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2014版北师大版高中数学必修一:3.阶段复习课(ppt课件)



阶段复习课 第 三 章

【答案速填】 ①有理数指数幂; ③互为反函数; ②y=ax(a>0,a≠1); ④y=logax(a>0,a≠1).

【核心解读】 1.根式的性质 (1) n 0 =0(n∈N*,且n>1). (2) ( n a )n =a(n∈N*,且n>1). (3) n a n =a(n为大于1

的奇数). (4)
n

?a,a ? 0, (n为大于1的偶数). an ? a ? ? ??a,a ? 0

2.分数指数幂的有关结论

规定:(1) a ? n a m (a>0,m,n∈N*,且n>1).
(2) a
? m n

m n

?

1 a
m n

1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). ? n m a

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 3.有理指数幂的运算性质 ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q). (ar)s=ars(a>0,r,s∈Q). (ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

4.对数的基本性质

(1)零和负数没有对数.
(2)loga1=0,logaa=1. (3)对数恒等式:a log N =N,logaab=b.
a

5.对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga M =logaM-logaN;
N

③logaMn=nlogaM(n∈R).

6.对数换底公式的推论
① log b ? 1 log a b; ② log b m ? m log a b; a a
n n

n n ③ log a b ? 1 ; ④logab·logbc·logcd=logad. log b a

7.幂函数的常见性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图像都过点(1,1). (2)如果α >0,则幂函数的图像过原点,并且在区间[0,+∞)上为 增函数. (3)如果α <0,则幂函数的图像在区间(0,+∞)上是减函数. (4)当α 为奇数时,幂函数为奇函数,当α 为偶数时,幂函数为偶 函数. (5)幂函数在第四象限没有图像.

主题一

指数幂及对数的运算

【典例1】(1)计算: log 4 (1 ? 2 ? 3) ? log 4 (1 ? 2 ? 3) =______.

(2)(2014·宜春高一检测)计算:
1 ? 1 ① (2 ) 2 ? ? ?9.6 ?0 ? (3 3 ) 3 ? ?1.5??2 ; 4 8 4 ② log3 27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7log7 2. 3 2

【自主解答】
3 (1)原式= log[ (1 ? 2) ? 3 ] ? log 2 ? . 4 4
2 3 2

答案:

3 4

4

1 ? 9 (2)①原式= ( ) 2 ? 1 ? ( 27 ) 3 ? ( 3 ) ?2 4 8 2 2 1 = ( 3 )2? 2 ? 1 ? ( 3 )3?( ? 3 ) ? ( 3 ) ?2 2 2 2 3 3 3 ? ? 1 ? ( ) ?2 ? ( ) ?2 2 2 2 3 1 ? ?1 ? . 3 2 2 4 3 ②原式= log 3 ? lg 52 ? lg 2 2 ? 2 3

2

? log 3 3 ? 2lg 5 ? 2lg 2 ? 2 1 ? ? ? 2 ? lg 5 ? lg 2 ? ? 2 4 1 1 15 ? ? ? 2lg 10 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? . 4 4 4

?

1 4

【方法技巧】指数与对数的化简、计算应遵循的原则及注意
事项 (1)遵循的原则: ①指数的运算:首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指 数,根式化为分数指数幂运算,小数转化为分数. 其次若出现分式,则要注意分子、分母因式分解以达到约分的 目的; ②对数式的运算:首先注意公式应用过程中范围的变化 ,前后 要等价,一般本着真数化简的原则进行.

(2)注意事项: ①在进行指数计算时,需要注意根式的重要结论及指数幂运算 性质的灵活运用; ②在进行对数的运算时,一定要注意真数位置大于0,也就是保 证所用到的各运算性质都有意义.

【补偿训练】化简下列各式:

?1? ? 2?

a 3 b ? 3 b a3 ? 3 a b . lg 27 ? lg 8 ? lg 1 000 . lg 1.2
1 1 1 ? ? 2 2 3

【解析】(1)原式= a
3 2

?b

1 1 1 ? ? 6 3 6
3 2

? a b0 ? 3 a.

