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2016新课标三维人教B版数学选修4-5 1.4 绝对值的三角不等式



1.4

绝对值的三角不等式

[对应学生用书P13]

[读教材· 填要点] 绝对值的三角不等式 (1)定理 1:若 a,b 为实数,则|a+b|≤|a|+|b|. 当且仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)定理 2:设 a,b,c 为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,等号成立?(a-b)(b-c)≥0, 即 b 落在 a,c 之间. ①推论 1:||a|-|b||≤|a+b| ②推论 2:||a|-|b||≤|a-b| [小问题· 大思维] 1.|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具有什么关系? 提示:|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 2.不等式|a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么? 提示:不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≥0,左侧“=”成 立的条件是 ab≤0,且|a|≥|b|;不等式|a|- |b|≤|a- b|≤|a|+ |b|,右侧“=”成立的条件是 ab≤0,左侧“=”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|. 3.绝对值不等式|a-c|≤|a-b|+|b-c|的几何解释是什么? 提示:在数轴上,a,b,c 所对应的点分别为 A,B,C,当点 B 在点 A,C 之间时,|AC| =|AB|+|BC|;当点 B 不在点 A,C 之间时,|AC|<|AB|+|BC|.

[对应学生用书P13]

绝对值的三角不等式的应用

[例 1] (1)以下四个命题: ①若 a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|; ②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1; x 2 ③若|x|<2,|y|>3,则| |< ; y 3

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|A|+|B| 1 ④若 AB≠0,则 lg ≥ ( lg|A|+lg|B|). 2 2 其中正确的命题有( A.4 个 C.2 个 D.1 个 |a+b| (2)不等式 ≥1 成立的充要条件是________. |a|-|b| [思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题. 解答问题(1) 可利用绝对值的三角不等式定理,结合不等式的性质、基本定理等一一验证;解答问题 (2) 应分|a|>|b|与|a|<|b|两类讨论. [精解详析] (1)|a+b|=|(b-a)+2a|≤|b-a|+2|a| =|a-b|+2|a|,∴|a+b|-2|a|≤|a-b|,①正确; 1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,②正确; 1 1 |y|>3,∴ < . |y| 3 |x| 2 又∵|x|<2,∴ < .③正确; |y| 3 ) B.3 个

?|A|+|B|?2=1(|A|2+|B|2+2|A||B|), ? 2 ? 4
1 ≥ (2|A||B|+2|A||B|)=|A||B|, 4 |A|+|B| ∴2lg ≥lg|A||B|. 2 ∴lg |A|+|B| 1 ≥ (lg|A|+lg|B|),④正确. 2 2

(2)当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0, ∴|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|. |a+b| ∴必有 ≥1. |a|-|b| 即|a|>|b|是 当 |a+b| ≥1 成立的充分条件. |a|-|b|

|a+b| ≥1 时,由|a+b|>0, |a|-|b|

必有|a|-|b|>0. 即|a|>|b|,故|a|>|b|是 故所求为:|a|>|b|. [答案] (1)A (2)|a|>|b| 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn |a+b| ≥1 成立的必要条件. |a|-|b|

(1)绝对值的三角不等式:|a|-|b|<|a± b|<|a|+|b|的几何意义是:三角形任意两边之差小 于第三边,三角形任意两边之和大于第三边. (2)对|a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|的诠释: 定理的构 成部分 特征 大小 关系 等号成立的条件 中间部分为|a+b|时, ab≤0, 且|a|≥|b|时, 左端|a|-|b| 可能是负的 ≤中间部分 左边的等号成立;中间部分为 |a - b| 时, ab≥0,且|a|≥|b|时,左边等号成立.

用“+”连接时, ab≥0, 右端取等号, ab≤0, 中间部分 |a± b| ≥左端 ≤右端 且 |a|≥|b|时,左端取等号;用“-”连接 时, ab≥0 ,且 |a|≥|b| 时,左端取等号, ab≤0,右端取等号. 中间部分为|a+b|时,ab≥0,等号成立;中 间部分为|a-b|时,ab≤0,等号成立.

