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南靖一中高二年数学综合练习卷



南靖一中高二年数学综合练习卷 数 学(理 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.)21·cn·jy·com

? x ?1 ? 1、已知集合 ? ? ? x x ? 0? , Q ? ? x ? 0? ,则 ? ? x?2 ?
A. ? ??,2? 2、复

数 B. ? ??, ?1? )

? ? Q? ? (
R

) D. ?0, 2?

C. ? ?1,0?

1? i 的共轭复数对应的点位于( 2?i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 )

3、已知随机变量 ? 服从正态分布 ? ?1, ? 2 ? ,若 ? ?? ? 2? ? 0.15 ,则 ? ? 0 ? ? ? 1? ? ( A. 0.85 B. 0.70 C. 0.35

D. 0.15

4、已知 p : 函数 f ? x ? ? x ? a 在 ? ??, ?1? 上是单调函数, q : 函数 g ? x ? ? loga ? x ?1? ( a ? 0 且 a ? 1 ) 在 ? ?1, ?? ? 上是增函数,则 ? p 成立是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

?5 x ? 3 y ? 15 ? 5、若 x , y 满足约束条件 ? y ? x ? 1 ,则 3x ? 5 y 的取值范围是( ?x ? 5y ? 3 ?

A. ? ?13,15? C. ? ?11,15?

B. ? ?13,17? D. ? ?11,17? )

6、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. C.
16 3 15 2

B. D.

20 3 13 2

7、已知平面向量 a , b 满足 a ? 3 , b ? 2 , a ? b ? ?3 ,则 a ? 2b ? ( A. 1 B. 7 C. 4 ? 3

) D. 2 7

8、函数 y ? 4cos x ? e ( e 为自然对数的底数)的图象可能是(
x

)
y

y

y
O

y

O

x
A

O

x
B

x
C

O

x
D

1 9、已知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ,若将其图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位后所得的图象 2

关于原点对称,则 ? 的最小值为( A.



? 5? ? 5? B. C. D. 6 12 12 6 2 2 10、设 m , n ? R ,若直线 ? m ?1? x ? ? n ?1? y ? 2 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 相切,则 m ? n 的取值范
围是( )
?2 ? 2 2, ?? ?

A. ??, 2 ? 2 2 ? ?

?

?

B. ??, ?2 2 ? ? D. ? ??, ?2?

?

?2 2, ?? ?

?

? C. ? ? 2 ? 2 2, 2 ? 2 2 ?

?2, ???

x2 y 2 11、若 F ? c,0 ? 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点,过 F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两 a b

条渐近线交于 ? , ? 两点, ? 为坐标原点, ???? 的面积为 A.

12 a 2 ,则该双曲线的离心率 e ?( 7



5 4 5 8 B. C. D. 3 3 4 5 12、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a2 ? 1 , ?nSn ? ? n ? 2? an ? 为等差数列,则 an ? (
n ?1 2n ? 1 C. n n ?1 2 ?1 2 2 ?1 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)



A.

n

n ?1

B.

D.

n ?1 2 n ?1

1 ? ? 13、 ? 2 x ? ? 的展开式中常数项为 x? ?

6

. . .

14、已知 a ? 0 且曲线 y ? x 、 x ? a 与 y ? 0 所围成的封闭区域的面积为 a 2 ,则 a ? 15、 正四面体 ?? CD 的外接球半径为 2 , 过棱 ?? 作该球的截面, 则截面面积的最小值为 16 、 已 知 函 数 f ? x ? 为 偶 函 数 且 f
x

?

? 2 3 ?x? 1 ?? x ? x ? 5 , 0 ,函数 x x 4? , 又 f ? x ? ? ? 2 ? ? f? ? x ? x ?2 ? 2 , ? 1x? 2 ?


?1? ,若 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 恰好有 4 个零点,则 a 的取值范围是 g ? x? ? ? ? ? a ?2?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、(本小题满分 12 分)在 ??? C 中, tan ? ? 2 , tan ? ? 3 . ?1? 求角 C 的值;

? 2 ? 设 ?? ?

2 ,求 ? C .

18.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机械工程学院、海 洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示: 学院 人数 机械工程学院
4

海洋学院
6

医学院
4

经济学院
6

(1)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率; (2)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为 ? ,求随机变量 ? 的概率 分布列和数学期望.

