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无锡市2014年高考数学立体几何 重点难点高频考点串讲 (教师版)



1.下列四个命题中,正确命题的个数是(

)个

① 若平面 ? // 平面 ? ,直线 m // 平面 ? ,则 m // ? ; ② 若平面 ? ? 平面 ? ,且平面 ? ? 平面 ? ,则 ? // ? ; ③ 平面 ? ? 平面 ? ,且 ?

? ? l ,点 A ? ? , A ? l ,若直线 AB ? l ,则 AB ? ? ;

④ 直线 m、n 为异面直线,且 m ? 平面 ? , n ? 平面 ? ,若 m ? n ,则 ? ? ? . (A) 0 【答案】B 【解析】 (B) 1 (C) 2 (D) 3

试题分析:A 答案:如果加入条件 m ? ? ,则 m // ? ; B 答案:例如墙角的三个面,则 ? ? ? ; C 答案:如果加入条件 AB ? ? ,则 AB ? ? ; D 答案:从向量角度看, m 与 n 分别是 ? , ? 的法向量,显然 m ? n ,即 ? ? ? . 所以只有 D 正确. 考点:线面平行、线面垂直. 2.对于平面 α 和共面的直线 m、n,下列命题正确的是( ) A.若 m、n 与 α 所成的角相等,则 m∥n B.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m⊥α , m⊥n,则 n∥α D.若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n 【答案】D 【解析】 试题分析:若 m、n 与 α 所成的角相等,则 m, n 可能平行或相交,故 A 错;若 m∥? , n∥? , 则 m, n 可能平行或相交,故 B 错;若 m ? ? , m ? n ,则 n∥ ? 或 n ? ? ,故 C 错;D 正确. 故选 D. 考点:直线与直线平行的判断方法;直线与平面的判断方法. 3.已知 m, n, l 是直线, ?、? 是平面,下列命题中,正确的命题是 ①若 l 垂直于 ? 内两条直线,则 l ? ? ; ②若 l 平行于 ? ,则 ? 内可有无数条直线与 l 平行; ③若 m⊥n,n⊥l 则 m∥l; ④若 m ? ? , l ? .(填序号)

? , 且? // ? ,则 m // l ;

【答案】② 【解析】 试题分析:① 若 l 垂 直 于 α 内 两 条 相 交 直 线 , 则 l ⊥ α ; 若 l 垂 直 于 α 内 两 条 平 行
1

直线,则 l 不垂直于α .故①不成立. ②若 l 平行于α ,则 l 平行于α 内所有直线,故②成立; ③ 若 m⊥ n, n⊥ l, 则 m 与 l 平 行 、 相 交 或 异 面 , 故 ③ 不 成 立 ; ④ 若 m?α , l?β , 且 α ∥ β , 则 m 与 l 平 行 、 相 交 或 异 面 , 故 ④ 不 成 立 . 故答案为:②. 考点:立 体 几 何 性 质 的 合 理 应 用 ; 真 假 命 题 的 正 确 判 断 .

【答案】 (1)详见解析; (2) BM ? 1 【解析】
C D B M B1 F C1

O E A

A1

试题分析: (1)要证明 C1 E // 平面 ADF ,只需在平面内找一条直线与 C1E 平行,如果不容 易直接找到,可以将 C1E 平移到平面内,平移直线的方法一般有①中位线平移;②平行四 边形对边平行平移;③成比例线段平移,该题连接 CE 交 AD 于 O ,连接 OF ,可证
CF CO 2 ? ? OF ∥ EC1 ,进而可证 C1 E // 平面 ADF ; (2)该题主要是如何分析得 C C1 C E 3 ,从而

