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山东版2016届高三上学期第一次月考 数学文



第一次月考数学文试题【山东版】

第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
2 1.已知集合 M ? ?0,1, 2,3? , N ? x x ? 3 x ? 0 ,则M ? N =

?

?

>
A. ?0?

B. x x ? 0

?

?

C. x ? ? x ? 3

?

?

D. ?1, 2?

2.已知 i 是虚数单位,若复数 ?1 ? ai ?? 2 ? i ? 是纯虚数,则实数 a 等于 A.2 B.

1 2

C. ?

1 2
2

D. ?2

3.“ m ? 1 ”是“函数 f ? x ? ? x ? 6mx ? 6 在区间 ? ??,3? 上为减函数”的 A.必要不充分条件 C.充分必要条件 4.已知函数 f ? x ? ? ? A.1 B.2 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

?1 ? x,
x ?a ,

x ? 0, x ? 0.
D.4

若f ?1? ? f ? ?1? ,则实数 a 的值等于

C.3

5.已知两个不同的平面 ?、? 和两个不重合的直线 m、n,有下列四个命题: ①若 m / / n, m ? ?,则n ? ? ; ③若 m ? ? , m / / n, n ? ? , 则? ? ? ; 其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 ②若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? ; ④若 m / /? , ? ? ? ? n,则m / / n .

?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ? 6.若实数 x, y 满足条件 ? ,则 2 x ? y 的最大值是 ?x ? 0 ? ?y ? 0
A.8 B.7 C.4 D.2 7.一个三棱锥的侧棱长都相等,底面是正三角形,其正(主)视图 所示.该三棱锥侧面积和体积分别是 如 右 图

A. 39,

2 3 3

B. 39,

8 3

C. 3

?

13 ? 1 ,

? 2 33

D. 8,

8 3
则 函 数

8.若函数 f ? x ? ? loga ? x ? b ? 的大致图像如右图,其中 a , b 为常数,

g? x ??

x

a ? 的大致图像是 b

9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此 12 4
? ? ? 3 3? , ? 3 3 ? ?

直线的斜率的取值范围是 A. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

B. ? ? 3, 3 ?

?

?
b

C. ? ?

D. ? 3, 3

?

?
” 。 向 量

10. 设 向 量

r a ? ? 1, a

? 2a , ? ?

r

1

?,

b b 义 一 种 运 算 “ ? , 2 定

r r u r ? 1? r ?? ? a ? b ? ? a1 , a2 ? ? ? b1 , b2 ? ? ? a2b1 , a1b2 ? .已知 m ? ? 2, ? , n ? ? , 0 ? ,点 P ? x, y? 在y ? sin x 的图 ? 2? ?3 ?
象上运动,点 Q 在 y ? f ? x ? 的图象上运动且满足 OQ ? m ? OP ? n (其 中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ? x ? 的最小值为 A. ?1 B. ?2 C.2 D.

uuu r

u r

uu u r r

1 2

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在题中横 线上. 11.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于_________. 12. 函 数 f

? x? ? 2 s i n ?? x? ? ? 的 图 像 , 其 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则

f ? 0? ? _______.

13.已知圆 C 过点 ? ?1,0 ? , 且圆心在 x 轴的负半轴上, 直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长为 2 2 , 则圆 C 的标准方程为________________.] 14.下面给出的四个命题中:
2 ①以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ; 2

②若 m ? ?2 ,则直线 ? m ? 2? x ? my ? 1 ? 0 与直线 ? m ? 2? x ? ? m ? 2? y ? 3 ? 0 相互垂直; ③命题“ ?x ? R ,使得 x ? 3x ? 4 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x ? 3x ? 4 ? 0 ” ;
2 2

④将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移

? ?? ? 个单位,得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象。 3 6? ?

其中是真命题的有___________(将你认为正确的序号都填上) 。 15.已知 x ? 0, y ? 0,若

2 y 8x ? ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是_______. x y

三、解答题:本大题共 6 个小题.共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积;

u r uuu r A 2 5 uu ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

,求a 、 sin B 的值. (II)若 c ? 1
17.(本小题满分 12 分) 如 图 所 示 , PA ? 平 面 ABCD , 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 , 且

2PA ? AD, E、F、G、H 分别是线段 PA、PD、CD、BC 的中点.
(I)求证:BC//平面 EFG; (II)求证: DH ? 平面 AEG; (III)求三棱锥 E-AFG 与四棱锥 P-ABCD 的体积比. 18.(本小题满分 12 分) 某公司有男职员 45 名,女职员 15 名,按照分层抽样的方法组建了一 个 4 人的科研攻关小组. (I)求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数; (II)经过一个月的学习、讨论,这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验,方法是先从小组里 选出 1 名职员做实验,该职员做完后,再从小组内剩下的职员中选一名做实验,求选出的两名职员 中恰有一名女职员的概率; (III)试验结束后,第一次做试验的职员得到的试验数据为 68,70,71,72,74,第二次做试验的 职员得到的试验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位职员的实验更稳定?并说明理由. 19.(本小题满分 12 分)

在数列 ?an ? 中,已知 a1 ?

