ) ? R ( r ) ? (? ) Z ( z )
? ( r , ? , z ) ? ? A1 J m ( kr ) ? A 2 N m ( kr ) ?
? ? B 1 cos( n ? ) ? B 2 sin( n ? ) ? ? ?C 1 cosh( kz ) ? C 2 sinh( kz ) ?

其通解为

其中,Jm为m阶第一类贝塞尔函数,Nm为m阶第二类贝 塞尔函数。
J m ( kr ) ?
?

( ? 1) (
n

kr

)

m?2n

?
n?0

2 , n ! ? ( m ? n ? 1)

N m ( kr ) ?

cos( m ? ) J m ( kr ) ? J ? m ( kr ) sin( m ? )

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
如果考虑与z轴无关(k=0)情况,并讨论的区域是
0 ? ? ? 2?

,则通解为

? ( r , ? ) ? A o ? B 0 ln r ?
?

?
n ?1

?

( An r ? B n r
n

?n

) cos( n ? )

?
n ?1

?

(C n r ? D n r
n

?n

) sin( n ? )

各A,B,C,D为待定系数。

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
(3)在球坐标系中
? ? ?
2

1 r
2

? ?r

(r

2

?? ?r

)?

1
2

?

r sin ? ? ?

(sin ?

?? ??

)?

1
2 2

? ?
2 2

r sin ? ? ?

? 0



? ( r , ? , ? ) ? R ( r )Y (? , ? )
? ( r ,? , ? ) ?
?

其通解为

?
n ,m

( A nm r ?
n

B nm r

) Pn (cos ? ) cos( m ? ) n ?1
m

?
n ,m

( C nm r ?
n

D nm r
n ?1

) Pn (cos ? ) cos( m ? )
m

这里 Pnm (cos ? ) 为缔合勒让德(Legendre)函数, 各A,B,C,D为待定系数。

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
对于具有轴对称的问题,m=0 (取此轴为极轴)
且 这里
? ( r ,? ) ?

? (A
n?0

n

r ?
n

Bn r
n ?1

) Pn (cos ? )

Pn (cos ? )

为勒让德函数,An、Bn为待定系数
B r

对于球对称的问题,m=0 , n=0。且
? (r ) ? A ?
A , B 为待定系数

Pn (cos? )

P1 (cos ? ) ? cos ? 1 2 P2 (cos ? ) ? ( 3 cos ? ? 1 ) 2 P0 ? 1

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
? ( x , y , z ) ? ( A1 cos k x x ? A 2 sin k x x )
? ( B 1 cos k y y ? B 2 sin k y y ) ? ( C 1 cos k z z ? C 2 sin k z z ) 或

? ( x, y, z) ? e

? ik x x

e

? ik y y

e

? ik z z

;

(k z ? k x ? k y )
2 2 2

? ( r , ? , z ) ? ? A1 J m ( kr ) ? A 2 N m ( kr ) ?
? ? B 1 cos( n ? ) ? B 2 sin( n ? ) ? ? ?C 1 cosh( kz ) ? C 2 sinh( kz ) ?
? ( r ,? , ? ) ?
?

?
n ,m

( A nm r ?
n

B nm r

) Pn (cos ? ) cos( m ? ) n ?1
m

?
n ,m

( C nm r ?
n

D nm r
n ?1

) Pn (cos ? ) cos( m ? )
m

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
2、利用边界条件定解 (1)须根据边界面的形状确定选用的坐标系, (2)注如果考虑问题中有i 个区域(均匀分布),必须有 i个相应的Laplace's equations;

(3)确定系数可利用在每个区域的交界面上,解满足的
边值关系:? ? i
?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? i ? ? n ? ? ? j ? ? n ? ?i ? ?j ? ?
?? ?n
S

j

( 在 S ij 面 ) 上

? 边界条件: S 或

及导体的总电荷 ? ? ? ? ds ? Q 。 ?
S

?n

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
3、举例说明定特解的方法 [例1]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带 电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球 (R1<R2),使半径R1的导体球接地,求空间各点

的电势和这个导体球的感应电荷。
Q

R1

R2

R3

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
[例2]介电常数为ε的均匀介质球,半径为R,被置于
均匀外场
? E0 中,球外为真空。求电势分布。

