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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选35



圆锥曲线 35
20. 已知椭圆的焦点坐标为 F1 (-1,0) , F2 (1,0) ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q 两点,且|PQ|=3, (1) 求椭圆的方程; (2) 过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1 MN 的内切圆的面积是否存在 最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 【答案】解: (1

) 设椭圆方程为

x2 y 2 =1(a>b>0),由焦点坐标可得 c=1………1 分 ? a 2 b2 2b 2 =3 ,……………………………………………2 a

由 PQ|=3 ,可得 分

解得 a=2,b= 3 ,…………………………………………………3分

故椭圆方程为

x2 y 2 ? =1……………………………………………4 分 4 3

则 S? AMN

12 m 2 ? 1 1 ,……………9 分 ? AB( y1 ? y2 )= y1 ? y2 = 3m 2 ? 4 2
2

令 t= m ? 1 ,则 t≥1,
-1-

则 S? AMN ?

12 m 2 ? 1 12t 12 ? 2 ? ,………………………10 分 2 3m ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t
1 t 1 , t2

令 f(t)=3t+ ,则 f′(t) =3-

当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在 1,+∞)上单调递增,

12 =3, 3 12 3 即当 t=1,m=0 时, S? AMN ≤ =3, S? AMN =4R,∴ Rmax = , 3 4 9 这时所求内切圆面积的最大值为 π . 16 9 故直线 l:x=1,△AMN 内切圆面积的最大值为 π ………………12 分 16
有 f(t)≥f(1)=4, S? AMN ≤

21. 已 知 直 线 l : y ? x ? 1 , 圆O : x ? y ?
2 2

3 ,直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 2

x2 y2 3 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长相等,椭圆的离心率 e ? 2 a b
(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;

1 (Ⅱ) 过点 M ( 0 , ? )的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在坐标平面上是否存 3
在一个定点 T ,使得无论 l 如何转动,以 A B 为直径的圆恒过定点 T ?若存在,求出点 T 的坐 标;若不存在,请说明理由.

-2-

1 (Ⅱ)解法一:假设存在点 T(u, v). 若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? , 3

将它代入椭圆方程,并整理,得 (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 .
12k ? x ?x ? , ? ? 1 2 18k 2 ? 9 设点 A、B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ? x x ? ?16 . ? 1 2 18k 2 ? 9 ?
??? ??? 1 1 因为 TA ? ( x1 ? u, y1 ? v), TB ? ( x2 ? u, y2 ? v) 及 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ? , 3 3

所以 TA? TB ? ( x1 ? u)( x2 ? u) ? ( y1 ? v)( y2 ? v)
1 2v 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (u ? k ? kv)( x1 ? x2 ) ? u 2 ? v 2 ? ? 3 3 9

??? ???

?

(6u 2 ? 6v2 ? 6)k 2 ? 4ku ? (3u 2 ? 3v2 ? 2v ? 5) 6k 2 ? 2

当且仅当 TA ? TB ? 0 恒成立时,以 AB 为直径的圆恒过定点 T,
?6u 2 ? 18v 2 ? 18 ? 0, ? 所以 ?u ? 0, 解得 u ? 0, v ? 1. ? 2 2 ?3u ? 3v ? 2v ? 5 ? 0.

此时以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1). 当直线 l 的斜率不存在,l 与 y 轴重合,以 AB 为直径的圆为 x 2 ? y 2 ? 1 也过点 T(0,1). 综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1) ,满足条件.

当 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 方 程 为 y ? kx ?
(18k 2 ? 9) x2 ? 12kx ? 16 ? 0.

1 ,代入椭圆方程,并整理,得 3

8分
-3-

12k ? x1 ? x2 ? , ? ? 18k 2 ? 9 设点 A、B 的坐标为 A( x 1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ? x x ? ?16 . 1 2 ? 18k 2 ? 9 ?

因为 TA ? ( x1 , y1 ? 1), TB ? ( x2 , y2 ?1) ,
??? ??? 4 16 TA? TA ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 3 9

???