1 3

3 3 lg 3 ? 3lg 2 ? 3 lg 3 ? lg 2 ? lg 10 2 (2)原式= ?2 12 lg 3 ? 2lg 2 ? 1 lg 10 3 ? lg 3 ? 2lg 2 ? 1? 3 ?2 ? . lg 3 ? 2lg 2 ? 1 2

主题二

数的大小比较

【典例2】(1)(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a=log32,b=log52,

c=log23,则(
A.a>c>b

)
B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b

(2)比较下列各组数的大小:
①0.65.1,5.10.6,log0.65.1;

②log712,log812.

1 <1,log52= 1 <1, log 2 3 log 2 5 又log23>1,所以c最大.又1<log23<log25,所以 1 ? 1 , log 2 3 log 2 5

【自主解答】(1)选D.因为log32=

即a>b,所以c>a>b,选D. (2)①因为0<0.65.1<1,5.10.6>1, log0.65.1<log0.61=0,所以5.10.6>0.65.1>log0.65.1; ②因为12>1,7<8. 所以由对数函数的单调性得log127<log128. 又因为log127>0,log128>0. 所以
1 1 ,即log712>log812. > log12 7 log12 8

【方法技巧】 1.数的大小比较常用的方法 比较几个数大小的常用方法有:单调性法、图像法、搭桥法、 特殊值法、作差法、作商法等.

2.数的大小比较常用的技巧 (1)若指数相同,底数不同,则利用幂函数的单调性. (2)若底数相同,指数(真数)不同,则利用指数(对数)函数的单 调性. (3)若底数不同,指数(真数)也不同,应寻找媒介数(常用0或1) 进行比较.

【补偿训练】把下列各数按由小到大的顺序排列:
5 -3 2 3 1 0 3 3 2, ( ) , (? ) , ( ), ( ) . 3 3 5 2 2 2 1 【解析】因为 2 3 ? ( 3 ) 3>, 1 ( )0= 1, 2 5 1 ? 5 2 0<( ) 3<, 1 (? )3<0, 3 3
2 3 1 2

所以按由小到大的顺序排列为
2 5- 1 3 ?( )3<( ) 3<( )0<( ) 3 <2 3. 3 3 5 2
1 2 2

主题三

指数函数与对数函数的图像和性质

【典例3】(1)(2014·济宁高一检测)设a>1,则函数f(x)=a|x|的
图像形状大致是( )

(2)(2014·长安高一检测)若函数f(x)=log

(1-x2).
2

①求定义域;②求值域.

【自主解答】(1)选A.函数f(x)=a|x|是偶函数且a>1,结合指数 函数y=ax(a>1)的图像可知A正确. (2)①由1-x2>0得x2<1,即-1<x<1, 故函数的定义域为(-1,1). ②因为x2≥0,所以1-x2≤1, 所以log
2

(1-x2)≤log

2

1=0,

所以值域为(-≦,0].

【延伸探究】在题(2)条件不变的情况下,求其单调区间. 【解析】因为f(x)=log
2

(1-x2)是由y=log u及u=1-x2复合
2

而成,且u=1-x2在(0,1)上是减少的,(-1,0)上是增加的.

又y=log

2

u为增函数,故y=log

2

(1-x2)的单调增区间为(-1,0),

单调减区间为(0,1).

【方法技巧】 1.复合函数的单调性的判断 函数y=logaf(x)可看作是y=logat与t=f(x)两个简单函数复合 而成的,则由复合函数的判断法则同增异减知:

(1)当a>1时,若t=f(x)为增函数,则y=logaf(x)为增函数,若f(x)
为减函数,则y=logaf(x)为减函数.(2)当0<a<1时,若t=f(x)为

增函数,则y=logaf(x)为减函数,若t=f(x)为减函数,则
y=logaf(x)为增函数.

