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2015-2016学年 2.3.1《平面向量的基本定理》课件



2.3.1平面向量的基本定理

本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下,进一步研究平

面内任一向量的表示,为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础
。从“如何求导弹竖直和水平方向速度?” 导入新课。通过导弹的 飞行方向和力的分解两个实例,将问题类比,引入本节问题-向量的 分解。为了帮助学生理解,提供了两段直观的视频,直观形象。

设计意图:借助实际与物理问题设置情境,引发学生思考与想 象,将问题类比,引入本节课题。 然后分组讨论合作探究并提出问 题,进入探究阶段。小组讨论完毕,由几个小组展示研究成果。结 合小组展示成果,借助多媒体展示,由师生共同探究向量的分解。 展示过程中,要重点强调平移共起点,借助平行四边形法则解说分 解过程,加深学生的直观映像,完成向量的分解。通过向量的分解 ,由学生小组讨论,共同归纳本节的核心知识 —平面向量基本定理 。最后设计了几道课后习题进行拓展延伸,培养学生的综合能力。

1、知道平面向量基本定理;

2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的
向量来表示,初步应用向量解决实际问题;

3、能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都
能够用基底来表示.

问题情境
如何求此时竖直和水平方向速度?

? ? ? 如图,有非零向量 a ,怎样判定 b与 a共线 ?

? a ? b
? ? 向量 b与非零向量 a共线, ? ? 当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

?? ? ?? ? 观察如图三个不共线向量e1、 a、 e2 , 它们之间会有 怎样的关系呢?

e1

? a

e2

将三个向量的起点移到同一点:

e1

? a

M O

e1

A

? a

C

e2

e2

B

N

? 显 然 : a ? OM ? ON

? 显 然 : a ? OM ? ON
根据向量共线的充要条件, 存在唯一 ??? ?? 的一对实数?1 , ?2 , 使得: OM ? ?1e1 , ??? ?? ? ON ? ?2e 2 , 故 ?? ?? ? ? a ? ?1e1 ? ?2e 2 .

M

O

e1

A
B

? a

C

e2

N

?? ?? ? 确定一对不共线向量 e1,e2 后,是否平面内任意一个向 ?? ?? ? 量都可以用?1 e1 ? ?2 e2来表示呢 ?

? ? ?? ?? (1) 当a与e1或e2 共线时,可令?1或?2为0即可使结论成立 .

? a

e1

e1

e2

e2

? a

? (2) 改变a的位置如下图两种情况时, 怎样构造平行四边形 ?

C

? e a 1
N

M A

? e1
A' M

O e2 B

e1

A

? a

N

B' ? e 2 O e2 B

C

? (3) 继续旋转a的位置,如下图, 又该如何构成平行四边形 ?

N C

? ? e2 e a 1

B'

A

B O ? e1 A' e2 M

? ? ? ?? ? 给定平面内两个向量 e1、e2 ,平面内任一向量都可以用这

两向量方向表示

a
e2
平移 共同起点

e1
B

a ? OA ? OB

a
e
A

OA ? ?1 e1 OB ? ?2 e2

分解

e2
O

? a ? ? e ?? e
1 1

?

2 2

平面向量基本定理:
?? ?? ? 如果 e1 , e2是同一平面内两个不共线的向量,那么 ? 对这一平面内任意一个向量 a , 有且只有一对实数?1 , ?2 , ?? ?? ? ? 使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

其 中 e 1, e2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所有

向量的一组基底.

平面向量基本定理:
?? ?? ? 如果 e1 , e2是同一平面内两个不共线的向量,那么 ? 对这一平面内任意一个向量 a , 有且只有一对实数?1 , ?2 , ?? ?? ? ? 使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

?? ?? ? 问 1: 在刚才我们总结的定理中,基底 e1,e2 是不是唯一的呢?

平面向量基本定理:
?? ?? ? 如果 e1 , e2是同一平面内两个不共线的向量,那么 ? 对这一平面内任意一个向量 a , 有且只有一对实数?1 , ?2 , ?? ?? ? ? 使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

?? ?? ? ? 问 2: 给定基底 e1,e2 之后,任意一个向量a的表示是 不是唯一的呢 ?

例题讲解 例1 已知向量 e 、 e
1

?? ?

?? ?
2

?? ? ,求作向量 ?2.5e1 ? 3e 2 .

?? ?

解:作图顺序如下:

C

B
3e 2 ?? ?

e

?? ?
2

A

?2.5e1

?? ?

