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三角函数的诱导公式【六公式】



用公式 诱导公式

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三角函数的诱导公式(六公式) 公式一: sin(α +k*2π )=sinα (k 为整数) cos(α +k*2π )=cosα (k 为整数) tan(α +k*2π )=tanα (k 为整数) 公式二: sin(π +α ) = -sinα cos(π +α ) = -cosα tan(π +α )=ta

nα 公式三: sin(-α ) = -sinα cos(-α ) = cosα tan (-α )=-tanα 公式四: sin(π -α ) = sinα cos(π -α ) = -cosα tan(π -α ) =-tanα 公式五:

sin(π /2-α ) = cosα cos(π /2-α ) =sinα 由于 π /2+α =π -(π /2-α ),由公式四和公式五可得 公式六: sin(π /2+α ) = cosα cos(π /2+α ) = -sinα 诱导公式 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限。[2] 或者也可以这样记:分变整不变,符号看象限。 和(差)角公式

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三角和公式 sin(α +β +γ ) =sinα ?cosβ ?cosγ +cosα ?sinβ ?cosγ +cosα ?cosβ ?sinγ -sinα ?sinβ ?sin γ cos(α +β +γ ) =cosα ?cosβ ?cosγ -cosα ?sinβ ?sinγ -sinα ?cosβ ?sinγ -sinα ?sinβ ?cos γ tan(α +β +γ )=(tanα +tanβ +tanγ -tanα ?tanβ ?tanγ )/ (1-tanα ?tanβ -tanβ ?tanγ -tanα ?tanγ ) (α +β +γ ≠π /2+2kπ ,α 、β 、γ ≠π /2+2kπ ) 积化和差的四个公式 sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 倍角公式

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sin(3a)→3sina-4sin^3a =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a→(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a→4sinasin(60°+a)sin(60°-a) =3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina] =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a→4cosacos(60°-a)cos(60°+a) =4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) tan3a→tanatan(60°-a)tan(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 三倍角 sin3α =3sinα -4sin^3 α =4sinα ?sin(π /3+α )sin(π /3-α )

cos3α =4cos^3 α -3cosα =4cosα ?cos(π /3+α )cos(π /3-α ) tan3α =tan(α )*(-3+tan(α )^2)/(-1+3*tan(α )^2)=tan a ? tan(π /3+a)? tan (π /3-a) 其他多倍角 四倍角 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角 sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角 sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=(-1+2*cosA)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角 sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)

八倍角 sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/ (1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8) 九倍角 sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/ (1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8) 十倍角 sin10A = 2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1) *(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A = ((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A = -2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8) /(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) N 倍角 根据棣莫弗定理,(cosθ + i sinθ )^n = cos(nθ )+ i sin(nθ ) 为方便描述,令 sinθ =s,cosθ =c 考虑 n 为正整数的情形:

cos(nθ )+ i sin(nθ ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4) *c^(n- 4)*(i s)^4 + ... …+C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... …=>;比较两边的实部与虚部 实部:cos(nθ )=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... …i* 虚部:i*sin(nθ )=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5) *c^(n-5)*(i s)^5 + ... … 对所有的自然数 n: ⒈cos(nθ ): 公式中出现的 s 都是偶次方,而 s^2=1-c^2(平方关系),因此全部都可以改成以 c(也就 是 cosθ )表示。 ⒉sin(nθ ): ⑴当 n 是奇数时:公式中出现的 c 都是偶次方,而 c^2=1-s^2(平方关系),因此全部都可 以改成以 s(也 就是 sinθ )表示。 ⑵当 n 是偶数时:公式中出现的 c 都是奇次方,而 c^2=1-s^2(平方关系),因此即使再怎 么换成 s,都至少会剩 c(也就是 cosθ )的一次方无法消掉。 例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2),c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2) 特殊公式 (sina+sinθ )*(sina-sinθ )=sin(a+θ )*sin(a-θ ) 证明: (sina+sinθ ) * (sina-sinθ ) =2 sin[ (θ +a)/2] cos[(a-θ )/2] *2 cos[ (θ +a)/2] sin[(a-θ )/2] =sin(a+θ )*sin(a-θ ) 坡度公式