19、(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 ? ? ??CD 中, ?? ? 平面 ?? CD , ?? ? ?? ? ?D ? 2 , 四边形 ?? CD 满足 ?? ? ?D , ?C//?D 且 ?C ? 4 ,点 ? 为 ? C 中点,点 ? 为 ? C 边上的动点,且 ?? ??. ?C

?1? 求证:平面 ?D? ? 平面 ?? C ;
使得二面角 ? ? D? ? ? 的余弦值为 ?若存在, 试求出实数 ? 的值; 若不存在, ? 2 ? 是否存在实数 ? , 3 说明理由.
2

20、 (本小题满分 12 分)在 ??? C 中,顶点 ? ? ?1,0? ,C ?1,0 ? ,G 、? 分别是 ??? C 的重心和内心, 且 ?G// ?C . ?1? 求顶点 ? 的轨迹 ? 的方程;

? 2 ? 过点 C 的直线交曲线 ? 于 ? 、 Q 两点, ? 是直线 x ? 4 上一点,设直线 C? 、 ?? 、 Q? 的斜率

分别为 k1 , k2 , k3 ,试比较 2k1 与 k2 ? k3 的大小,并加以证明.【来源:21·世纪·教育·网】

21、(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? ?1? ax ? ln ? x ?1? ? bx ,其中 a 和 b 是实数,曲线 y ? f ? x ? 恒 与 x 轴相切于坐标原点. ?1? 求常数 b 的值;

? 2 ? 当 0 ? x ? 1 时,关于 x 的不等式 f ? x? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;
10001 ? ? 3? 求证: ? ? ? ? 10000 ?
10000.4

? 1001 ? ?e?? ? ? 1000 ?

1000.5



请考生在第 22、23 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22、(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? ? x ? 2 ? 2t 在直角坐标系 x?y 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数),以原点 ? 为极点,以 x 轴 y ? ? 1 ? 2 t ? ? 2 正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? .21 教育网 1 ? 3sin 2 ? ?1? 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;

? 2 ? 试判断曲线 C1 与 C2 是否存在两个交点,若存在,求出两交点间的距离;若不存在,说明理由.

23、(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? 2x ? a ? a , x ? R .

?1? 当 a ? 3 时,求不等式 f ? x? ? 7 的解集; ? 2 ? 对任意 x ? R 恒有 f ? x ? ? 3 ,求实数 a 的取值范围.

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.A 11.C 12.A 【版权所有:21 教育】 简答与提示: 1. 【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算,属于基础题. 【试题解析】D 由 题 意 可 知 Q ? {x | x ≤ ?1 或 x ? 2} , 则 ?R Q ? { x | ?1 ? x ? 2} , 所 以

P ?R Q ? {x | 0 ? x ? 2} . 故选 D.
2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算,以及复平面上的点与复数的关系,属于基础题. 【试题解析】A 3.

1? i 3 1 3 1 ? ? i ,所以其共轭复数为 ? i . 故选 A. 2?i 5 5 5 5

【命题意图】本题考查正态分布的概念,属于基础题,要求学生对统计学原理有全面的认识. 【试题解析】C P (0 ≤ ? ≤ 1) ? P (1 ≤ ? ≤ 2) ? 0.5 ? P (? ? 2) ? 0.35 . 故选 C. 4. 【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑,属于基础题. 【试题解析】C 由 p 成立,则 a ? 1 ,由 q 成立,则 a ? 1 ,所以 ?p 成立时 a ? 1 是 q 的充要条件.故选 C. 5. 【命题意图】本题主要考查线性规划,是书中的原题改编,要求学生有一定的运算能力. 【试题解析】D 由题意可知, 3 x ? 5 y 在 (?2, ?1) 处取得最小值,在 ( , ) 处 取 得 最 大 值 , 即

3 x ? 5 y ? [?11,17] .故选 D.
6.

3 5 2 2

【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法,对学生运算求解能力有一定要求.

【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥,所以其体积为 8 ? 7. 8. 9. 【命题意图】本题考查向量模的运算.

4 1 13 ? ? . 故选 D. 3 6 2

【试题解析】B

| a ? 2b |? a 2 ? 4a ? b ? 4b 2 ? 7 . 故选 B.

【试题解析】A 世纪教育网版权所有 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质,属于基础题. 由题意 f ( x) ? sin(2 x ?

【试题解析】C

?

? ? k? ? ? f ( x) ? sin[2( x ? ? ) ? ] ,则 2? ? ? k? ,即 ? ? ? (k ? N) ,所以 ? 的最小值为 . 故选 C. 6 6 2 12 12
10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离,属于中档题. 【试题解析】 A 由直线与圆相切可知 | m ? n |? 可知 m ? n ? 1 ?