到 M 的位置,然后再证明,由已知可得平面 B1BCC1 ? 平面 ABC ,进而可证 AD ? 平面

B1BCC1 ,故 AD ? CM,只需有 CM ? DF ,则 CM ? 平面 ADF ,从而平面 CAM ? 平面 ADF ,
那 么 如 何 保 证 CM ? DF 呢 ? 在 矩 形 B1BCC1 中 , 只 需 ?BCM ? ?CFD , 则
2

tan ?BCM ? tan BM 1 ?CFD ,则 ? ,所以 BM ? 1,倒过来,再证明平面 CAM ? 平面 ADF 即可. 2 2
试题解析: (1)连接 CE 交 AD 于 O ,连接 OF ,因为 CE,AD 为△ABC 中线,所以 O 为△ABC CF CO 2 ? ? , C1 E ? 平面 ADF , 的重心, 从而 OF//C1E, OF ? 面 ADF, 所以 C1 E // 平面 ADF ; CC1 CE 3 (2)当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF . 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,由于 B1 B ? 平面 ABC,BB1 ? 平面 B1BCC1,所以平面 B1BCC1 ? 平 面 ABC, 由于 AB=AC,D 是 BC 中点, 所以 AD ? BC , 又平面 B1BCC1∩平面 ABC=BC, 所以 AD ? 平面 B1BCC1, 而 CM ? 平面 B1BCC1,于是 AD ? CM,因为 BM =CD=1,BC= CF=2,所以 Rt?CBM ≌ Rt?FCD ,所 CM ? DF, DF 与 AD 相交, 所以 CM ? 平面 ADF , CM ? 平面 CAM, 所以平面 CAM ? 平面 ADF , ∴当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF . 考点:1、直线和平面平行的判定;2、面面垂直的判定;3、面面垂直的性质. 5.矩形 ABCD 中, AD ⊥面 ABE , AE ? EB ? BC ? 2 , F为CE 上的点,且 BF ⊥面

ACE , AC 、 BD 交于点 G .
(1)求证: AE ⊥ 面BCE ; (2)求证: AE //面 BFD .

3

4

【答案】 (1)略(2)略 【解析】 ( 1 ) 由 BF ⊥面 ACE ,得 AE ? BF ,由 AD ⊥面 ABE ,得 AE ? AD, 根据 线面垂直的判定定理得证; (2)由已知易证 FG 为 ?AEC 的中位线,根据线面平行的判定 定理得证。 6.如图:在三棱锥 S ? ABC 中,已知点 D 、 E 、 F 分别为棱 AC 、 SA 、 SC 的中点. (1)求证: EF ∥平面 ABC ; (2)若 SA ? SC , BA ? BC ,求证:平面 SBD ⊥平面 ABC .
S

F E D A B C

【答案】 (1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】(1)关键证明:EF//AC. (2) 由 SA ? SC , BA ? BC 可证出 AC ? 平面SDB ,进而可证出平面 SBD ⊥平面 ABC . 证明: (1)∵ EF 是 ?SAC 的中位线, ∴ EF ∥ AC . 又∵ EF ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC , ∴ EF ∥平面 ABC . (2)∵ SA ? SC , AD ? DC ,∴ SD ? AC .∵ BA ? BC , AD ? DC ,∴ BD ? AC . 又∵ SD ? 平面 SBD , BD ? 平面 SBD , SD 又∵ AC ? 平面 ABC ,∴平面 SBD ⊥平面 ABC

DB ? D ,∴ AC ? 平面 SBD ,

AB ? a , AA1 ? 2a , E 为 CC1 的中点, 7.如图,在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
AC BD ? O .

(Ⅰ) 证明: OE ∥平面 ABC1 ; (Ⅱ)证明: AC ? 平面 BDE . 1

5

【答案】 (1)略(2)略 【解析】(I)关键是证明 OE//AC1. (2)证明: BD ? AC ? AC1 问题即可解决. 1 , AC 1 解: (Ⅰ)证明:因为 EC1 ? EC, AO ? OC ,所以 OE ∥ AC1 因为 AC1 ? 面 ABC1 , OE ? 面 ABC1 ,所以 OE ∥面 ABC1 …………………6 分

AB ? a ,所以 AC (Ⅱ)连接 AC 1 1 ,因为 1 1 ? 2a 所以四边形为正方形
所以 AC ? AC1 因为 OE ∥ AC1 ,所以 AC ? OE ………………8 分 1 1 又因为 BD ? AC , BD ? AA1 , AC

AA1 ? A
BD ? O ,所以 AC ? 面 BDE 1

BD ? AC 所以 BD ? 面 AC 1 所以 1 因为 OE

8.如图:C、D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB ? 2 AD ? 2 3, AC ? BC, F 在线段 AB 上, 且 AF ?