O

e

?? ?
1

例2 如图 , ABCD的两条对角线相交于点 M, ???? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ???? ???? ???? AD ? b ,用 a 、 且 AB ? a 、 b 表示 MA 、 MB 、MC 和 MD


? M ??? ? ??? ? ???? ? ? b ? ? AC ? AB ? AD ? a ? b a A ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? ? B DB ? DA ? AB ? ? AD ? AB ? ?b ? a ? ??? ? ? 1? 1? 1 ? 1 ??? ? MA ? ? AC ? ? ( a ? b )? ? a ? b 2 2 2 2 ???? 1 ???? 1 ? ? 1? 1? MB ? DB ? (a ? b) ? a ? b 2 2 2 2 ???? ? 1 ??? ? 1? 1? MC ? AC ? a ? b 2 2? 2 ? ???? ? ???? ??? 1 1 1? MD ? ? MB ? ? DB ? ? a ? b 2 2 2



ABCD中

D

C

??? ? ??? ??? ? ??? ? ? OA 例3??? 如图, ? ??? ??? ? AP ? t AB (t ? R) , ? 、OB 不共线, 用 OA 、OB , 表示 OP .

??? ? ??? ? 解: ? AP ? t AB

P B

??? ? ??? ? ??? ? ?OP ? OA ? AP

? OA ? t AB ??? ? ???? ??? ? ? OA ? t ( AO ? OB)
??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? tOA ? tOB

A O

? (1 ? t )OA ? tOB

例4

ABCD中,E、F

分别是DC和AB的中点,

? e2

D

E

C

试判断AE,CF是否平行? A F ??? ? ??? 解: ? ? ? 取基底 AB ? e 1 , AD ? e2 ??? ? ???? ??? ? ? 1? 则有 AE ? AD ? DE ? e2 ? e1 2 ??? ??? ? ??? ? ??? ? 1? ? ? FC ? FB ? BC ? e1 ? e2 ? AE ??? ? ??? ? 2 ? ??? AE FC ? // ??? ? ∵ AE, FC 共线,又无公共点,

? e1

B

? AE // FC

? ? 1.如图,已知向量 e1 、 e2 求作下列向量: ? ? ? ? ? 1? (1) 3e1 ? 2e2 ; (2) 4e1 ? e2 ; (3) ? 2e1 ? e2 . 2 ? ? ? e 1 2e
A
2

? 3e1
? ? 3e1 ? 2e2 ;
O
O

B

A

e2

? 3e1
C

B

? ? 1.如图,已知向量 e1 、 e2 求作下列向量: ? ? ? ? ? 1? (1) 3e1 ? 2e2 ; (2) 4e1 ? e2 ; (3) ? 2e1 ? e2 .
B

? ?e2

2

A

B

A

? e1

? e2

? ? 4e1 ? e2

? 4e1

C O

O

? ? 1.如图,已知向量 e1 、 e2 求作下列向量: ? ? ? ? ? 1? (1) 3e1 ? 2e2 ; (2) 4e1 ? e2 ; (3) ? 2e1 ? e2 .

? e1
O
? ?2e1
? 1? ? 2e1 ? e2 ; 2

2

? e2

O

? ?2e1
A B

C

A

1? B e2 2

2.如图,已知梯形ABCD,AB//CD,且AB= 2DC,M,N分别是

DC,AB的中点.

D

M

C

A

N

B

请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、MN对应 的向量中确定一组基底,将其他向量用这组基底表示出来。

解:
??? ? ? ??? ? ? 取基底 AB ? e1, AD ? e2 ,则有 ???? 1 ? DC ? e1 ; 2

D

M

C

? e2
N

??? ? ??? ? ???? ???? BC ? BA ? AD ? DC A 1? ? ? ? 1? ? ?e1 ? e2 ? e1 ? ? e1 ? e2 2 2
???? ? ???? ? ??? ? ???? MN ? MD ? DA ? AN
1? ? 1? ? ? e1 ? e2 ? e1 4 2

? e1

B

1? ? ? e1 ? e2 4

本节学习了: (1)平面向量基本定理: 平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表

? ? ? 示.即 a ? ?1e1 ? ?2e2 .

这是应用向量解决实际问题的重要思想方法. (2)能够在具体问题中适当的选取基底,使其它向量都 能够统一用这组基底来表达.

课本 习题2.3 1 ~2

敬请指导
.



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