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2013年高考北京卷理科数学试题及答案(修正版)(答案为官方正式答案)



2013 北京高考理科数学试题 第一部分 (选择题 共 40 分) 一、 选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤ x<1},则 A∩B= ( ) A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 2 2.在复平面内,复数(2-i) 对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 开始 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 i ? 0, S ? 1 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1 B.

2 3

C.

13 21

D.

610 987

S?

S2 ?1 2S ? 1

5.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得 图象与 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= A. e
x?1

i ? i ?1

B. e

x?1

C. e

? x ?1

D. e

? x ?1


i≥2

x2 y 2 6.若双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a b
A.y=± 2x B.y= ? 2x C. y ? ?

是 输出 S 结束

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2

7.直线 l 过抛物线 C: x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A.

4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 8.设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 P(x0,0), y 满足 x0-2y0=2, ?y ? m ? 0 ?
求得 m 的取值范围是 A. ? ??,

? ?

4? ? 3?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

C. ? ??, ?

? ?

2? ? 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

5? 3?

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在极坐标系中,点(2,

? )到直线 ρsinθ=2 的距离等于 6

.

10.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,3+a5=40, a 则公比 q= ; n 项和 Sn= 前 . 11.如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D.若 PA=3,

PD : ? 9 : ,则 PD= DB 16

;AB=

.

12.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同 一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 13.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λa+μb (λ,μ∈R),则

? = ?

.

b

a

c

14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上, 点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 .

D1

C1

A1

P
D A

?

B1
C
E B

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 15. (本小题共 13 分) 在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值; (II)求 c 的值. 16.( 本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量 优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的 某一天到达该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 17. (本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C, AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

18. (本小题共 13 分) 设 L 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(I)求 L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 19. (本小题共 14 分) 已知 A、B、C 是椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1上的三个点,O 是坐标原点. 4

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 20. (本小题共 13 分) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An,第 n 项之后各项

an ?1 , an?2 ,…的最小值记为 Bn,dn=An-Bn 。

(I)若{an}为 2, 4, 2, 4, …, 1, 3, 1, 3, 是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*,an? 4 ? an ), 写出 d1,d2,d3,d4 的值; (II)设 d 为非负整数, 证明: n=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; d (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.

2013 北京高考理科数学试题 参考答案 一、 选择题:

1 代入不等式组, 3 2 5 不适合,排除选项 A,把 m ? ? 代入不等式组,不适合,排除选项 B,把 m ? ? 代入不 3 3
1、B;2、D;3、A;4、C;5、D;6、B;7、C;8、C(排除法:把 m ? 等式组,适合,排除选项 D,故选 C) ; 二、填空题: 9、1;10、2, 2
n?1

? 2 ;11、

9 ,4;12、96;13、4;14、 5

2 5 (建立 B-ACB1 空间直 5

角坐标系, E ? ? D 1 (? ?0] 设 P E [, ) 1 Q( 0, 2, 2? ),所以 | PQ |? 三、解答题:

??? ?

???? ?

,则得 P( 2? , ? ? 1, 2? ),设 P 在 CC1 上的垂足为 Q, 则得

??? ?

4? 2 ? (? ? 1) 2 ?

2 5 ); 5

15、 (I) 解: 因为 a=3, b=2 6 , ∠B=2∠A. 所以在△ABC 中, 由正弦定理得

3 2 6 ? . sin A sin 2 A

所以

2sin A cos A 2 6 6 ? .故 cos A ? . sin A 3 3 6 , 所 以 s i nA ? 3 1 c2 A ? ? os 3 . 又 因 为 ∠B=2∠A, 所 以 3

(II) 由 ( I ) 知 c o sA ?

1 2 2 c o s ? 2 c 2 A ? ? 1 .所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? B os . 3 3
在△ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 c ?

5 3 . 9

a sin C ?5. sin A

16、解:设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”( i =1,2,…,13).

根据题意, P( Ai ) ?

1 ,且 Ai ? Aj ? ?(i ? j ) . 13

(I)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B ? A5 ? A8 , 所以 P( B) ? P( A5 ? A8 ) ? P( A5 ) ? P( A8 ) ?

2 . 13

(II)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且

4 , 13 4 P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 13 5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= , 13

P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=

所以 X 的分布列为:

X P

0

1

2

5 4 4 13 13 13
5 4 4 12 ? 1? ? 2 ? ? . 13 13 13 13

故 X 的期望 EX ? 0 ?

