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直线的参数方程



2.2.1 直线的参数方程

【基础知识梳理】
1.直线的参数方程 (1)过点 M0(x0, y0), 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
? ?x=x0+tcos α ? ? ?y=y0+t sin α

(t 为参数)

.

2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数

t 的几何意义是:
直线上动点M到定点M0(x0,y0)的距离就是参数t的绝对值

→ 当M0M与 e(直线的单位方向向量)同向时, t 取 正数 → 当M0M与 e 反向时,t 取 合时,t 为 零 .
负数



;当点 M 与点 M0 重

【基本题型】
π 例1. 直线 l 经过点 M0(1,5),倾斜角为3,且交直线 x-y-2=0 于 M 点,则|MM0|=________.
1 ? ?x=1+2t 解析:由题意可得直线 l 的参数方程为? ?y=5+ 3t 2 ?
答案:6( 3+1)

(t 为参

1 ? 3? ? 数),代入直线方程 x-y-2=0,得 1+ t-?5+ t? -2=0,解 2 ? 2 ? ? 得 t=-6( 3+1). 根据 t 的几何意义可知|MM0|=6( 3+1).

例2

已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=

? , 6

(1)写出直线l的参数方程;

(2)设l与圆

x 2+ y2

=4相交于两点A,B,求点P

到A,B两点的距离之积.
? 3 ?x= 1+ 2 t 解: (1)直线的参数方程是 ? ?y=1+1t ? 2

(t 是参数 ).

(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为
? A? ?1+ ? ? 3 1 ? 3 1 ? ? ? ? t1,1+ t1?,B?1+ t2,1+ t2 ?. 2 2 ? 2 2 ? ?

以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2+y2=4, 整理得到 t2+( 3+1)t-2=0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2. 所以|PA|· |PB|=|t1t2|=|-2|=2.



? ?x=-1+3t 3. 已知直线的参数方程为? ? ?y=2-4t

(t 为参数),它与曲线

(y-2)2-x2=1 交于 A,B 两点. (1)求|AB|的长; (2)求点 P(-1,2)到线段 AB 中点 C 的距离.

分析:本题主要考查直线参数方程以及直线与曲线 的位置关系.首先把直线的参数方程代入曲线方程, 可以得到关于参数t的二次方程,根据参数的有关意 义可以解决此问题.

解: (1)把直线的参数方程化为标准形式代入曲线方程并化简 得 7t2-30t-50=0.

30 50 设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=- ,t1t2=- . 7 7
所以,线段|AB|的长为 |t1-t2|= 10 ?t1+t2? -4t1t2= 23. 7
2

t1+t2 15 (2)根据中点坐标的性质可得 AB 中点 C 对应的参数为 =- 2 7 所以,由 t 的几何意义可得点 P(-1,2)到线段 AB 中点 C 的距离 15 15 为︱- ︱= . 7 7

【规律方法总结】
直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下

常用结论: ①直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,

t2,则弦长 AB=|t1-t2|; ②设弦 M1M2 中点为 M, 则点 M 对应的参数值 tM=

t1+t2 (由此可求|M2M|及中点坐标). 2

【课后练习】
π 写出经过点 P(1,-5),倾斜角是 的直线参数方程, 3 (1)利用这个参数方程求这条直线与直线 x-y-2 3=0 的交点 与点 P 的距离, (2)求这条直线和圆 x2+y2=16 的两个交点与点 P 的距离之积.

π ? ?x=1+tcos 3, 解:直线的参数方程为? ?y=-5+tsin π, 3 ? 1 ? ?x=1+2t, 即? ?y=-5+ 3t. 2 ?



将①代入直线方程 x-y-2 3=0, 1 3 得 1+ t+5- t-2 3=0,解得 t=4 3. 2 2 根据直线参数方程中参数 t 的几何意义知两条直线的交点与 P 点的距离为 4 3.

又将①代入圆的方程 x2+y2=16,
? ? 1? ? ?2 ? 得?1+ t? +?-5+ 2? ? ?

3? ? t?2=16, 2 ?

即 t2+(1-5 3)t+10=0,则 t1+t2=5 3-1, t1· t2=10(t1,t2 为关于 t 的一元二次方程的两根),从而直线和圆 的两交点与点 P 的距离之积为 10.



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