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我们通常把坡面的垂直高度 h 与水平宽度 l 的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母 i 表示, 即 i=h / l,坡度的一般形式写成 l : m 形式,如 i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a. 半角公式万能公式 6 辅助角公式 注:该公式又称收缩公式 / 强提公式 / 化一公式 等 asin α +bcos α =√(a^2+b^2)sin(α +φ ),其中 tan φ =b/a asinA+bcosB=根号下 a 方+b 方?(根号下 a 方+b 方分之 a?sinA+根号下 a 方+b 方分之 b?cosB) 令根号下 a 方+b 方分之 a=cosC 则根号下 a 方+b 方分之 b=sinC asinA+bcosB=根 号下 a 方+b 方(sinAcosC+cosBsinC)=根号下 a 方+b 方?sin(A+C) 双曲函数

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h a = [e^a-e^(-a)]/2 ch a = [e^a+e^(-a)]/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )= sinα cos(2kπ +α )= cosα tan(2kπ +α )= tanα cot(2kπ +α )= cotα 公式二: 设 α 为任意角,π +α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系:

sin(π +α )= -sinα cos(π +α )= -cosα tan(π +α )= tanα cot(π +α )= cotα 公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )= -sinα cos(-α )= cosα tan(-α )= -tanα cot(-α )= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )= sinα cos(π -α )= -cosα tan(π -α )= -tanα cot(π -α )= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )= -sinα cos(2π -α )= cosα

tan(2π -α )= -tanα cot(2π -α )= -cotα 公式六: π /2±α 及 3π /2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )= cosα cos(π /2+α )= -sinα tan(π /2+α )= -cotα cot(π /2+α )= -tanα sin(π /2-α )= cosα cos(π /2-α )= sinα tan(π /2-α )= cotα cot(π /2-α )= tanα sin(3π /2+α )= -cosα cos(3π /2+α )= sinα tan(3π /2+α )= -cotα cot(3π /2+α )= -tanα sin(3π /2-α )= -cosα cos(3π /2-α )= -sinα tan(3π /2-α )= cotα cot(3π /2-α )= tanα

(以上 k∈Z) A?sin(ω t+θ )+ B?sin(ω t+φ ) = √{(A+2ABcos (θ -φ ) } ? sin{ω t + arcsin[ (A?sinθ +B?sinφ )/ √{A^2 +B^2 +2ABcos (θ -φ )}} √表示根号,包括{……}中的内容 反三角函数公式

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arcsin(-x)= -arcsinx arccos(-x)=π -arccosx arctan(-x)= -arctanx arccot(-x)=π -arccotx arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π /2[1] 编辑本段 函数应用

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在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮船在海 岛北偏东 30,俯角为 30 的 B 处。到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西 60,俯角为 60 的 C 处。(1)该船的航行速度是每小时多少千米?(2)又经过一段时间后,船到达海岛正西方 向的 D 处,此时船距岛 A 有多远? 解(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB=√ 3(千米) 在 Rt△PAC 中,∠APC=30°, ∴AC=√ 3/3(千米)在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°则 BC=√ (AB)^2+(AC)^2=√ (√ 3/3)^2+(√ 3)^2=√ 30/3(√ 30/3)/(1/6)=2√ 30(千米/时)(2)∠DAC=90°- 60°=30°sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=AB/BC=√ 3/√ 30/3=3√ 10/10sinCDA=sin (∠ACB-30°)=sinACB?cos30°-cosACB?sin30°=(3√ 3-1)√ 10/20 在△ACD 中,据 正弦定理得,AD/sinDCA=AC/sinCDA∴AD=ACsinCDA



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