(III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 17、解: (I)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1⊥平面 ABC. (II)由(I)知 AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 如 图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A- xyz ,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4, 0,4),

???? ? n ? A1 B ? 0 ?3 y ? 4 z ? 0 ? 设平面 A1BC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则 ? ????? ,即 ? , 4x ? 0 n ? A1C1 ? 0 ? ? ?
令 z ? 3 ,则 x ? 0 , y ? 4 ,所以 n = (0, 4,3) . 同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4, 0) ,所以 cos n,m ?

n?m 16 . 由题知 ? | n || m | 25
16 . 25

二面角 A1-BC1-B1 为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为

(III)设 D ( x, y, z ) 是直线 BC1 上一点,且 BD ? ? BC1 . 所以 ( x, y ? 3, z) ? ?(4, ?3, 4) .解得

??? ?

???? ?

x ? 4? , y ? 3 ? 3? , z ? 4? .
所以 AD ? (4?,3 ? 3?, 4? ) .

????

由 AD·1B ? 0 ,即 9 ? 25? ? 0 .解得 ? ? A 因为

???? ????

9 . 25

9 ? [0,1] ,所以在线段 BC1 上存在点 D, 25

使得 AD⊥A1B. 此时,

BD 9 . ?? ? BC1 25
ln x 1 ? ln x ,则 f ?( x) ? .所以 f ?(1) ? 1 .所以 L 的方程为 y ? x ? 1 . x x2

18、解: (I)设 f ( x) ?

(II) 令 g ( x) ? x ? 1 ? f ( x) , 则 除 切 点 之 外 , 曲 线 C 在 直 线 l 的 下 方 等 价 于

g ( x) ? 0 (?x ? 0, x ? 1) .

g ( x) 满足 g (1) ? 0 ,且 g ?( x) ? 1 ? f ?( x) ?

x 2 ? 1 ? ln x . x2

2 当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 单调递减;

当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 单调递增.
2

所以, g ( x) ? g (1) ? 0 ( x ? 0, x ? 1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. (又解: g ( x ) ? 0 即 x ? 1 ?

ln x ? 0 变形为 x 2 ? x ? ln x ? 0 ,记 h( x) ? x2 ? x ? ln x ,则 x

h?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x

所以当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在(0,1)上单调递减; 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在(1,+∞)上单调递增。 所以 h( x) ? h(1) ? 0 .)http://www.linglong3d.net/

19、解: (I)椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1的右顶点 B 的坐标为(2,0).因为四边形 OABC 为菱形, 4
1 ? m 2 ? 1 ,即 4

所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 所以可设 A(1, m ) ,代入椭圆方程得

m??

3 . 2

所以菱形 OABC 的面积是 | OB | ? | AC |? ? 2 ? 2 | m |? 3 .

1 2

1 2

(II)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) .

由?

? x2 ? 4 y2 ? 4 ? y ? kx ? m

消去 y 并整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 .

x1 ? x2 y ? y2 x ?x 4km m ?? ?k? 1 2 ?m? , 1 . 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 4 km m 所以 AC 的中点为 M( ? , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为 ? . 4k 1 ) ? ?1 ,所以 AC 与 OB 不垂直. 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 因为 k ? ( ? 4k
设 A ( x1, y1 ) ,C ( x2, y2 ) ,则 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. 20、 (I) d1 ? d2 ? 1, d3 ? d4 ? 3. (II)(充分性)因为 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,且 d ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? . 因此 An ? an , Bn ? an?1 , dn ? an ? an?1 ? ?d (n ? 1, 2,3,?) . (必要性)因为 dn ? ?d ? 0 (n ? 1, 2,3,?) ,所以 An ? Bn ? dn ? Bn . 又因为 an ? An , an?1 ? Bn ,所以 an ? an?1 . 于是 An ? an , Bn ? an?1 .

因此 an?1 ? an ? Bn ? An ? ?dn ? d ,即 ?an ? 是公差为 d 的等差数列. (III)因为 a1 ? 2, d1 ? 1,所以 A1 ? a1 ? 2 , B1 ? A ? d1 ? 1 .故对任意 n ? 1, an ? B1 ? 1. 1 假设 ?an ? (n ? 2) 中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 an ? 2 的最小正整数,则 m ? 2 ,并且对任意 1 ? k ? m, ak ? 2 ,. 又因为 a1 ? 2 ,所以 Am?1 ? 2 ,且 Am ? am ? 2 . 于是 Bm ? Am ? dm ? 2 ?1 ? 1 , Bm?1 ? min ?am , Bm? ? 2 . 故 dm?1 ? Am?1 ? Bm?1 ? 2 ? 2 ? 0 ,与 dm?1 ? 1 矛盾. 所以对于任意 n ? 1 ,有 an ? 2 ,即非负整数列 ?an ? 的各项只能为 1 或 2. 因此对任意 n ? 1 , an ? 2 ? a1 ,所以 An ? 2 . 故 Bn ? An ? dn ? 2 ?1 ? 1 .

因此对于任意正整数 n ,存在 m 满足 m ? n ,且 am ? 1 ,即数列 ?an ? 有无穷多项为 1.



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