数学课件 2.5 幂函数 课件(人教A版必修1)

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2016/4/18

学点一

? ? ? ? ? ? ? ? ?

学点二
学点三 学点四

学点五

2016/4/18

1.一般地,函数y=xa叫做 幂函数 ，其中x是自变量,a是常数. 2.幂函数y=xa具有下面性质：

（1）所有的幂函数在区间 (1,1) 数图象都通过 点.

(0,+∞)

上都有定义，并且函 (0,0)

（2）如果a>0，则幂函数的图象都通过点 ，并且 ［0,+∞) 在区间 上是增函数. (0,+∞) （3）如果a<0，则幂函数在区间 上是减函数， y轴 当x从右边趋向于 时，图象在y轴右方无限地逼 y轴 近 x ；当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近 轴.
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3.在如图所示的幂函数图象中，幂函数①②③中α的取值 范围分别为 (-∞,0) ， (1,+∞) ， (0,1) .

4.要作出幂函数在其他象限的图象，可由函数在第一象限 奇偶性 的形状及函数的 作出.
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学点一 幂函数的定义 2 a - 5a ? 5 2 x 已知函数y=(a -3a+2) (a为常数). （1）当a为何值时，此函数为幂函数？ （2）当a为何值时，此函数为正比例函数？ （3）当a为何值时，此函数为反比例函数？ 【分析】根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义 可求. 【解析】（1）由题意得a2-3a+2=1，即a2-3a+1=0, 3? 5 ∴a= . 2
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（2）由题意得

（3）由题意得

? ?

a2-5a+5=1

解得a ? 4

a2-3a+2≠0,
a2-5a+5=-1
解得 a ? 3

a2-3a+2≠0,

【评析】正确理解幂函数与以往所学函数的关系，有利 于温故知新.

2016/4/18

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已知幂函数f(x)= x (k∈Z)为偶函数,且在区间 (0,+∞)上是增函数，求函数f(x)的解析式. 由已知
3 1 2 ? k ? k >0,即k2-2k-3<0,∴-1<k<3,又 2 2 3

3 1 ?k ? k 2 2 2

∵k∈Z,∴k=0,1,2.当k=0时,f(x)= x 2不是偶函数； 2是偶函数；当k=2时， 当k=1时， f(x)=x 3 2 x f(x)= 不是偶函数,∴f(x)=x2.

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学点二
?

比较大小
5 2
? 5 2

比较下列各组数的大小：

（ 1） 3 7和 3.1 7 ; ? 1 8 8 - 8 和2- (9) ; 2 （ 2） π ?3 2 ?3 (- ) (- ) （ 3） 3 和 6 .
【分析】依据幂函数的图象和性质比较大小.

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?

5 2
? 5

- 8

?

7 8

?

(

1 8

7

3

?

5 2

?
(

3 . 17 2

)8

x
1

8

(?

2 ? 2 3 ) 3

?
2 3

1 8

(

?

2 ? 2 9 3 ) 3

? (?

7 1 )8 ? 8 π

(

6

)

?

7 1 )8 9

(

2 ? π 3 ) 6

- 8

?

7 8

?

(

7 1 )8 9

x
(?

?

2 3

?

π 6

【解 析】 （ 1） 函数 y= 3 在 【评析】比较大小题要综合考虑函数的性质，特 (0,+∞) 别是单调性的应用，更要善于运用“搭桥法”进 上为 行分组，常数 0 和 1 是常用的参数 . 减函 2016/4/18

2 ? 2 3 ) 3

?

(

2 ? 2 3 ) 3

?

(

2 ? π 3 ) 6

?

(?

2 ? π 3 ) 6

即 (?

2 ? 2 3 ) 3

?

(?

