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2015-2016学年 2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》课件



2.2.3向量数乘运算及其 几何意义

本节课通过向量的加法 运算得出向量的数乘运算,再 利用数乘得出向量平行的充要条件的内容和证明思路,也 是应用该结论解决问题的思路。

该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等
题型问题;在向量的数乘运算的教学过程中运算律暗示我 们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。

/>
1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条 运算律,会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算; 2.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向

量是否平行;
3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、 归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想.

1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接,首尾连

2.向量加法平行四边形法则: 特点:同一起点,对角线

C

? ? a ?b
A

? b

B

C
? ? ? a ?b b

? a

B

O

? a

A

3.向量减法三角形法则: 特点:共起点,连终点,方向指向被减向量

? a

? b

? b
O

B

? a

??? ? ? ? BC ? a ? b
A

? ? ? ? ? ? ? (?a) ? (?a) ? (?a) 思考:已知非零向量 a , 作出 a ? a ? a 和
你能说明它们的几何意义吗?

? a

? a
O A

? a
B

? a
C

? 记作 3a

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ? a ? ? ? ?a ?a ?a
N M Q P

? 记作 -3a

??? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? ? ? PN ? PQ ? QM ? MN ? (? a )( ? ?a )( ? ?a )

一.向量数乘的定义
? 一般地,我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量,这 ? 种运算叫做向量的数乘,记作? a ,

它的长度和方向规定如下:

? ? (1) | ? a |?| ? || a |;

? ? (2)当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; ? ? 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反。

? ? 特别的,当 ? ? 0时, ? a ? 0.

练一练: 课本P90,练习2~3

探 究

? ? ? (1)根据定义, 求作向量3( 2a )和( 6a )(  为非零向量 a ), 并进行比较,看看它们有何关系? ? ? ? ? ? ? (2)已知向量a , b, 求作向量 2(a ? b )和2a ? 2b, 并进行比较,看看它们有何关系?

? a

? 3(2a)

? b

? ? 3(2a) = 6a

? a

? ? 2a ? 2b

? ? a ?b
? 2a

? 2b

? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

运算律:设 ? , ? 为实数,那么
结合律
分配律 分配律 特别的,我们有

? ? (1)? ( ? a) ? (?? ) a; ? ? ? (2)(? ? ? ) a ? ? a ? ? a; ? ? ? ? (3)? ( a ? b) ? ? a ? ? b.
? ? ? (?? )a ? ?(? a) ? ? (?a), ? ? ? ? ? (a ? b) ? ? a ? ? b.

?? 任意向量 a , b ,以及任意实数 ? , ?1 , ?2 ,恒有

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于

? ? ? ? ?(?1 a ? ?2 b) ? ??1 a ? ??2 b.

仍是向量

二.例题讲解
? ( ?3) ? 4a; 例1.计算: (1) ? ? ? ? ? (2) 3(a ? b) ? 2(a ? b) ? a; ? ? ? ? ? ? (3) ( 2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c ).
? ? 解: (1) 原式 ? (?3? 4)a ? ?12a ? ? ? ? ? ? (2) 原式 ? 3a ? 3b ? 2a ? 2b ? a ? 5b ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 原式 ? 2a ? 3b ? c ? 3a ? 2b ? c ? ?a ? 5b ? 2c

练习:
计算:(1) ( 2 2a ? 6b ? 3c) ? 3(?3a ? 4b ? 2c);
?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ??   (2)已知3( x ? a) ? 2( x ? 2a) ? 4( x ? a ? b) ? 0, 求x. ?? ?? ??

? ? ? ? ? ? 解:()原式 1 ? 4a ? 12b ? 6c ? 9a ?12b ? 6c ? ? 13a
(2) 由已知得: ? ? ? ? ? ? ? ? 3x ? 3a ? 2 x ? 4a ? 4 x ? 4a ? 4b ? 0

? ? ? ? 即  x ? 3a ? 4b ? 0

? ? ? ? x ? ?3a ? 4b

练一练: 课本P90,练习5
思考:
(1 ) 若 b ? ? a ( a ? 0 ), 则 a , b 位 置 关 系 如 何 ?

? ? b // a
( 2 ) 若 b // a ( a ? 0 ), 则 b ? ? a 是 否 成 立 ?
成立

向量共线定理
? ? ? ? 向量a (a ? 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数? , ? ? 使b ? ? a. ? ? ? ? ? ? 即a与b共线 b ? ? a (a ? 0)

?

思考:1)

? a

为什么要是非零向量?

? 2) b 可以是零向量吗?

练一练: 课本P90,练习4

? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 例2.如图,已知任意两个向量 a、 b ,试作 OA ? a ? b, OB ? a ? 2b, ??? ? ? ? OC ? a ? 3b. 你能判断A、B、C三点之 间的位置关系吗?为什么?
? a

? b
? 3b ? 2b

C

??? ? ??? ? ??? ? 解: ? AB ? OB ? OA ? ? ? ? ? ? a ? 2b - (a ? b) ? b ??? ? ??? ? ??? ? AC ? OC ? OA ? ? ? ? ? ? a ? 3b - (a ? b) ? 2b ??? ? ??? ? ? AC ? 2 AB ,且有公共点A

B

A

? b
O

? a

故A, B, C三点共线.

