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平面向量的坐标运算2 高中数学 必修四 苏教版 Word版


2.3.2 平面向量 的坐标运算 学习目标 1.会分析坐标表示平面向量平行的条件. 2.能解决坐标表示平面向量的加、减、数乘 运算. 重点难点 重点:平面向量的加、减、数乘的坐标运算. 难点:平面向量平行条件的理解. 1.平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 单位向量 i,j 作为基底,对于平面上的向量 a,由平面向量基本定理知,有且只有一对有序 实数 x,y,使得 a=xi+yj,则把有序实数对(x,y)称为向量 a 的(直角)坐标,记作 a=(x,y). 预习交流 1 如何理解向量的坐标表示? 提示: (1)向量用坐标表示, 为表示向量 a 提供了另一种方法, 使向量 a 与有序实数对(x, y)建立了一一对应关系; (2)向量用坐标表示,为向量运算数量化、代数化奠定了基础; (3)点的坐标与向量坐标的关系.点的坐标与向量的坐标是有区别的,平面向量的坐标 与该向量的起点、 终点的坐标都有关, 只有起点在原点时, 向量的坐标才与终点的坐标相等; (4)符号(x,y)在平面直角坐标系中具有了双重意义,它可以表示一个点,又可以表示一 个向量,为加以区分,常说点 P(x,y)或者向量 a=(x,y),注意前者没有等号,后者有等号. 2.平面向量的坐标运算 (1)已知向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数 λ,那么 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1 -x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1). → → → (2)已知 A(x1,y1),B(x2,y2),O 为坐标原点,则AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2 -x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标. 预习交流 2 向量的坐标是其终点的坐标吗? → 提示:不一定.若OP是以原点为始点,P 点为终点的向量,其坐标为点 P 的坐标;由 → 于向量具有平移性,当AB的起点不是原点时,其坐标不是终点 B 的坐标. 3.向量平行的坐标表示:设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),如果 a∥b,那么 x1y2 -x2y1=0;反过来,如果 x1y2-x2y1=0,那么 a∥b. 预习交流 3 如果两个非零向量共线,你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗? 提示:当两个向量的对应坐标同号或同为零时,同向.当两个向量的对应坐标异号或同 为零时,反向.例如:向量(1,2)与(-1,-2)反向;向量(1,0)与(3,0)同向;向量(-1,2)与(- 3,6)同向;向量(-1,0)与(3,0)反向等. 预习交流 4 (1)已知 a=(-1,3),b=(x,-1),且 a∥b,则 x=__________. → → (2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为__________. 7? 1 提示:(1) (2)? ?2,2? 3 一、向量的坐标表示 在直角坐标系 xOy 中,向量 a,b,c 的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别 计算出它们的坐标. 思路分析:利用三角函数求出各向量在 x 轴、y 轴上的分量的模的大小,以此确定向量 的横、纵坐标. 解:设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2), 2 则 a1=|a|cos 45° =2× = 2, 2 2 a2=|a|sin 45° =2× = 2, 2 1? 3 b1=|b|cos 120° =3

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