6

) ,将其图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位后解析式为

(m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ,整理得 mn ? m ? n ? 1 ,由 mn ? (

m?n 2 ) 2

1 (m ? n) 2 ,解得 m ? n ? (??, 2 ? 2 2] [2 ? 2 2, ??) . 故选 A. 4 b 2ab ,tan 2? ? 2 , 因此△ OAB a a ? b2

11. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,结合着较大的运算量,属于难题. 【试题解析】 C 由题可知, 过 I、 III 象限的渐近线的倾斜角为 ? , 则 tan ? ? 的面积可以表示为

1 a 3b 12a 2 b 3 5 ,解得 ? ,则 e ? . 故选 C. ? a ? a tan 2? ? 2 2 ? 2 a ?b 7 a 4 4

12. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题,属于难题. 【试题解析】A 设 bn ? nS n ? (n ? 2)an ,有 b1 ? 4 , b2 ? 8 ,则 bn ? 4n , 即 bn ? nS n ? (n ? 2)an ? 4n

2 )an ?1 ? 0 n ?1 a a 2(n ? 1) n ?1 所以 an ? an ?1 ,即 2 ? n ? n ?1 , n n ?1 n n ?1 a 1 所以 { n } 是以 为公比,1 为首项的等比数列, n 2 an 1 n ?1 n 所以 ? ( ) , an ? n ?1 . 故选 A. n 2 2
当 n ? 2 时, S n ? S n ?1 ? (1 ? )an ? (1 ? 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 60 14.

2 n

4 9

15.

8? 3

16. ? 2,

? 19 ? ? ? 8?

简答与提示: 13. 【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识,属于基础题. 【试题解析】由题意可知常数项为 C6 (2 x) ( ?
2 2

1 4 ) ? 60 . x

14. 【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理,属于基础题. 【试题解析】由题意 a ?
2

?

a

0

2 3 4 xdx ? x 2 ,所以 a ? . 9 3 0

a

15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题,本题通过求球的截面面积,对考生的空间想象能力及运 算求解能力进行考查,具有一定难度. 21cnjy.com 【试题解析】 由题意,面积最小的截面是以 AB 为直径,可求得 AB ?

4 6 ,进而截面面积的最小值为 3

?(

2 6 2 8? . ) ? 3 3

16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题,需要学生对图像进行理解,对学生 的能力提出很高要求,属于难题. 2· 1· c· n· j· y 【试题解析】 由题意可知 f ( x) 是周期为 4 的偶函数,对称轴为直线 x ? 2 . 若 F ( x) 恰有 4 个零点,有

? g (1) ? f (1) 19 ,解得 a ? (2, ) . ? 8 ? g (3) ? f (3)
17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式,以及同角三角函数的应用,并借助正弦定理考查边角关系的运 算,对考生的化归与转化能力有较高要求. www-2-1-cnjy-com 【试题解析】解:(1) (3 分) A+B ? C ? ? ,? tan C ? ? tan( A ? B)
tan A ? 2, tan B ? 3,? tan C ? 1,? C ?

?
4

(6 分)

(2) 因 为 tan B ? 3 ?

3 10 sin B . ? 3 ? sin B ? 3cos B , 而 sin 2 B ? cos 2 B ? 1 , 且 B 为 锐 角 , 可 求 得 sin B ? 10 cos B

(9 分)21 教育名师原创作品 所以在△ ABC 中,由正弦定理得, AC ?
AB 3 10 . ? sin B ? sin C 5

(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 【试题解析】 ( 1 ) 从 20 名 学 生 随 机 选 出 3 名 的 方 法 数 为
3 C20 ,选出 3 人中任意两个均不属于同一学院的方法数为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C4 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C6 ………………………………………………………4 分

P?
所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C4 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C6 8 ? 3 C20 19

……………………………………6 分

(2) ? 可能的取值为 0,1, 2,3

P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?

3 2 1 C16 C16 C4 8 ?15 ? 4 5 ? 7 ?16 28 8 ? ? , P ( ? ? 1) ? ? ? , 3 3 C20 3 ? 20 ?19 57 C20 3 ? 20 ?19 19 1 2 3 C16 C4 C4 16 ? 6 8 4 1 ? ? , P ( ? ? 3) ? ? ? 3 3 C20 3 ? 20 ?19 95 C20 3 ? 20 ?19 285 ……………………………10 分

所以 ? 的分布列为

?
P


0

1

2

3

28 57

8 19

8 95

1 285


E (? ) ?