肯定是非负的

右端|a|+|b|

是非负的

≥中间部分

1.(1)若 x<5,n∈N+,则下列不等式: ①|xlg n n |<5|lg |; n+1 n+1

n n ②|x|lg <5lg ; n+1 n+1 n n ③xlg <5|lg |; n+1 n+1 n n ④|x|lg <5|lg |. n+1 n+1 其中,能够成立的有________. |a|-|b| |a|+|b| (2)已知|a|≠|b|,m= ,n= ,则 m,n 之间的大小关系是( |a-b| |a+b| A.m>n C.m=n n 解析:(1)∵0< <1. n+1 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn B.m<n D.m≤n )

∴lg

n <0. n+1

由 x<5,并不能确定|x|与 5 的关系, ∴可以否定①②③,而|x|lg n <0,④成立. n+1

(2)∵|a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|, |a|-|b| |a-b| ∴m= ≤ =1, |a-b| |a-b| |a|+|b| |a|+|b| n= ≥ =1.∴m≤1≤n. |a+b| |a|+|b| 答案:(1)④ (2)D 利用绝对值的三角不等式证明不等式

[例 2] 已知 a,b∈R 且 a≠0, |a2-b2| |a| |b| 求证: ≥ - . 2|a| 2 2 [思路点拨] 本题的特点是绝对值符号较多,直接去掉绝对值符号较困难.从所证的不 等式可以看出,不等式的左边为非负值,而不等式右边的符号不定.如果不等式右边非正, 这时不等式显然成立;当不等式右边为正值时,有|a|>|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入 手,结合作差比较法,可以使问题得以解决. [精解详析] ①若|a|>|b|, |a+b||a-b| 左边= 2|a| = = |a+b||a-b| |a+b||a-b| ≥ |a+b+a-b| |a+b|+|a-b| . 1 1 + |a+b| |a-b| 1 1 1 1 ≤ , ≤ , |a+b| |a|-|b| |a-b| |a|-|b| 1 1 2 + ≤ . |a+b| |a-b| |a|-|b| 1

∵ ∴

|a|-|b| ∴左边≥ =右边. 2 ②若|a|<|b|, 左边>0,右边<0,∴原不等式显然成立. ③若|a|=|b|,原不等式显然成立. 综上可知原不等式成立. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、 换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式性质定理: ||a|- |b||≤|a± b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不 等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根 的分布等方法来证明.

2.(1)已知 ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε, 求证:|(x+y)-(a+b)|<2ε. (2)设 f(x)=x2-x+13,实数 a 满足|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 证明:(1)|(x+y)-(a+b)|=|(x-a)+(y-b)|≤|x-a|+|y-b|.① ∵|x-a|<ε,|y-b|<ε, ∴|x-a|+|y-b|<ε+ε=2ε.② 由①②得:|(x+y)-(a+b)|<2ε. (2)∵f(x)=x2-x+13, ∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a| =|x-a|· |x+a-1|<|x+a-1|. 又∵|x+a-1|=|x-a+2a-1| ≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1 =2(|a|+1), ∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 利用绝对值的三角不等式求最值

[例 3] 已知 a,b∈R,且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4. 求|a|+|b|的最大值. [思路点拨] 本题考查绝对值三角不等式的应用.解答本题可先求出|a+b|,|a-b|的最 值,再通过|a|+|b|与它们相等时进行讨论求出最大值. [精解详析] |a+b|=|(a+b+1)-1| ≤|a+b+1|+|-1|≤2, |a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5| ≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5 ≤3+2×4+5=16. ①若 ab≥0,则|a|+|b|=|a+b|≤2; ②若 ab<0,则|a|+|b|=|a-b|≤16. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

? ?a+b+1=1, 而当? 即 a=8,b=-8 时, ?a+2b+4=-4, ?

|a|+|b|取得最大值,且|a|+|b|=|a-b|=16.

(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强,本题直接求|a|+|b|的最大值比较困难, 可采用|a+b|, |a-b|的最值, 及 ab≥0 时, |a|+|b|=|a+b|, ab<0 时, |a|+|b|=|a-b|的定理, 达到目的,其巧妙之处令人赞叹不已. (2)求 y=|x+m|+|x+n|和 y=|x+m|-|x+n|的最值,其主要方法有: ①借助绝对值的定义,即零点分段; ②利用绝对值几何意义; ③利用绝对值不等式性质定理.