2.含有对数式的函数最值求法 含有对数式的函数最值问题一般首先考虑函数的定义域,在函 数定义域的制约之下,对数式就在一定的范围内取值,利用换元 法往往就能把问题转化为一个函数在一个区间上的最值问题. 提醒:研究函数的性质应树立定义域优先的原则.

x 2 【补偿训练】已知函数f(x)= ? 1, 2x ? 1

(1)证明函数f(x)是R上的增函数. (2)求函数f(x)的值域. (3)令g(x)= x ,判定函数g(x)的奇偶性,并证明.
f (x)

【解析】(1)设x1,x2是R内任意两个值,且x1<x2,则x2-x1>
2x2 ? 1 2x1 ? 1 2 ? 2x2 ? 2 ? 2x1 0,f(x2)-f(x1)= x - x1 = x 2 2 ? 1 2 ? 1 2 1 ? 1 (2x2 ? 1) x2 x1 2 2 ?2 = x , x2 1 2 ?1 2 ?1

当x1<x2时,2x ? 2x , 所以 2x -2x ? 0.
1 2
2 1

?

?

??

?

?

?

?

又 2x + 1 ? 0,2x + 1 ? 0,所以f(x2)-f(x1)>0,
1 2

所以f(x)是R上的增函数.

2x ? 1 ? 2 2 (2)f(x)= x = 1? x , 2 ?1 2 ?1 2 因为2x+1>1,所以0< x <2, 2 ?1 即-2<- x2 <0,所以-1<1- x2 <1. 2 ?1 2 ?1

所以f(x)的值域为(-1,1).
x 2x ? 1 (3)由题意知g(x)= = x ?x, f (x) 2 ? 1

易知函数g(x)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦),
?x x x 2 ? 1 1 ? 2 2 g(-x)=(-x)· ? x =(? x)? x =x ? x ? 1=g ? x ?, 2 ?1 1? 2 2 ?1

所以函数g(x)为偶函数.

主题四 分类讨论思想的应用
【典例4】(1)(2014·中山高一检测)函数f(x)=logax(a>1)在

[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=________.
(2)已知函数f(x)=loga[( 1 -2)x+1]在区间[1,2]上恒为
a

正值,求实数a的取值范围.

【自主解答】(1)当a>1时,f(x)=logax在[a,2a]上单调递增, 所以f(x)的最小值为f(a)=logaa=1, f(x)的最大值为f(2a)=loga2a=loga2+logaa=loga2+1, 所以loga2+1=3×1,所以a= 2 . 答案: 2

(2)设u(x)=( 1 -2)x+1,则f(x)=logau(x).
a

因为f(x)在[1,2]上恒为正值, 所以当a>1时,u(x)在[1,2]上恒有u(x)>1; 当0<a<1时,u(x)在[1,2]上恒有0<u(x)<1. 又u(x)在[1,2]上是一条线段,

?0 ? a ? 1, ?a ? 1, ? ? 所以a满足:? u ?1? ? 1,或 ?0 ? u ?1? ? 1, ? ? u 2 ? 1 ? ? ?0 ? u ? 2 ? ? 1, ? ? ? ?a ? 1, ?0 ? a ? 1, ? ? ?1 1 即 ? ? 1 ? 1, 或 ? ?0 ? ? 1 ? 1, a a ? ? ?2 2 ? ? 3 ? 1 0 ? ? 3 ? 1, ? ? ?a a ?

? ?0 ? a ? 1, ? 1 2 ?1 即 ? a ? . ? ? a ? 1, 2 3 2 ? 2 ?1 ? a ? , ? 3 ?2 2 故a的取值范围为 ( 1 , ). 2 3 ? ?a ? 1 , ? 即 ?0 ? a ? 1 , 或 ? 2 ? 1 ? 0 ? a ? ? 2 ?

【方法技巧】分类讨论思想在指数函数和对数函数中应用的原 理和步骤 (1)原理:底数大于1时,指数函数与对数函数均是增函数; 底数大于0小于1时,指数函数与对数函数均是减函数. (2)步骤: ①确定底数的大小;

②根据底数的大小,依据单调性及定义域列出不等式(组);
③解所列出的不等式(组)求得参数的范围.