? E0

R

z

§2.3 拉普拉斯方程,分离变量法
? 选择坐标系; ?分析对称性; ? 写出方程的解,列出边值关系和边界条件; ? 根据边值关系和边界条件确定常数 ? 分析物理意义

§2.4 镜像法
一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程 得到电场。但是,在许多情况下非常困难。如果在所考虑 的区域内只有一个或者几个点电荷,区域边界是导体或介 质界面,这类问题则可用镜像法。

§2.4 镜像法

1、镜像法

理论基础:是唯一性定理。

镜像法:在某些只有一个或几个点电荷分布的情况下,在所研究的 区域外的适当地方,用实际上不存在的 “像电荷” 代替真实的导 体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候,只 要保证原有的场方程、边界条件不变,则点电荷及像电荷激发的 场即是所求场。 注意 a)做替代时,所研究空间的泊松方程不能被改变(即自由点电荷 位置、Q 大小不能变),假想电荷必须放在所求区域之外; b)不能改变原有边界条件(实际是通过边界条件来确定假想电荷 的大小和位置); c)一旦用了假想电荷,则不再考虑原来的感应或极化电荷分布; d)坐标系选择仍然根据边界形状(很多情况下可不建立坐标系)。

§2.4 镜像法
2、适用范围
a)所求区域有一个或几个点电荷; b)边界面形状比较规则,具有一定对称性。

3、步骤
a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件; b)根据给定的边界条件计算像电荷的电量和所在位置; c)由已知电荷及像电荷写出势的解析形式; d)根据需要求出场强、电荷分布、电场作用力等。

§2.4 镜像法
4.应用举例
例1.接地无限大平面导体板 附近有一点电荷,其电量 为Q ,与板距离为a,求 空间中的势分布。
例2. 真空中有一半径R0的接 地导体球,距球心 a > R0 处有一点电荷 Q,求空间
o

y S
a Q x

各点电势。
分析导体球带电Q0且不接 地的情况。

§2.4 镜像法
例3 有一线电荷密度为η的无限长带电直线与半径为R0的 接地无限长导体圆柱轴线平行。直线与圆柱轴线的距离为 a(a>R0), 试求空间的电势分布。
y R0 a η

?

R0 a η x

§2.4 镜像法
例4.有一点电荷 Q 位于两个互相垂直的半无限 大接地导体板所围成的直角空间内,它到两个平 面的距离为 a 和 b,求空间的电势分布。 y

注:若两平面夹角?
Q

?

?
2

(-a, b, 0) -Q

Q(a, b, 0)

放在 ? 0 ( ? ? ) 处
O

用镜象 法求解 的条 件是:

x

? ?

?
n

像电荷数 2n ? 1

(-a, -b, 0) Q

§2.6 电多极矩
在真空中,假若激发电场的电荷全部集中在 一个很小的区域(如原子、原子核内),而所求 的又是空间中距场源较远处的场,这时可以采用 电多极矩法近似的来求解问题。

§2.6 电多极矩
1、电势的多极展开
z
? ri

P
? x

? x?

ρ o

?

y

x
?p ?

V
1 4 ??

?
0 V

? ? (x) r
?p ?

d? ?

l ?? r

r ? R

Q 4 ?? 0 R

§2.6 电多极矩
(1) 一元函数的麦克劳林展开式(在 x 0 展开)
f ( x ) ? f ( x 0 ) ? x f ?( x 0 ) ? 1 2!
2 x f ?? ( x 0 ) ? ?

(2) 三元函数的麦克劳林展开
? ? ? ? 在 x 0 ? a i ? b j ? c k 展开
1? ? ? ? ? ? f ?x ? ? f ( x, y , z ) ? f (a , b, c ) ? ?( x ? a ) ? ( y ? b) ? (z ? c) ? f (a, b, c) 1! ? ?x ?y ?z ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ( y ? b) ? (z ? c) ?( x ? a ) ? f (a, b, c) ? ? 2! ? ?x ?y ?z ?
2

所以在原点 附近展开为

1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? f ? x ? x ?? ? ? ? x??? ? x ?x ? : ?? ?? r R R 2! R

§2.6 电多极矩
则有
?p ?
1 4 ??