1 AB ,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上. 3

(I)求证平面 ACD⊥平面 BCD; (II)求证:AD//平面 CEF. 【答案】见解析 【解析】本试题主要是证明面面垂直和线面平行的问题的运用。 (1)利用面面垂直的判定定理,先证明线面垂直,然后得到结论。 (2)要证明线线平行,结合线面平行的判定定理和相似三角形,全等三角形得到线线平行,

6

最后得证。解: (I)证明:依题意: AD ? BD

CE ? 平面ABD,?CE ? AD BD CE ? E ? AD ? 平面BCE ……3 分
又 AD ? 平面CAD ?平面CAD ? 平面BCD …………4 分 (Ⅱ)证明: Rt ABD中,AB ? 2 3, AD ? 3 ? BD ? 3 ,联结 AE ,在 Rt ACE 和

Rt BCE 中 AC ? BC, CE ? CE, ? Rt ACE ? Rt BCE,? AE ? BE ……6 分

E ?B E ? 3 ? x 设 DE ? x , 则A
解得 x ? 1

t A D E , 在R

2 2 2 2 ,AD ? DE ? AE , 即 3 ? x ? ?3 ? x ? ,
2

? BE ? 2 ?

BF BE 2 ? ? …………10 分? AD // EF BA BD 3

AD 在平面 CEF

外? AD //平面 CEF 9.如图,四棱锥 V-ABCD 中,∠BCD=∠BAD=90°,又∠BCV=∠BAV=90°, 求证:VD⊥AC;

【答案】见解析 【解析】∠BCD=∠BAD=90° ∠BCV=∠BAV=90° BC⊥CD,BA⊥AD

BC⊥CV,BA⊥AV

∴BC⊥平面 VCD,BA⊥平面 VAD ∴BC⊥VD,BA⊥VD ∴VD⊥平面 ABC,∴VD⊥AC 10. 如图, 在四棱台 ABCD ? A 底面 ABCD 是平行四边形, DD1 ? 平面 ABCD , 1B 1C1D 1 中,

AB ? 2 AD , AD ? A1B1 , ?BAD ? 60 .
7

(1)证明: BD ? 平面 ADD1 A 1; (2)证明: CC1 // 平面 A 1BD . 【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)先用余弦定理确定 BD 与 AD 的等量关系,利用勾股定理得到 BD ? AD , 再用 DD1 ? 平面 ABCD 得到 DD1 ? BD , 最后利用直线与平面垂直的判定定理得到 BD ? 平面 ADD1 A (2)连接 AC 、 AC 1; 1 1 ,设 AC

BD ? E ,连接 EA1 ,利用棱台底面的相似

比得到 AC 1ECC1 为平行四边形,得到 CC1 //AE ,最后利用直线 1 1 //EC ,从而证明四边形 A 与平面平行的判定定理得到 CC1 // 平面 A 1BD . 试题解析: (1)

AB ? 2 AD , ?BAD ? 60 ,在 ?ABD 中,由余弦定理得

BD2 ? AD2 ? AB2 ? 2 AD ? AB ? cos 60 ? 3 AD2 ,

? AD2 ? BD2 ? AB 2 ,因此, AD ? BD

DD1 ? 平面 ABCD ,且 BD ? 平面 ABCD ,? DD1 ? BD ,


AD DD1 ? D ,? BD ? 平面 ADD1 A1 ; AC 1 1 ,设 AC
BD ? E ,连接 EA1 ,

(2)连接 AC 、

四边形 ABCD 是平行四边形,

? EC ?