3.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为( A.5 C.8 B .4 D.7

)

解析: 由题易得, |x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5, 即|x-2y+1|的最大值为 5. 答案:A

[对应学生用书 P15] 一、选择题 1.已知实数 a,b 满足 ab<0,则下列不等式成立的是( A.|a+b|>|a-b| C.|a-b|<||a|-|b|| 解析:∵ab<0, ∴|a-b|=|a|+|b|, 又|a+b|<|a|+|b|, ∴|a+b|<|a|+|b|=|a-b|. 答案:B 2.“|x-a|<m 且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn ) B.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<|a|+|b| )

C.充要条件 D.非充分非必要条件 解析:∵|x-a|<m,|y-a|<m, ∴|x-a|+|y-a|<2m. 又∵|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|, ∴|x-y|<2m.但反过来不一定成立, 如取 x=3,y=1,a=-2,m=2.5,|3-1|<2×2.5, 但|3-(-2)|>2.5,|1-(-2)|>2.5, ∴|x-y|<2m 不一定有|x-a|<m 且|y-a|<m,故“|x-a|<m 且|y-a|<m”是“|x-y| <2m”(x,y,a,m∈R)的充分非必要条件. 答案:A 3.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与 2 的大小关系是( A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2 C.|a+b|+|a-b|=2 D.不能比较大小 解析:当(a+b)(a-b)≥0 时, |a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0 时, |a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2. 答案:B 4.若|a-c|<b,则下列不等式不成立的是( A.|a|<|b|+|c| C.b>|c|-|a| ) )

B.|c|<|a|+|b| D.b<||a|-|c||

解析:∵|a-c|<b,令 a=1,c=2,b=3. 则|a|=1,|b|+|c|=5,∴|a|<|b|+|c|成立. |c|=2,|a|+|b|=4,∴|c|<|a|+|b|成立. ||c|-|a||=||2|-|1||=1,∴b>||c|-|a||成立. 故 b<||a|-|c||不成立. 答案:D 二、填空题 q? 5.已知 p,q,x∈R,pq≥0,x≠0,则? ?px+x?________2 pq.(填不等关系符号) q? 解析:当 p,q 至少有一个为 0 时,? ?px+x?≥2 pq, q 当 pq>0 时,p,q 同号,则 px 与 同号, x

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q? ?q? ∴? ?px+x?=|px|+?x?≥2 pq, q? 故? ?px+x?≥2 pq. 答案:≥ 1 6.(重庆高考)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+ a+2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取 2 值范围是________. 1 1 5 ? 1 ? x- ?+ ? x ? +|x +2| ? ≥0+??x- ?-?x+2??= ,当且仅当 x 解析:|2x-1|+|x+2|=? 2? ? 2? ? ? ? ? 2 2 ? 1 5 1 5 = 时取等号, 因此函数 y=|2x-1|+|x+2|的最小值是 .所以 a2+ a+2≤ , 即 2a2+a-1≤0, 2 2 2 2 1? 1 解得-1≤a≤ ,即实数 a 的取值范围是? ?-1,2?. 2 1? 答案:? ?-1,2? 7. 不等式 log3(|x-4|+|x+5|)>a 对于一切 x∈R 恒成立, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:由绝对值的几何意义知:|x-4|+|x+5|≥9, 则 log3(|x-4|+|x+5|)≥2, 所以要使不等式 log3(|x-4|+|x+5|)>a 对于一切 x∈R 恒成立,则需 a<2. 答案:(-∞,2) 8.设函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 m>0,使|f(x)|≤m|x|对一切实数 x 均成立,则 称 f(x)为 F 函数.给出下列函数: ①f(x)=0;②f(x)=x2;③f(x)= 2(sin x+cos x); x ④f(x)= 2 ;⑤f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足对一切实数 x1,x2 均有|f(x1)- x +x+1 f(x2)|≤2|x1-x2|. 其中是 F 函数的序号是________. |f?x?| 解析:由|f(x)|≤m|x|,当 x≠0 时,知 m≥ , |x| |f?x?| 对于①,有 =0,x≠0,故取 m>0 即可; |x| 对于②,由|x2|=|x|2,∴ |f?x?| =|x|,无最大值; |x|

π x+ ?, 对于③,由 f(x)=2sin? 4 ? ?



