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等比数列前n项和教学设计修改后



《等比数列的前 n 项和》教学设计
一、教材分析 《等比数列的前 n 项和》 ,是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项 公式, 等差数列的前 n 项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知识和解决 一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应 用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化 归、分类讨论、整体变换和方

程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的 数学素养. 数列内容的新课程设计与时俱进, 注重数学过程, 渗透数学思想和拓展思维空间。 与旧教材相比新教材让学生体验和理解公式形成的过程。 二、学情分析 认识上:从学生的思维特点看,易与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点 等方面进行类比,但本节公式的推导与等差数列前 n 项和的推导有着本质的不 同,这对学生的思维是一个突破,还应强调 q=1 的特殊情况。 能力上:教学对象是高一学生,在课堂教学过程中,应注重过程、激发兴趣、 发展学生的个性思维品质和实践能力 ,还应注意学生缺乏冷静、深刻,易片面、 不严谨。 情感态度:注意引导学生自主探究意识、培养学生处理问题时创新和实践能 力及思维的严谨性 三、教学目标 知识与技能目标: 并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能初步 应用公式解决与之有关的问题. 能力与方法目标: 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、 分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向 思维的能力. 情感与态度价值观: 通过对公式推导方法的探索与发现,让学生体验数学学习带来的自信和成功 感,提到对数学的兴趣,树立学好数学的信心。通过分类讨论的思想培养学生思 维的严谨性。通过发散思维的教学,培养学生思维灵活性。 四、教学重点、难点 教学重点:等比数列前 n 项和公式的推导与应用。 教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相 减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴含了重要的数学思 想,所以既是重点也是难点. 五、学法与教法 学法: 合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨解决问题的途径。 (引课 问题的处理。 ) 自主探究:引导学生通过自己动脑解决相应问题(例题,变式练习的处理。 )

启迪思维:引导学生寻求多种方法解决问题,开阔思维。培养能力。 教法: 创设情境:提出问题,鼓励学生合作讨论,通过自己的努力解决问题,激发 进一步深入学习的兴趣和欲望。 启发引导:组织学生分组探索,获得等比数列前 n 项和公式的推导的多种方 法。 例题选讲:针对知识点精选例题,初步掌握公式运用。 变式强化:深化对公式的理解与灵活运用,巩固强化。 归纳总结:鼓励学生自己总结,使自身的认知结构得以提高和发展。 六、教学过程 (一)创设情景、引入新课

印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨,问他有什么要求,发明者说: “请在 棋盘的第 1 个格子里放 1 颗麦粒,在第 2 个格子里放 2 颗麦粒,在第 3 个格子里 放 4 颗麦粒,在第 4 个格子里放 8 颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒都是 前一个格子里麦粒数的 2 倍,直到第 64 个子,请给我足够的粮食来实现上述要 求。 你认为国王有能力满足发明者的上述要求吗? ” 设计意图: 源于历史,富有人文气息.图中算数,激发学习兴趣.承上启下,探 讨求和方法

(二)初步探索,体会方法 2 3 探讨 1 + 2 + 2 + 2 1:
2

+ ? ? ? ? ? ? +263
63

有何特征?

S 探讨 2: 64 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 如果把每一项都乘以 2 有何变化? 让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加”为“减” ,在 教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中 应着力在这儿做文章,从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机.

由刚才的分析可知: 实际上就是一个以 1 为首项, 为公比的等比数列的前 64 2 项的求和问题,即:

(三)类比联想 推导公式 提出问题一: 已知等比数列{ an },首项为 a1 ,公比为 q, 如何求其前 n 项 和? 提出问题二:有没有其他方法推导等比数列前 n 项和公式? 提出问题三:利用等比数列的性质: a a a
2

能否得到 1 ? q S n ? a1 ? an q 1、等比数列的求和公式 一般地,设有等比数列:

?

?

a1

?

3

a2

?

4

a3

? ??? ?

an ?q a n ?1

为什么?

a1 , a2 , a3 ,? an ?

(错位相减)

(1 ? q ) S n ? a1 (1 ? q n )或 ( ? q ) S n ? a1 ? a n q 1
? Sn ? a ? qan a1 (1 ? q n ) 或S n ? 1 1? q 1? q

2、提取公因式:

等比数列 {a n } ,公比为 q ,它的前 n 项和
S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an ?1 ? an
S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n ? 2 ? a1q n ?1

? a1 ? q(a1 ? a1q ? ? ? a1q n ?3 ? a1q n ? 2 ) ? a1 ? q ( Sn ? a1q n?1 )

? (1 ? q) S n ? a1 ? a1 q n

??

3、和比定理法: 因为
所以

a an a2 a ? 3 ? 4 ? ??? ? ?q a1 a2 a3 a n ?1
a2 ? a3 ? a4 ? ? ? ? ? an ?q a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ?1
S n ? a1 ? q S n ? an

Sn ? ? a

na1
1

q ?1

? an q 1? q

q ?1

设计意图 :自主探究,体验成就;以疑导思 ,发展创新;强化理解 ,突破 难点 (四)基础演练, 提高认识 例 1:求引例中国王需要给多少麦粒? 例2: 求等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ? ? ? 前8项和; 2 4 8 16 9 16 781 例 3:已知等比数列{a n }中,a1 ? ? , an ? ? , sn ? ? , 求公比q及项数n. 16 9 144 例 4:某商场第 1 年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年增 加 10%, 那么从第 1 年起, 约几年内可使总销售量达到 30000 台 (保留到个位) ? 设计意图: 新颖基础练习;深化理解认识;激发学习热情。 (五) 变式训练 、深化认识 根据下列条件,求相应的等比数列
{an }



sn

.

3 ? (1 ? 26 ) (1)a1 ? 3, q ? 2, n ? 6; ? S6 ? ? 189. 1? 2
(2)a1 ? 2.4, q ? ?1.5, n ? 5; ? S5 ?

2.4 ? [1 ? (?1.5)5 ] 33 ? . 1 ? (?1.5) 4

? ? 1 ?5 ? 8 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 31 1 ? ?? . (3)a1 ? 8, q ? , n ? 5; ? S5 ? 2 ?1? 2 1? ? ? ?2? ? ? 1 ?6 ? ?2.7 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 91 1 ? ?? . (4)a1 ? ?2.7, q ? ? , n ? 6. ? S 6 ? 40 3 ? 1? 1? ? ? ? ? 3? n
? Sn ? a ? qan a1 (1 ? q ) 或S n ? 1 1? q 1? q

采用变式教学设计题组, 深化学生对公式的认识和理解,通过直接套用公式、 变式运用公式、 研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新的数学认知结 构的形成.通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生的参与意识和 竞争意识. 设计意图: 选用公式;变用公式;理解内化 (六)总结 1、等比数列前 n 项和求和公式。 2、推导数列求和公式的错位相减法、提取 q 法、和比定理法。 3、对含字母的等比数列要注意考察 q 是否为 1。 (七)作业布置 : 必做: P50 练习 A 1、2 选做: 求和:x

? 2 x 2 ? 3x 3 ? ? nx n ( x ? 0)

必做题,有助学生课后巩固提高,选作题是注意分层教学和因材施教,让学 有余力的学生有思考的空间.



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