28 8 8 1 57 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ? 57 19 95 285 95 ………………………………………………………12 分

19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间 向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) 取 PB 中点 N ,连结 MN 、 AN ,

1 BC ? 2 , 2 又 BC // AD ,? MN // AD, MN ? AD ,? 四边形 ADMN 为平行四边形 AP ? AD, AB ? AD ,? AD ? 平面 PAB ,? AD ? AN ,? AN ? MN AP ? AB ,? AN ? PB ,? AN ? 平面 PBC , AN ? 平面 ADM ,? 平面 ADM ? 平面 PBC . (6 分) (2) 存在符合条件的 ? .以 A 为原点, AB 方向为 x 轴, AD 方向为 y 轴, AP 方向为 z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 E (2, t , 0) , P(0, 0, 2) , D(0, 2, 0) , B(2, 0, 0) 21·世纪*教育网
M 是 PC 中点,? MN // BC , MN ?
从而 PD ? (0, 2, ?2) , DE ? (2, t ? 2, 0) ,则平面 PDE 的法向量为 n1 ? (2 ? t , 2, 2) , 又平面 DEB 即为 xAy 平面,其法向量 n2 ? (0, 0,1) ,

n1 ? n2 2 2 ? ? , | n1 | ? | n2 | (2 ? t ) 2 ? 4 ? 4 3 1 解得 t ? 3 或 t ? 1 ,进而 ? ? 3 或 ? ? . 3
则 cos ? n1 , n2 ??

(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法,椭圆方程的求法、

直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

1 1 (| AB | ? | AC | ? | BC |) ? r ? | BC | ? | y A | ,且 | BC |? 2 , | y A |? 3r ,其中 r 2 2 为内切圆半径,化简得: | AB | ? | AC |? 4 ,顶点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴端
【试题解析】 解: (1) 已知 S ?ABC ? 点),其中 a ? 2, c ? 1, b ? 3
2 2
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x y ? ? 1 ( y ? 0) . 4 3 (2) 2k1 ? k2 ? k3 ,以下进行证明:
进而其方程为

(5 分)

当直线 PQ 斜率存在时,设直线 PQ : y ? k ( x ? 1) 且 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) , H (4, m)

? x2 y 2 8k 2 4k 2 ? 12 ?1 ? ? 联立 ? 4 可得 , . x ? x ? x x ? 3 1 2 1 2 2 2 3 ? 4 k 3 ? 4 k ? y ? k ( x ? 1) ? y ?m y ?m m 由题意: k1 ? , k2 ? 1 , k3 ? 2 . 3 x1 ? 4 x2 ? 4 ( y ? m)( x1 ? 4) ? ( y2 ? m)( x1 ? 4) k 2 ? k3 ? 1 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

(8 分)

8m ? 8k ? 2kx1 x2 ? (m ? 5k )( x1 ? x2 ) 24mk 2 ? 24m 2m ? ? ? 2k1 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 36k 2 ? 36 3 3 3 m? m? 3 3 2? 2 ? 2m ? 2k 当直线 PQ 斜率不存在时, P (1, ), Q (1, ? ) , k2 ? k3 ? 1 3 3 3 2 2 综上可得 2k1 ? k2 ? k3 . (12 分) ?
21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及 函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.2-1-c-n-j-y 【试题解析】解:(1) 对 f ( x) 求导得: f ?( x) ? ? a ln(1 ? x) ?

1? b ? 0 ? b ? 1. (2) 由(1)得 f ( x) ? (1 ? ax) ln(1 ? x) ? x , 0 ? x ? 1
f ?( x) ? ?a ln(1 ? x) ? 1 ? ax ?1 1? x a ?a (1 ? x) ? (1 ? ax) ax ? 2a ? 1 . f ??( x) ? ? ? ?? 2 1? x (1 ? x) (1 ? x) 2