?2sin?x+π?? ? 4?? |f?x?| ?
|x| = |x|

无最大值;

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|f?x?| 1 4 对于④,由 = ≤ ,x≠0,只要取 |x| x2+x+1 3 4 m= 即可; 3 对于⑤,令 x2=0,x1=x ,由 f(0)=0,知|f(x)|≤2|x|. 答案:①④⑤ 三、解答题 1 1 5 9.已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< ,求证:|y|< . 3 6 18 1 证明:因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|< ,|2x-y| 3 1 < , 6 2 1 5 5 从而 3|y|< + = ,所以|y|< . 3 6 6 18 |a+b| |a| |b| 10.设 a,b∈R,求证: + ≥ . 1+|a| 1+|b| 1+|a+b| 证明:法一:①若 ab=0 或 a+b=0,不等式显然成立.②若 ab≠0 且 a+b≠0,∵|a +b|≤|a|+|b|, ∴ |a|+|b| 1 = 1 1+|a|+|b| 1+ |a|+|b| |a+b| 1 = (*) 1 1+|a+b| +1 |a+b| |a| |a| |b| |b| > , > , 1+|a| 1+|a|+|b| 1+|b| 1+|a|+|b| |a|+|b| |a| |b| + > . 1+|a| 1+|b| 1+|a|+|b| |a+b| |a| |b| + > . 1+|a| 1+|b| 1+|a|+|b|



又 ∴

又由(*)式可知

|a+b| |a| |b| 综上①②可知 + ≥ . 1+|a| 1+|b| 1+|a+b| 法二:若 ab=0 或 a+b=0,不等式显然成立. 若 ab≠0 且 a+b≠0,∵|a+b|≤|a|+|b|, 1 1 ∴0<1+ ≤1+ . |a|+|b| |a+b| 1+|a|+|b| 1+|a+b| 即 0< ≤ . |a|+|b| |a+b|

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|a|+|b| |a+b| 取倒数得 ≥ , 1+|a|+|b| 1+|a+b| 又由法一知,原不等式成立. 法三:∵|a|+|b|≥|a+b|, ∴|a|+|b|+(|a|+|b|)· |a+b|≥|a+b|+ (|a|+|b|)· |a+b|, 即(|a|+|b|)(1+|a+b|)≥|a+b|(1+|a|+|b|). 两边同除以(1+|a+b|)(1+|a|+|b|)得 |a|+|b| |a+b| ≥ .又由法一知,原不等式成立. 1+|a|+|b| 1+|a+b| x 法四:构造函数 f(x)= , 1+x 任取 x1,x2∈[0,+∞)且 x1<x2,有 x1 x2 f(x1)-f(x2)= - 1+x1 1+x2 = x1-x2 <0. ?1+x1??1+x2?

∴f(x)在[0,+∞)上为增函数. 又|a|+|b|≥|a+b|,∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|), 即 |a|+|b| |a+b| ≥ . 1+|a|+|b| 1+|a+b|

又由法一知,所证不等式成立. 11.已知|x1-2|<1,|x2-2|<1. (1)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2. (2)若 f(x)=x2-x+1,x1≠x2,求证: |x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|. 证明:(1)∵|x1-2|<1,|x2-2|<1, ∴2-1<x1<2+1,2-1<x2<2+1, 即 1<x1<3,1<x2<3,∴2<x1+x2<6, |x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)| ≤|x1-2|+|x2-2|<1+1=2, 即|x1-x2|<2. (2)∵f(x)=x2-x+1,
2 ∴|f(x1)-f(x2)|=|x2 1-x1-x2+x2|

=|(x1-x2)(x1+x2-1)|=|x1-x2||x1+x2-1|. 由(1)知 2<x1+x2<6,|x1-x2|>0, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴|x1-x2|<|x1-x2||x1+x2-1|<5|x1-x2|, 即|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.

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