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云南省德宏州梁河县第一中学高中数学课件 必修五:2.3 等差数列的前n项和



第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和

复习回顾
1.等差数列的概念 an-an-1=d (n∈N*且 n≥2)

2.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d
3.数列{an}的前n项和:

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

探究发现



泰姬陵坐落于印度古都阿 格,是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建,她宏伟壮观,纯白大理 石砌建而成的主体建筑叫人 心醉神迷,成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形 图案,以相同大小的圆宝石 镶饰而成,共有100层(见左 图),奢靡之程度,可见一 斑。你知道这个图案一共花 了多少宝石吗?

等差数列的前n项和
德国古代著名数学家高斯 10 岁的时候 很 快 就解 决 了这 个 问题 : 1 + 2 + 3 + … + 100=?你知道高斯是怎样算出来的吗?

赶快开动脑筋,想一想!

探究发现
问题 : 图案中,第1层到第100层一共有多少颗

宝石? 1
3 2

99 98

100

获得算法:

100

100(1 ? 100) S100 ? 2 1 ? 5050

探究发现
问题 : 如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an
Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1
如果把两式左右两端相加,将会有什么结果?

探究发现
如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ?
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ? [a1 ? (n ?1)d ]

Sn ? an ? (an ? d ) ?
2Sn ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ?1)d

? [an ? (n ?1)d ]
n(a1 ? an ) 公式1 Sn ? 2
n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

等差数列前n项和公式
n( a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

思考:①在正整数列中,前n个数的和是多少?

②在正整数列中,前n个偶数的和是多少?

n ( n +1) 1+2+…+n = 2 2 + 4 +…+ 2n= n(n+1)

例1. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施“校校通”的工程通知》.某市据此提 出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算, 2001年该市用于“校校通”的总目标:从2001年 起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算,2001年该市用于“校校通”工 程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计 划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从 2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中 的总投入是多少?

解:依题意得,从2001~ 2010年,该市在“校校 通”工程的经费每年比上一年增加50万元,所以 每年投入的资金构成等差数列{an},且 a1=500,d=50,n=10. 那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
10 ? ?10 ? 1? S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 ?万元? 2

答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程 中的总投入是7250万元.

例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这
个等差数列的前n项和的公式吗?
分析:方 程思想和 前n项和 公式相结 合

分析:将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后,可以得到两个关于首项和公差 的关系式,他们是关于首项和公差的二元一次 方程,由此可以求得首项和公差,从而得到所 求的前n项和的告诉.

解:由题意知:S10=310,S20=1220,将 它们代入公式 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 10a1 ? 45d ? 310 ? ?a1 ? 4 得到 ? 解方程得 ? ?20a1 ? 190d ? 1220 ?d ? 6
n(n ? 1) 2 ? Sn ? n ? 4 ? ? 6=3n ? n 2

2 的通项公式,这个数列是等差数列吗?如果是,它的 首项与公差分别是什么?

例3.已知数列{an}的前n项和为Sn

1 2 ? n ? n, 求这个数列

解:Sn ? a1 ? a2 ? ? an?1 ? an
Sn?1 ? a1 ? a2 ?
2

1 1 1 2 a n ? s n ? s n?1 ? n ? n ? [( n ? 1) ? (n ? 1)] ? 2n ? ① 当n >1时: 2 3 2 2 1 2 a ? s ? 1 ? ?1 ? 当n=1时: 1 也满足①式. 1 2 2 1 ? 数列{an }的通项公式为an ? 2n ? . 2 3 由此可知:数列{an}是以 为首项,公差为2的等差数列. 2

? an?1 (n ? 1)

2 4 例4. 已知等差数列5, 4 ,3 , ....的前n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
5 【解析】由题意知,等差数列的公差为 ? 7

n(n ? 1) 5 5 15 2 1125 Sn ? 5n ? (? ) ? ? (n ? ) ? 2 7 14 2 56
15 于是,当n取与 2 最接近的整数即7或8时,S n

取最大值

练习1、 在等差数列?an ?中, 仍是 知三 求一

a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999, 求n. n ? 20+54 ? 答案: 27 提示: 999 ?
2

练习2、等差数列-10,-6,-2,2, …的前______项的和为54?
提示: d ? 4,? 54 ? ?10n ?

答案: n=9,或n=-3(舍去) n ? n ? 1?
2 ?4

课堂小结
(两个) 1.等差数列前n项和的公式;

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

2.等差数列前n项和公式的推导方法 ——倒序相加法;

3.公式的应用(知三求一);



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