1 AC 2 ,

8

由棱台定义及

AB ? AD ? 2 A1B1 知 AC 1 1 //EC ,且 AC 1 1 ? EC ,

? 四边形 A1ECC1 是平行四边形,因此 CC1 //EA1


EA1 ? 平面 A1BD , CC1 ? 平面 A1BD ,?CC1 // 平面 A1BD .
1 CD ? 1 . 2

考点:1.直线与平面垂直的判定;2.直线与平面平行的判定 11.如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ?

现以 AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面

ADEF 与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2.
E M F D
C

E

D

C

A

B

F

A
图1

B

图2 (1)求证: AM ∥平面 BEC ; (2)求证: BC ? 平面BDE ; (3)求点 D 到平面 BEC 的距离. 【答案】 (1)见解析(2)见解析(3) 【解析】 试题分析:

6 3

(1)要证明线面平行,取 EC 中点 N ,连结 MN , BN ,其中线段 BN 在面 BEC 中,根据线面平 行的判断,只需要证明线段 BN 与 AM 平行即可,根据 MN 为所在线段的中点,利用中位线定理即 可得到 MN 平行且等于 DC 的一半,题目已知 AB 平行且等于 DC 的一半,则可以得到 MN 与 AB 平行且相等,即四边形 ABMN 为平行四边形,而 AM 与 BN 为该平行四边形的两条对边,则 AM 与 BN 平行,即得到线段 AM 平行于面 BEC. (2)题目已知面 ABCD 与 ADEF 垂直且 ED 垂直于这两个面的交线,根据面面垂直的性质定理可 得线段 ED 垂直于面 ABCD,再根据线面垂直的性质可得到 BC 垂直于 ED,根据梯形 ABCD 为直角

9

梯形和边长关系和勾股定理可以得到 BC 与 BD 垂直,即线段 BC 与面 BED 中两条相交的线段 ED,BD 相互垂直,根据线面垂直的判断即可得到线段 BC 垂直于面 BED (3)要求点面距离可以考虑利用三棱锥 D ? BEC 体积的等体积法,即分别以 D 点和 E 点作为 顶点求解三棱锥 D-BEC 的体积,当以 E 作为顶点时,DE 为高,三角形 BCD 为底面,求出高和底 面积得到三棱锥的体积,当 D 为顶点,此时,高为 D 到面 BEC 的距离,而三角形 BEC 为底面,利 用三角形的勾股定理得到 BE 的长度,求出三角形 BEC 的面积,利用三棱锥的体积公式即可得 到 D 到面 BEC 的距离. 试题解析: (1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN , BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, 所以 MN ∥ CD ,且 MN ? 由已知 AB ∥ CD , AB ?

1 CD . 2

1 CD , 2 所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 3分 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . 4分 BN ? BEC AM ? 平面 BEC , 又因为 平面 ,且 所以 AM ∥平面 BEC . 5分
E F M D A G B N C

(2)在正方形 ADEF 中, ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF 所以 ED ? 平面 ABCD . 所以 ED ? BC . 7分

平面 ABCD ? AD ,

在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 1 , CD ? 2 ,可得 BC ? 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2, CD ? 2 ,
2 2 2 所以 BD ? BC ? CD .

2.

所以 BC ? BD .

8分

所以 BC ? 平面 BDE . 10 分 (3)解法一:因为 BC ? 平面 BCE ,所以平面 BDE ? 平面 BEC . 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ? 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 12 分
10

11 分

在直角三角形 BDE 中, S ?BDE ? 所以 DG ?

1 1 BD ? DE ? BE ? DG 2 2

BD ? DE ? BE

2 3

?

6 3
6 . 3
14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

解法二: BE ? 平面 BDE ,所以 BC ? BE 所以 S ?BCD ?

1 1 BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2
12 分

S ?BCE ?

1 1 6 BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 2

又 VE ? BCD ? VD? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h . 则

S ? DE 1 1 1 6 S ?BCD ? DE ? ? S ?BCE ? h ,所以 h ? ?BCD ? ? 3 3 S ?BCE 3 6 2
6 . 3
14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

考点:勾股定理线面平行,线面垂直等体积法

11

12



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