1 ? ax ? b ,根据条件知 f ?(0) ? 0 ,所以 1? x

(3 分)【来源:21cnj*y.co*m】

2a ? 1 ) 1 a ?? ? 0 ,于是 f ?( x) 在 [0,1] 上单调递增,从而 ① 当 a ? ? 时,由于 0 ? x ? 1 ,有 f ( x) ? ? (1 ? x) 2 2 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 ; ax ? 2a ? 1 ② 当 a ? 0 时 , 由 于 0 ? x ? 1 , 有 f ??( x) ? ? ? 0 , 于 是 f ?( x) 在 [0,1] 上 单 调 递 减 , 从 而 (1 ? x) 2 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递减,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 ; 2a ? 1 a( x ? ) 1 2a ? 1 a ?? ? 0, ③当 ? ? a ? 0 时, 令 m ? min{1, ? 当 0 ? x ? m 时,f ( x) ? ? 于是 f ?( x) 在 [0, m] }, (1 ? x) 2 2 a 上单调递减,从而 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0, m] 上单调递减, 即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 . a( x ?

综上可知,所求实数 a 的取值范围是 (??, ? ] . (3) 对要证明的不等式等价变形如下:

1 2

(8 分)

2 10001 10000.4 1001 1000.5 1 10000? 5 1 1000? 1 2 ( ) ?e?( ) ? (1 ? ) ? e ? (1 ? ) 10000 1000 10000 1000 2 1 n? 5 1 n? 1 所以可以考虑证明:对于任意的正整数 n ,不等式 (1 ? ) ? e ? (1 ? ) 2 恒成立. 并且继续作如下等价变形 n n 2 1 1 ? (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 ( p) 2 1 ? n ? n ? 1 1 2 1 1 1 ? 5n n n ?? (1 ? ) 5 ? e ? (1 ? ) 2 ? (n ? ) ln(1 ? ) ? 1 ? ( n ? ) ln(1 ? ) n n 5 n 2 n ?(1 ? 1 ) ln(1 ? 1 ) ? 1 ? 0 ( q) ? 2n n n ? 2 1 1 1 对于 ( p ) 相当于(2)中 a ? ? ? (? , 0) , m ? 情形,有 f ( x) 在 [0, ] 上单调递减,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而 5 2 2 2 且仅有 f (0) ? 0 . 1 2 1 1 取 x ? ,当 n ? 2 时, (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立; n 5n n n 2 7 7 当 n ? 1 时, (1 ? ) ln 2 ? 1 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.7 ? 1 ? 0 . 5 5 5 2 1 1 从而对于任意正整数 n 都有 (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立. 5n n n 1 1 对于 (q ) 相当于(2)中 a ? ? 情形,对于任意 x ? [0,1] ,恒有 f ( x) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 . 取 x ? ,得:对 2 n 1 1 1 于任意正整数 n 都有 (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立. 2n n n 2 1 n? 5 1 n? 1 因此对于任意正整数 n ,不等式 (1 ? ) ? e ? (1 ? ) 2 恒成立. n n 2 1 1 n? 1 n? 这样依据不等式 (1 ? ) 5 ? e ? (1 ? ) 2 ,再令 n ? 10000 利用左边,令 n ? 1000 利 用 右 边 , 即 可 得 到 n n 10001 10000.4 1001 1000.5 成立. (12 分) ( ) ?e?( ) 10000 1000

22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互 化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合 思想,对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解:(1) 对于曲线 C1 有 x ? y ? 1 ,对于曲线 C2 有

x2 ? y 2 ? 1 .(5 分) 4

? 2 t ?x ? 2 ? x2 2 ? 2 (2) 显然曲线 C1 : x ? y ? 1 为直线,则其参数方程可写为 (为参数)与曲线 C2 : ? y ? 1 联立, ? 4 ? y ? ?1 ? 2 t ? ? 2 可知 ? ? 0 ,所以 C1 与 C2 存在两个交点,【出处:21 教育名师】
由 t1 ? t2 ?

12 2 8 2 8 , t1t2 ? ,得 d ?| t2 ? t1 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? . 5 5 5

(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及绝对值不等式及不等式证明等 内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.

1 ? ?7 ? 4 x, x ? 2 ? 3 ? 1 【试题解析】解:(1)当 a ? 3 时, f ? x ? ? ?5, ? x ? 2 ? 2 3 ? ?4 x ? 1, x ? 2 ?
所以 f ? x ? ? 7 的解集为 x x ? 0或x ? 2

?

?

(5 分)

(2) f ? x ? ? 2x ?1 ? a ? 2x ? a ? 2x ?1? a ? 2x ? a ? a ?1 ? a 由 f ? x ? ? 3 恒成立,有 a ?1 ? a ? 3 ,解得 a ? 2 所以 a 的取值范围是 ?2, ??? (10 分)



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