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2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(42)立体几何中的向量方法(一)——位置关系的证明 2



大千教育课时作业(四十二) 立体几何中的向量方法(一)——位置关系的证明
1.直线 l1,l2 相互平行,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A.s1=(0,1,2),s2=(2,1,0) B.s1=(0,1,1),s2=(1,1,0) C.s1=(1,1,2),s2=(2,2,4) D.s1=(1,1,1),s2=(-1,2,-1) 2.直线 l1,l2

相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0) B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0) C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2) D.s1=(1,-1,1),s2=(-2,2,-2) 3.若直线 l∥平面 α,直线 l 的方向向量为 s,平面 α 的法向量为 n,则下列结论正确的 是( ) A.s=(-1,0,2),n=(1,0,-1) B.s=(-1,0,1),n=(1,2,-1) C.s=(-1,1,1),n=(1,2,-1) D.s=(-1,1,1),n=(-2,2,2) 4.若直线 l⊥平面 α,直线 l 的方向向量为 s,平面 α 的法向量为 n,则下列结论正确的 是( ) A.s=(1,0,1),n=(1,0,-1) B.s=(1,1,1),n=(1,1,-2) C.s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2) D.s=(1,3,1),n=(2,0,-1) 5.若平面 α,β 平行,则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 6.若平面 α,β 垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1) B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2) 7.直线 l 的方向向量为 s=(-1,1,1),平面 π 的法向量为 n=(2,x2+x,-x),若直线 l ∥平面 π,则 x 的值为( ) A.-2 B.- 2 C. 2 D.± 2 8. [2011· 枣庄模拟] 已知 A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), 则平面 ABC 的单位法向量是( ) ? 2, 2, 2? A.s=± (1,1,1) B.s=± 2 2? ?2 3 3 3 3 3 ? , , ? ? ,- , 3? C.s=± D.s=± 3 3? 3 3? ?3 ?3 9.[2011· 宁波调研] 已知非零向量 a,b 及平面 α,若向量 a 是平面 α 的法向量,则 a· b =0 是向量 b 所在直线平行于平面 α 或在平面 α 内的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 10.平面 α 的一个法向量 n=(0,1,-1),如果直线 l⊥平面 α,则直线 l 的单位方向向 量是 s=________. 11.空间中两个有一条公共边 AD 的正方形 ABCD 与 ADEF,设 M,N 分别是 BD,AE 的中点,给出如下命题:①AD⊥MN;②MN∥平面 CDE;③MN∥CE;④MN,CE 异面. 则所有正确命题的序号为________. 12.平面 α 经过点 A(0,0,2)且一个法向量 n=(1,-1,-1),则 x 轴与该平面的交点坐 标是________. → → → → → 13.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平 面 ABC,则实数 x,y,z 分别为________. 14.(10 分)如图 K42-1,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底 面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥BP 交 BP 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

图 K42-1

15.(13 分)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱垂直于底面,∠BAC=90° ,AB=AA1=2, AC=1,M,N 分别是 A1B1,BC 的中点. (1)求证:AB⊥AC1; (2)求证:MN∥平面 ACC1A1.

图 K42-2

选做题: 16.(12 分)如图 K42-3,已知棱长都为 1 的三棱锥 O-ABC,棱 OA 的中点为 M,自 O 作平面 ABC 的垂线,垂足为 H,OH 与平面 MBC 交于点 I. → → → → (1)将OI用OA,OB,OC表示; t (2)P 点分线段 MB 的比为 (0<t<1), 1-t → → → ①将OP用 t,OA,OB表示; ②若三点 P,I,C 在同一直线上,求 t 的值; ③若 PO⊥PA,求 t 的值.

图 K42-3

1.C 为 C. 2.B [解析] 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项 B 中的两个向量垂直. 3.C [解析] 直线与平面平行,直线的方向向量和平面的法向量垂直,检验知正确选 项为 C. 4.C [解析] 线面垂直时,直线的方向向量平行于平面的法向量,只有选项 C 中的两 向量平行. 5.D [解析] 6.A [解析] 7.D [解析] x=± 2. 8.C [解析] 两个平面平行时其法向量也平行,检验知正确选项为 D. 两个平面垂直时其法向量垂直,只有选项 A 中的两个向量垂直. 线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故 x2-2=0,解得

课时作业(四十二) [解析] 两直线平行则其方向向量平行,根据两向量平行的条件检验知正确选项

先求出平面 ABC 的一个法向量,再把其单位化.不难求出其一个法向量 ? 3, 3, 3?. 是 n=(1,1,1),单位化得 s=± 3 3? ?3 9.C [解析] 根据向量与平面平行以及平面的法向量与直线的方向向量之间的关系进 行判断. a· b=0 说明向量 b 垂直于平面 α 的法向量,故向量 b 与平面 α 共面,此时向量 b 所在 的直线平行于平面 α 或在平面 α 之内;反之 a· b=0. 2 2 ?0, ,- ? [解析] 直线 l 的方向向量平行于平面 α 的法向量,故直线 l 的 10.± 2 2? ? ?0, 2,- 2?. 单位方向向量是 s=± 2 2? ? → → → 11.①②③ [解析] 如图,设AB=a,AD=b,AF=c, 1 1 → → → 1 → → 1 则|a|=|c|且 a· b=c· b=0.MN=AN-AM= (b+c)- (a+b)= (c-a),MN· AD= (c-a)· b 2 2 2 2 1 → → = (c· b-a· b)=0,故 AD⊥MN;CE=c-a=2MN,故 MN∥CE,故 MN∥平面 CDE,故① 2 ②③正确;④一定不正确.