2 ? π 3 ) 6

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比 较 4 4 4 4 4 3 3 3 3 大 （1）∵ (?6.3) ? (6.3) , (?6.2) ? (6.2) 且 >1,6.3>6.2, 4 3 4 4 小 : 3 ∴(?6.3)3与 (?6.2)3实际上是幂函数y=x 在x=6.3与x=6.2的函数 4 3 (1) 值，根据幂函数的性质知函数 y=x (x>0) 是增函数，即 4 4 4 4
(?6.3)3 与(?6.2)
(b? )-1

4

4 3

3

4 ?4 5 4 5 ?315 (?1.1 ) ,1.4(? ,1.1 ) . 6 5

1

3

2

(6.3) >(6.2),

3

3

∴(-6.3) >(-6.2) .

3

3

;
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(2)

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-

(

4 ) 5

1 5

?
? 1 5

0, ( -

1 ? 4 5 ) 5

?

? (
1 5

?

(

5 ) 6

?

1 ? 4 5 5 ) , ( ) ? 5 61 ? 4 5 ? ( ) ? 5
? 1 5

? (

5 ) 6 5 ? ( ) 6
? 1 5

?

1 5

4 5

?

即(?

5 6 4 ) 5

?

1 5

?

(?

5 ) 6

?

1 5

3 4

?

2 3

?1. 1
3 4

3 4

? 1. 13

2

;

x

?1 .1

3 4

3

?

1 . 44

;

?1 . 1

2 3

3

3

?

4 1 .1

?

1 . 44

;

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（2 ∵ ） 函 数 y= 在 (0,+ ∞) 上 ，

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学点三 奇偶性的判定 判断下列函数的奇偶性
(1)y = x
1 3

(2)y = x

2 3

(3)y = x -2 (4)y = x
1 3
1 3

1 2

(5)y = x .

?

3 2

【分析】判定函数奇偶性应用函数奇偶性定义. 【解析】 （1）∵f(-x)=（-x）=-x =-f(x)，又∵定义域为R, ∴y=x 为奇函数. （2）f(x)=x ,定义域为R，且f(-x)=(-x) 1
3 2 =［(-x) ］
2 3
2

1 3

2 3

2 3

=x 为偶函数. 1 （3）∵f(x)=x-2= x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，又
1 1 ∵f(-x)= (-x) 2 ? x 2

=f(x),

∴f(x)为偶函数.
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（4）∵f(x)= x = 于原点对称，
2 x （5）∵f(x)= = ?

1 2

x 的定义域为{x|x≥0}，定义域不关

∴f(x)为非奇非偶函数 . 3
1 x = ∴f(x)的定义域为(0,+∞).
3 2

1 x3 ,

∴f(x)为非奇非偶函数.

【评析】一般先将函数式化成正指数幂或根式形式，确 定定义域，再用定义判断奇偶性；也可通过图象特征来 判断.

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判 定 下 列 函 数 的 奇 偶： 性 （1）y =x ；(2)y = x 3
3 2 ? 1 2

; (3)y = x .

4 3

（1）y= x 2 = x 3 ,∴x≥0,∴定义域［0,+∞)不关于原点对称, 为非奇非偶函数 . 1

（2）y= x

?

2

?

1

x

, ∴x>0,

∴定义域(0,+∞) 不关于原点对称，为非奇非偶函数. 4 x 3 ? 3 x4 （3）y= ,∴x∈R, ∴满足f(-x)=f(x),f(x)为R上的偶函数.

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学点四

幂函数的单调性

证明：幂函数f(x)= x 在［0,+∞)上是增函数. 【分析】由函数单调性定义作出证明.

?

(

x1 ?

x1 x 2 )(

?x x1 2

?

x2 )

x1 ?

x2
x2

?

x1 ? x 2 x1 ? x2

【证 明】 任取 【评析】在证明函数的单调性时，既可以用作差的方法，也 x1,x2 可以用作商的方法，都可以证明函数 f(x)=x在［0,+∞)上是增 ∈ 函数. ［0, 2016/4/18 返回 +∞)，

x1 ?

2 7 已知函数f(x)= x - xm,且f(4)=- 2 .

