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赏析一道联赛题的多种解法



高 中数 学教 与学  

2 0 1 3年  

赏析 一道 联 赛 题 的多 种 解 法 
武增明  
( 云 南省 玉溪第一 中学 , 6 5 3 1 0 0 )  

数学 学 习 强 调 经 历 学 习 过 程 , 注 重 学 习  的探 究 与 合 作 .一 题 多 解 能 够 很 好 地

体 现 学 

J Dl  

C  

习过 程 中的 自主 探 究 , 有 利 于 培 养 思 维 的 广 
阔性 、 灵 活性 和敏 捷 性 . 下 面给 出 2 0 1 2年 高 中  数 学 联 赛 B卷 第 1试 中 一 道 立 几 题 的 多 种 解   法, 与读者共赏.  
A  

题 目  
—  

如 图 1 ,在 长 方 体 A B C D  
‘ .

图 l  



BI cI D1 中, A B =4, BC =C C 1=2 , / 2, M 是 

解法 1   定 义 法 
C   上 BN, CM 上 AB, 又 BN  f " l   AB = B,  

BC 。 的 中点 , Ⅳ是 MC  的 中点 . 若 异 面直 线 A N 
’ .

与 C M所成的角为 0 、 距 离 为 d, 则d s i n   0=  

C M 上平 面 A B N. 又 A Ⅳc 平面 A B N,  
C M 上 AN ,  

‘ .

?



异面直线 A Ⅳ与 C M所 成 的角 是 9 0 。 , 即 
? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… - ●… ? ●… ? ●?  

”●…

? ●… ? ●…

? ●… - ●…

? ●… ? ●… ? ●…

? ●… ? ●…

? ●… ? ●… ? ●… ? ●… - ●…

? ●… ? ●…

? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●…

y  ? Y  =1 6 p    ̄( 4 p a一4 p   ) ( 4 p b一4 p   )=   1 6 p   =   ( Ⅱ一 P ) ( b — P )= p Z ja b=p ( 0+ b ) =   p  
=   .

知 
l   R S   I   :( 0+6 )  一 ( n一6 )   =4 a b ,  
所 以  I   R S   I=2   .  

n + 0  

4 - L Z . (   ) 式, 可得 

又 由图 1 可 得 
FRs + 厶 Fs R 


I   MF   I=  ̄ / 2 p 2+P ( 口+b )一2 p  

= ̄ / , p ( Ⅱ+b )=   Ⅱ 6 .  
所以 , 选 A .  

( 詈一 / _ F R P ) + (   " I T — Z . F S Q )  

反思 1   由上可见 , 准确解题的关键 是审  清问题中的 已知 条件 , 切不 能 遗漏 或忽 视 某 
些条件.   反思 2   由于 P Q是 抛 物 线 的 焦 点 弦 , 可 



( 詈一 / _ P F R ) + (   " I T 一 / _ Q F S )  


:叮 T一(  J P F R 十/QF S ) = /RF S .  

故 Z _ R F S= / _ F R S+   F S R =— "   i T 即 

考虑结合抛物线 的定 义和平 面几何 知识进行 
求解.   另解  分两种情 况讨论 :   ( 1 )当 口≠ b 时, 不妨令 0 >b .   如图 1 , 由抛物线 的定义 , 知 
  I P R   I= I   P F   I =0 . I   Q S   I =I   Q F   l =b .   过 点 Q作 P R的 垂 线 构 造 直 角 三 角 形 , 易 
?

AR F S为直角三角形.   在直角 Z X R F S中 , 有 
I   M F  I:  1  I   RS   I:  
. 

( 2 )当Ⅱ=b 时, l   R S   l =l   P Q   l =a+b=  

0 6 , 故I   MF   l =、 / / 口 6 .  
综上 , I   MF   I =   0 6 . 故选 A .  

48 ?  

第 3朝  
0 =9 0。 .  

高中数学教 与学  
连 结 EN, NC, 则  一  c= V s , … c , 从 而 
s   c?d =  1   s
… c ?EB .  

如 图 2, 过 点 C作 C F 上A N, 垂 足 为 F, 连 
结 F M.  
‘ . ‘

C M 上 平面 A B N, 又F M  c平面A B N,  
C M  j -MF, 即  F 上 C M.  
Ⅳ 上 CF, AN 上 MC, 又 CF  n  CM = C,  

可 得 

n   =  

.  
:   , M N : 

‘ . .

‘ .

‘ 

由题 意 , 可算得 日   :_ 8 i -EM


‘ . .

』 4 Ⅳ j _   F, 即  F 上 A Ⅳ .  

1 , 故 d s i n   0:  4
. 

故  F是 异 面 直 线 A N与 C M 问 的距 离 .   由题 设 条 件 可算 得  

点 评  解 法 2巧 妙 利 用 线 线 平 行 和线 面 

B N=亍曰 c l =3 , M N=1 , A N= 5 .  
义 R t ANF M — Rt AN B A, 得 
4  
=   =  

平行 及 体 积 法 , 整体考虑 d s i n   0 , 避 免 了解 法 1   直接求解带 来 的 困难 , 不 失 为 间 接 求 法 中 的 


聃  } i 法.   解法3   向量 坐 标 法  以 D为原 点建 丘空间直 角 坐标 系 , 如 图 


=  


. 

从  d s i n   :_ 4 _   s i n   9 0 。:  4
. 

4, 则 A( 2   , 0, 0 ), c ( o, 4, 0) ,  (   , d,   ) ,  

从 而

. -

, )  

C.  

Ⅳ (  

) .  


于 是 A — C : (一 2  

4, 0 ) ,   - Ⅳ 4 ":  

}  . _

( 一 半’ 4 ,  ) , — C M = (  ' 0 ’   ) , A — N ? C — M  
A 


0, 即 0= 9 0 。 .  

图 2  

点 评  解 法 l 从 定 义 出发 求  及 d , 是 最 
朴素的想法 , 对 学 生 立 体 几 何 理 论 的 掌 握 和  逻辑推理能力 、 几 何 作 图 能 力 提 出 了 一 定 的 
要求 .   解法2 化 归 法 

没  = (  , ) , ,   ), 且n_ L   A   N,  上 C — M 贝 U  


4—

{ L  -   ?   _ ÷   =   j   = ( I \     l , 。   4 , 。 一 - l   ) , J   .  


AN = 0 CM  


j  





故  =  

2   +3 厄 +0  

在 AA B N中 , 过 点  作 ME/ /A N, 交A B  
于 点 E, 连结 E C, 如 图 3, 则异面直线 A N与 C M 
所 成 的 角 是  E MC( 或其补角 ) ,于 是  =  

E MC( 或其 补角) .  
, J   C 

因为 A N/ /平 面 E MC, 所 以 把 异 面 直 线 
A Ⅳ与 C M 间的距 离 , 转 化 为直 线 A N 与 平 面  E MC间 的距 离 , 进而转 化为 点 Ⅳ与平 面 E MC  
问 的 距 离.  

图 4  

点 评  解 法 3   示 了 向 量 坐 标 法 的 威 

力, 体现了向量法在解相关问题中的优势.  
?

4 9 ?  



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