?
0 V

? ? (x) r

d? ?

?p ?

1 4 ??
0

1 1 ? 1 ? ?Q ? ? p ?? ? D : ?? ?? ?R ? R 6 R ? ?

Q ?

?

? ? ( x ?) d ? ?

电偶极矩矢量

V

? p ?
? D ?

?

? ( x ? ) x ?d ? ?

?

?

V

?

? ? ? ?x ?? ( x ? ) d ? ? 3x

V

电四极矩张量

§2.6 电多极矩
2、多极展开的物理机制
z = z + y x z o -Q a Q

x

o a Q

y

o Q

y

x z
?

零级近似

o Q x

y

§2.6 电多极矩
如果作为一级近似,且
z z z + y -Q a/2

x

a Q

y x

=

o Q

o Q

y

x

z

+
x Q -Q -Q

+Q

y

§2.6 电多极矩
z
一级近似 ? o Q x y x + o +Q z -Q

y

如果作二级近似,同理得到
z = z + y x z -Q a/2 y

o a x Q

y

o Q

o Q

x

§2.6 电多极矩
z
+

z
Q Q o -Q Q

o a/4 -Q Q

-Q

y

+

y

x
z 二级近似? o + y x z

x

Q -Q

z -Q

o a/2 Q

+
y

o a/4 -Q Q

-Q

Q y

x

x

§2.6 电多极矩
3、电多极距的验证及进一步认识
展开式表明:一个小区域内连续分布的电荷在远处激发的
r+ P(x,y,z) z 场等于一系列多极子在远处激发的场的叠加。 r z
+

P(x,y,z)

▲展开式的第一项: ▲展开式的第二项: l o
θ R r-

? (0) ?

1 4 ??
0

q Q -q
R

R a b
? p ?

r-

1 1 ? ? (1 ) ? (? p ? ? ) ? -q(o,o,-z? ) 4 ?? 0 R 4 ?? 1

l o θ ? ? -q p?R q
0

R

3

?

? ( x ? ) x ?d ? ?

?

?

V

▲展开式的第三项:
? (2) ?
1 4 ??
0

对两式的验证
? D ?

1 ? 1 D : ?? 6 R

?

? ? ? 3 x ?x ?? ( x ? ) d ? ?

V

§2.6 电多极矩
对电四极矩的进一步认识
?
2

1 R

? 0

( R ? 0)

可重新定义:
? ? ( 3 x i? x ?j ? r ? ? ij ) ? ( x ? ) d ? ?
2 V

? D ?

? ? ? ? 2 ? ( 3 x ?x ? ? r ? I ) ? ( x ? ) d ? ? D ij ?
V

电四极矩的9个分量,只有5个分量是独立的(证明)。

举例:例1及例2.

§2.6 电多极矩
4、电荷体系在外电场中的能量 设外场电势为 ? e ,场中电荷分布为
具有的总能量为:
1 1 W0 ? ? ?

? ,体系

?? ( ? ? ?e )(? ? ?e )dV 2
1

z
?e

?

? ?? dV ? 2 ? ?e?e dV 2
1

y

x

? ( ??e ? ?e? )dV 2
W0 ? 1

因此:
W ?

? ?? dV ? 2 ? ?e?e dV + 2

1

W

??

?? e dV

称为体系的相互作用能,或带电 体系在外场中的能量。

§2.6 电多极矩
带电体系为小区域时相互作用能的展开
1 ?? ? ? ? e ( x ) ? ? e ( 0 ) ? ( x ? ? )? e ( 0 ) ? ( x x : ?? )? e ( 0 ) ? ? 2!
Wi ?

?
V

1 ?? ? ? ? ? ? ( x ) ?? e ( 0 ) ? ( x ? ? )? e ( 0 ) ? ( x x : ?? )? e ( 0 ) ? ? ? d ? 2! ? ?
(0)

? Wi

? Wi

(1 )

? Wi

(2)

??

即一个小区域内连续分布的电荷在外场中的能量等于一系列多极子 在外场中的能量之和。

5、电偶极子在外场中所受到的力和力矩

§2.6 电多极矩



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