证明三点共线的方法: AB=λBC A,B,C三点共线 且有公共点B
?? ?? ? 已知两个非零向量e1和e2不共线,如果 ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? AB ? 2e1 ? 3e2, BC ? 6e1 ? 23e2, CD ? 4e1 ? 8e2, 求证 : A、B、D三点共线.

例3.如图:已知 AD ? 3 ? AB, DE ? 3BC,试判断 AC与 AE 是否共线. C A E

解: ? AE ? AD ? DE

B

? 3 AB ? 3 ? BC

D

? 3 AB ? BC
? 3 ? AC

?

?

∴ AC 与 AE 共线.

??? ? ? 例4.如图, ? ABCD的两条对角线相交与点M , 且 AB ? a, ???? ? ? ? ???? ???? ???? ? ???? ? AD ? b, 用a, b表示MA, MB, MC和MD. D
解 : 在? ABCD中. ???? ??? ? ???? ? ? ? AC ? AB ? AD ? a ? b ??? ? ??? ? ???? ? ? DB ? AB ? AD ? a ? b
M

C

b
A

???? ? 1 ??? 1 ? ? 1? 1? ? MA ? ? AC ? ? (a ? b) ? ? a ? b 2 2 2 2 ???? 1 ??? ? 1 ? ? 1? 1? MB ? DB ? (a ? b) ? a ? b  
2 2 2 2 ???? ? 1 ???? 1 ? 1 ? MC ? AC ? a ? b 2 2 2 ???? ? ???? ? 1 ??? 1 ? ? 1? 1? MD ? ? MB ? ? DB ? ? (a ? b) ? ? a ? b 2 2 2 2

? a

B

练习:
?? ? 如图所示,D是?ABC的边AB上的中点,则向量CD ? (   A)

?? ? 1 ?? ? ?? ? 1 ?? ? A. ? BC ? BA     B. ? BC ? BA  2 2 ?? ? 1 ?? ? ?? ? 1 ?? ? C. BC ? BA     D. BC ? BA 2 2

A

D
B C

1.下列各式叙述不正确的是( C ) ? ? ? ? ? A.b ? 3a(a为非零向量), 则a,b共线 ?? ? ? ? ? 3? ? ?? ? ? B.m ? 3a ? 4b,n ? a ? 2b, 则m / /n 2 ? ? ? ? C.若a,b共线, 则存在唯一的实数?使得a ? ? b. ? ? ? ? ? ? ? D.a ? b ? c ? 0,则a ? b ? ?c ???? ??? ? 2.在三角形ABC中,已知D是AB边上一点,若 AD=2DB, ??? ? 1 ???? ??? ? CD= CA+? CB,则? ? ( A ) 3 2 1 1 2 A. B. C.D.3 3 3 3

3.已知一点o到平行四边形ABCD的3个顶点A, B , C的向量 ? ? ? ???? 分别为a , b, c , 则向量OD等于( B ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A.a ? b ? c B .a ? b ? c C .a ? b ? c D .a ? b ? c

4. 如图, 在任意四边形 ABCD中, E、 F 分别是 AD、 BC的中点. ??? ? ???? ??? ? 求证:AB ? DC ? 2 EF .

E A

D

B

F

C

? ? ? 5.求已知向量a(a ? 0)的单位向量. ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 6.设e1,是两个不共线的向量,而 e2 e1 ? 4e2和 ?? ? ?? ? 2e1 ? ke2共线,求实数k的值.

?? ?? ? ?? ?? ?  解:  ?向量e1 ? 4e2和2e1 ? ke2共线 ?? ?? ? ?? ?? ?    ?存在实数? , 使得2e1 ? ke2 ? ? (e1 ? 4e2 )

?? ?? ? ?? ?? ? 即2e1 ? ke2 ? ? e1 ? 4? e2

?? ? 2 ??   ?  k ? ?8 ? k ? ?4?

一、①实数与向量可以相乘,其积仍是向量, 但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量 没有意义,向量除以非零实数就是数乘向量.

? ? ? ? ②若 ? a ? 0 ,则可能有 ? ? 0 ,也可能有 a ? 0 .

? 二、① ? a 的定义及运算律 ? ? ②向量共线定理 (a ? 0)

? ? b ? ?a
三、定理的应用: 1. 证明 向量共线

? ? 向量 a 与 b 共线

2. 证明 三点共线: AB=λBC
且有公共点B 3.证明 AB=λCD 两直线平行: AB∥CD

A,B,C三点共线

直线AB∥直线CD

AB与CD不在同一直线上

教材P91 练习2.2 A组9、10、12、13

B组3;

敬请指导
.



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