【补偿训练】求使不等式 ( 1 ) x ?8 >a-2x成立的x的集合(其中a>0,
2

a

且a≠1). 【解析】因为 ( 1 ) x ?8 ? a 8? x ,
2 2

a

所以原不等式化为 a8?x >a-2x.
2

当a>1时,函数y=ax是增函数, 所以8-x2>-2x,解得-2<x<4;

当0<a<1时,函数y=ax是减函数, 所以8-x2<-2x,解得x<-2或x>4. 故当a>1时,x的集合是{x|-2<x<4}; 当0<a<1时,x的集合是{x|x<-2或x>4}.

【强化训练】
1.(2014·南阳高一检测)化简
A. ? ?x B. x
3

-x 3 的结果是( x
D. ?x
3 2

)

C. ? x
3 2

【解析】选A. ? x ? (? x) ? - (-x)
x x -x

选A. ? -(-x) , 【误区警示】本题在求解中常因为忽视根式成立的条件出错.

1 2

2.(2013·广东高考)函数f(x)= A.(-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞)

lg ? x ? 1? x- 1

的定义域是(

)

B.[-1,+∞) D.[ -1,1)∪(1,+∞)

【解题指南】函数的定义域有两方面的要求:分母不为零 ,真 数大于零,据此列不等式即可获解. 【解析】选C.解不等式x+1>0,x-1≠0可得x>-1,x≠1是定义域 满足的条件.

1 ),则f( 1 )等于( 4 2 1 A .4 B .2 C. D.1 2 4 【解析】选A.设f(x)=xα,则 1 =2α,所以α=-2. 4 所以f(x)=x-2.所以 f ( 1 )=( 1 )-2=22=4. 2 2

3.若幂函数f(x)的图像经过点(2,

)

4.(2014·汕头高一检测)设a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9, 则( ) B.b<c<a D.c<a<b

A.a<b<c C.b<a<c

【解析】选C.因为0<a=log0.70.8<1,b=log1.10.9<0,c=1.10.9>1, 所以c>a>b.

【补偿训练】已知 a ? 5log 3.4,b ? 5log 3.6,c ? ( 1 )log 0.3,
2 4 3

5

则(

) B .b >a >c D .c >a >b
10

A .a >b >c C .a >c >b

log3 1 log3 0.3 -log 0.3 3 【解析】选C. c ? ( ) ?5 ? 5 3 ,log 2 3.4>log 2 2=, 1 5 10 log 4 3.6<log 4 4=, 1 log 3 >log 3 3=, 1 3 又因为 log 2 3.4 ? log 2 10 ? log 3 10 , 3 3 所以 log 2 3.4>log 3 10>log 4 3.6. 3

又因为y=5x是增函数,所以a>c>b.

5.(2013·四川高考) lg 5 ? lg 20 的值是______. 【解题指南】根据对数的运算性质进行求解. 【解析】 lg 5 ? lg 20 ? lg 100 ? 1. 答案:1

?log 2 x, x>0, 6.(2014·咸阳高一检测)已知函数f(x)= ? x ?2 , x ? 0, 则 f (f ( 1 )) 的值是_______. 2 【解析】因为 f ( 1 ) ? log 2 1 ? ?1,f ? ?1? ? 2?1 ? 1 , 2 2 2 所以 f (f ( 1 )) ? f ? ?1? ? 1 . 2 2 答案:1 2

7.已知loga(3a-1)恒为正数,求a的取值范围. 【解析】由题意可知loga(3a-1)>0恒成立,故loga(3a-1)>loga1 恒成立. (1)当a>1时,原不等式等价于3a-1>1,解得a> . 所以当a>1时,loga(3a-1)>0恒成立. (2)当0<a<1时,原不等式等价于0<3a-1<1,
1 2 <a< . 3 3 1 2 所以当 <a< 时,loga(3a-1)>0恒成立. 3 3 1 2 综上所述,所求a的取值范围是 <a< 或a>1. 3 3 2 3

解得



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