→ 12.(-2,0,0) [解析] 设交点 M(x,0,0),AM=(x,0,-2),平面的一个法向量是 n=(1, → -1,-1),故 n⊥AM,故 x+2=0,得 x=-2,故 x 轴与该平面的交点坐标是(-2,0,0). 40 15 → → → → 13. ,- ,4 [解析] 由题知:BP⊥AB,BP⊥BC. 7 7 所以 → → AB· BC=0, ? ?→ → AB=0, ?BP· ? → → ?BP · BC=0, 1×3+5×1+?-2?×z=0, ? ? 即?x-1+5y+?-2?×?-3?=0, ? ?3?x-1?+y-3z=0.

40 15 解得 x= ,y=- ,z=4. 7 7 14.[解答] 证明:以 D 为坐标原点,射线 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴的正方向建 立空间直角坐标系.设 DC=a.

a a? (1)连接 AC,AC 交 BD 于 G,连接 EG.依题意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E? ?0,2,2?. a a ? 因为底面 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为? ?2,2,0?, a a? → → → → 且PA=(a,0,-a),EG=? ?2,0,-2?.所以PA=2EG,这表明 PA∥EG.而 EG?平面 EDB 且 PA?平面 EDB,所以 PA∥平面 EDB. → (2)依题意得 B(a,a,0),PB=(a,a,-a). a a a2 a2 → → → 0, , ?,故PB· DE=? DE = 0 + - =0,所以 PB⊥DE, ? 2 2? 2 2 由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E,所以 PB⊥平面 EFD. 15.[解答] 依条件可知 AB,AC,AA1 两两垂直.如图,以点 A 为原点建立空间直角坐 标系 A-xyz.

根据条件容易求出如下各点坐标: 1 ? A(0,0,0), B(0,2,0), C(-1,0,0), A1(0,0,2), B1(0,2,2), C1(-1,0,2), M(0,1,2), N? ?-2,1,0?. → → (1)证明:因为AB=(0,2,0),AC1=(-1,0,2), → → 所以AB· AC1=0×(-1)+2×0+0×2=0. → → 所以AB⊥AC1,即 AB⊥AC1. 1 → ? → (2)证明:因为MN=? ?-2,0,-2?,AB=(0,2,0)是平面 ACC1A1 的一个法向量, 1 → → 且MN· AB=- ×0+0×2-2×0=0, 2 → → 所以MN⊥AB. 又 MN?平面 ACC1A1, 所以 MN∥平面 ACC1A1. 【选做题】 → 1 → → → → 16.[解答] (1)据已知,H 是正△ABC 的中心,∴OH= (OA+OB+OC),又 I 在OH上, 3 λ → → → → → λ → → → 故存在实数 λ,使OI=λOH= (OA+OB+OC)= (2OM+OB+OC), 3 3 2λ λ λ 3 → 1 → → → ∵I 在平面 MBC 内,故 + + =1,即 λ= ,于是OI= (OA+OB+OC). 3 3 3 4 4 1→ → → → → → → → → → → → → (2)①MP=tMB, PB=(1-t)MB, OP=OM+MP=OM+tMB=OM+t(OB-OM)= OA+ 2 1 1 - t → → → → ? t? ?OB-2OA?= 2 OA+tOB;

②P 在直线 IC 上,故存在实数 m,使 → → → → m → m → m → OP=(1-m)OC+mOI=(1-m)OC+ · OA+ · OB+ · OC 4 4 4 4-3m → m → m → = · OC+ · OA+ · OB, 4 4 4 比较①②中两式可得

? ?m 1-t ?4= 2 , ? =t, ?m 4

4-3m =0, 4

?m=3, 解得? 1 ?t=3,

4

1 故 t 的值为 . 3

→ → ?1-t → → ? → → ?1-t → → ? ? 1+t → →? ③OP· AP= (OP-OA)= ? 2 OA+tOB?· ? 2 OA+tOB?· ?- 2 OA+tOB? t2-1 → 2 2 → 2 2 → → = OA +t OB -t OA· OB 4 t2-1 2 2 2 2 3t2-1 = · 1 +t · 1 -t · 1· 1· cos60° = , 4 4 3t2-1 3 → → → → ∵OP⊥PA,∴OP· PA=0,∴ =0,即 t=± , 4 3 3 又∵0<t<1,∴t= 即为所求. 3



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