（1）求m的值； （2）判断f(x)在(0,+∞)上的单调性.
4 (1)f(4)= 2 -4m=-72,

即4m=4,∴m=1.
2 ∴f(x)= x -x.

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(2)任取x1,x2 2∈(0,+∞),且x1<x2,则
2 x f(x1)-f(x2)= 1 -x1-( x -x2) 2 2 x1 - x 2)-(x1-x2) 2( x 2 ? x1 ) -(x1-x2) x1 x 2 ( x2 ? x1 )(2 ? x1 x2 ) x1 x2
2

=(
= =

∵x2-x1>0,x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,

即函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
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学点五
23 35

幂函数的简单应用

（ 1 ） 【分析】根据幂函数图象、单调性比较大小. 已 知 【解析】（ 1）∵根据幂函数y=x1.3的图象知当0<x<1时， ( 1.3<1，又∵根据幂函数y=x0.7的图象知当 0<y<1,∴0<0.7 0 1.30.7>1,于是有0.71.3<1.30.7, x>1时,y>1，∴ . m，由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,当x>0时，随着x 考查幂函数 y=x 7 1 增大，函数值也增大，∴ m>0.
. 3

)
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m

<

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2 3

（2）∵函数y=x 与y=x 的定义域都是R，y=x 的图 象分布在第一、二象限；y=x 的图象分布在第一、三 象限. 2 ∴当x∈(-∞,0)时，x >x ;
2 3 当x=0时，显然不合题意； 3 5
3 x >0,x >0, 当x∈(0,+∞)2时， 3 5 3
3 5

3 5

2 3

x x

2 3 3 5

1 15

=x >1, ∴x>1.

即x>1时，x >x .
综上所述，满足条件的x的取值范围为{x|x<0或x>1}.

【评析】由幂函数不等式求变量范围，实质上仍是对图象 与单调性的考查.
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已知幂函数y= (m∈N*)的图象 关于y轴对称， 根据条件确定m的值，再利用幂函数的增减性求a的取值 且在(0,+∞)上, 范围. 函数值随x的增 ∵函数在 (0,+∞)上递减，∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. 大而减小，求 满足 1 1 又∵m∈N*,∴m=1,2.又∵函数图象关于 y轴对称，∴ m2? ? 3 3 2m-3为偶数，故 m=1,∴有(a+1) <(3-2a) . 1 ? 3在(-∞,0),(0,+∞)上均递减， 又∵ y=x 的a的取值范围 .
(a ? 1) ? (3 - 2a) 3
m ? 3

m -2m-3 x m ?

2

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∴a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 3-2a>0>a+1, 解 2 3 得 3 <a< 2 或a<-1.

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1.学习幂函数时，应注意什么问题？

（1）并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如 y=x+1,y=x2-2x都不是幂函数.
（2）求幂函数的定义域时，可分四种情况：一是α为正整 数；二是α为正分数；三是α为负整数；四是α为负分数. 2.如何更好地掌握幂函数的图象与性质？

要想更好地掌握幂函数的图象与性质，首先必须熟练地掌 握幂函数在第一象限的图象与性质，其次掌握幂函数的奇 偶性，这样幂函数的图象由对称性即可确定其完整图形， 则其性质即可由图象得到.
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1.把握好幂函数定义的结构特点

幂函数定义仍是结构定义，其特点是xα的系数为 1，底数是自变量x的系数为1的单项式.
2.幂函数定义域的求法 幂函数的定义域随着α取值不同而不同,若遇到 分数指数型幂函数，应先化为根式，再由根式性 质求定义域.

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3.幂函数图象凸凹性
（1）当α>1时，在第一象限为下凹的； （2）当0<α<1时，在第一象限为上凸的； （3）当α<0时，在第一象限为下凹的. 4.幂函数的单调性与奇偶性 （1）单调性要由α的取值范围确定； （2）奇偶性讨论：由于我们主要研究指数为分数 的幂函数，因而先将其化为根式，再由奇偶性定 义判断.

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