???

?16k 2 ? 16 ? 16k 2 ? 32k 2 ? 16 ? 0. 18k 2 ? 9 ??? ??? 所以 TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,1). ?

综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件. 22.设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点 a 2 b2
A

y

分别为 F1、F2 ,上顶点为 A ,在 x 轴负半轴上有一点 B , 满足 BF 2. 1 ? F 1F2 ,且 AB ? AF
B

F 1

O

F2

x

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)D 是过 A、B、F2 三点的圆上的点,D 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的最大距离等 于椭圆长轴的长,求椭圆 C 的方程;

(Ⅲ)在(2)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,在 如果存在, 求出 m 的 x 轴上是否存在点 P(m,0) 使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形, 取值范围,如果不存在,说明理由.

-4-

(Ⅱ)由(1)知

c 1 1 1 3 ? , 得 c ? a 于是 F2 ( a ,0), B ( ? a ,0) , a 2 2 2 2 1 1 △ABF 的外接圆圆心为( ? a ,0) ,半径 r= |FB|= a , 2 2

D 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的最大距离等于 2 a ,所以圆心到直线的距离为 a ,

1 | ? a ?3| 2 所以 ? a ,解得 a =2,∴c =1,b= 3 , 2
所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

------------------8 分

-5-

由已知条件知 k ? 0 且 k ? R

?m ?

k2 1 ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2
存 在 满 足 题

?0 ? m ?

1 4
P











m 的 取 值 范 围 是

0?m?

1 . 4

------------------12 分

23.已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为坐标原点 O , 从每条曲线上各取两个点,将其坐标记录于表中:

x
y

3

?2

4
?4

2
2 2

?2 3

0

(Ⅰ)求 C1、C2 的标准方程;
-6-

(Ⅱ)请问是否存在直线 l 同时满足条件:(ⅰ)过 C2 的焦点 F ;(ⅱ)与 C1 交于不同两点

???? ??? ? Q 、 R ,且满足 OQ ? OR ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)已知椭圆 C1 的左顶点为 A ,过 A 作两条互相垂直的弦 AM 、 AN 分别另交椭圆于

M 、 N 两点.当直线 AM 的斜率变化时,直线 MN 是否过 x 轴上的一定点,若过定点,请
给出证明,并求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.

(Ⅱ)容易验证直线 l 的斜率不存在时,不满足题意; 当直线 l 斜率存在时,假设存在直线 l 过抛物线焦点 F (1, 0) ,设其方程为 y ? k ( x ? 1) , 与 C1 的交点坐标为 Q ? x1, y1 ? , R ? x2 , y2 ?

-7-

所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为: y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 …………………9 分 (Ⅲ)设直线 AM 的斜率为 k ? k ? 0 ? ,则 AM : y ? k ( x ? 2) , AN : y ? ?

1 ( x ? 2) k

y ? k ( x ? 2), ? ? 2 2 2 2 2 则? x 化简得: (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 . 2 ? y ? 1, ? ? 4
∵此方程有一根为 ?2 ,∴ xM ?

4k 2 ? 8k 2 ? yM ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

4k 2k 2 ? 8 同理可得 xN ? 2 ………………………………………………11 分 ? yN ? ? 2 k ?4 k ?4

则 kMN

4k 4k ? 2 5k ? k2 ? 4 1 ? 4 k 2 ? ? 2k ? 8 2 ? 8k 4(k 2 ? 1) ? k 2 ? 4 1 ? 4k 2 ?
2

4k 5k 2 ? 8k 2 所以 MN 的直线方程为 y ? ?? (x ? ) 1 ? 4k 2 4(k 2 ? 1) 1 ? 4k 2
令 y ? 0 ,则 x ?

16k (k 2 ? 1) 2 ? 8k 2 6 ? ?? . 2 2 5k (1 ? 4k ) 1 ? 4k 5
6 5

所以直线 MN 过 x 轴上的一定点 (? , 0) ………………………………………………14 分

-8-



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