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3log 1 an ? n ? N * ? . 4 an 4 4

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (III)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn,求?cn ? 的前 n 项和 Sn . 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

a ? x ? 1? ,其中a ? 0 . x2

(I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ? x ? 的切线,求实数 a 的值; (III)设 g ? x ? ? x ln x ? x f ? x ?,求g ? x ? 在区间 ?1, e? 上的最小值.(其中 e 为自然对数的底数)
2

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ?1, ? ,且长轴长等于 4. 2 a b ? 2?

(I)求椭圆 C 的方程; (II) F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点, e O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l : y ? kx ? m与 e O 相切, 并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 OA ? OB = ?

uur uu u r

3 ,求 k 的值. 2

2012 级高三第一次模拟考试试题

参考答案

4 5? b sin A a b 5 ? 2 5 . ?? ?? ??12分 ? ? 又 ,? sin B ? a 5 sin A sin B 2 5
17.解: (Ⅰ)∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF. . . . . . . . . .2 分 . . . . . . . . . . .3 分 ? BC ? 平面EFG, EF ? 平面EFG? BC ∥平面 EFG. (Ⅱ)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥DH ,即 AE⊥DH. . . . . . . . . .5 分 ∵△ADG≌△DCH ,∴∠HDC=∠DAG,∠AGD+∠DAG=90° ∴∠AGD+∠HDC=90° ∴DH⊥AG 又∵AE∩AG=A,∴DH⊥平面 AEG. . . . . . . . . . . .8 分
1 ?DG ?S? AEF V V (Ⅲ) E ? AFG ? G ? AEF ? 3 . . . . . . . . . . . . . . . 10 分 VP ? ABCD VP ? ABCD 1 ?PA?S ? ABCD 3

1 1 1 1 1 1 ? CD? ?EF ?EA ? CD? ? AD? PA 1 . 2 2 2 2 2 2 . . . . . . . . . . . . .12 分 ? ? ? . PA?AD? CD PA?AD? CD 16

(Ⅲ)

x1 ?

68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71 x2 ? ? 71 5 5 ,

s12 ?

(68 ? 71) 2 ? ? (74 ? 71) 2 (69 ? 71) 2 ? ? (74 ? 71) 2 2 ? 4 s2 ? ? 3.2 5 5 ,
1 1 an ?1 1 ? ,∴数列 {an } 是首项为 ,公比为 的等比数列, 4 4 an 4

第二次做试验的职员做的实验更稳定………………………12分 19.解: (1)?

1 n 4 (2)? bn ? 3 log 1 an ? 2
4

∴ a n ? ( ) (n ? N *) .?????????????????????????3 分 ????????????????????????4 分

∴ bn ? 3 log 1 ( ) ? 2 ? 3n ? 2 .?????????????????????6 分
n 4

1 4

∴ b1 ? 1 ,公差 d ? 3 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列. ????????????7 分 (3)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2 ,

1 n 4 1 n ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) , ????????????????????8 分 4 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ∴ S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ? [1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3n ? 5) ? (3n ? 2)] ? [ ? ( ) ? ( ) ? ? ? ? ? ) ? ( ) ] 4 4 4 4 4
???????????10 分

1 1 [1 ? ( ) n ] n(1 ? 3n ? 2) 4 3n 2 ? n 1 1 1 n 4 ? ? ? ? ? ? ( ) ??????????12 分 1 2 2 3 3 4 1? 4

(Ⅲ) g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) , 则 g ?( x) ? ln x ? 1 ? a , 解 g ?( x) ? 0 ,得 x ? e
a ?1

…??????9 分 ,

所以,在区间 ( 0, ea ?1 ) 上, g ( x) 为递减函数, 在区间 ( e 当e
a ?1

a ?1

, ? ?) 上, g ( x) 为递增函数.

?…???10 分

? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递增函数,
所以 g ( x) 最小值为 g (1) ? 0 .

当e

a ?1

? e ,即 a ? 2 时,在区间 [1, e] 上, g ( x) 为递减函数,
所以 g ( x) 最小值为 g (e) ? e ? a ? ae . ??????11 分

当1 < e

a ?1

< e ,即 1 ? a ? 2 时,最小值

g(e a ?1 ) ? (a ? 1)e a ?1 ? a(e a ?1 ? 1) = a ? e a ?1 . ??????12 分
综 上 所 述 , 当 0 ? a ? 1 时 , g ( x) 最 小 值 为 g ( 1 )? 0 ; 当 1 ? a ? 2 时 , g ( x) 的 最 小 值

g(e a ?1 )) = a ? e a ?1 ;当 a ? 2 时, g ( x) 最小值为 g (e) ? e ? a ? ae . ……?13 分
20、21.解: (Ⅰ)由题意,椭圆的长轴长 2a ? 4 ,得 a ? 2 ,????2 分 ∵点 ?1,

1 9 ? 3? 2 ? 在椭圆上,∴ ? 2 ? 1得 b ? 3 ,????4分 4 4 b 2 ? ?

∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 .??????6 分 4 3



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