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2012届潍坊二模数学理科试题及答案



山东省潍坊市 2012 届高三第二次模拟考试
本试卷共 4 页,分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应

题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净 后,再改涂其它答案标号. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.复数 A. ? i

1 ? i3 的虚部是 1? i
B. ? 1 C. i D.1

? x2 3y2 ? 2.设集合 A ? ? x ? ? 1? , B ? y y ? x2 ,则 A ? B = 4 ? 4 ?

?

?

A. ?? 2,2?

B. ?0,2?

C.0.4

D.0.8

3.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N 1, ? 2 为 0.8,则 ? 在 ?0,1? 内取值的概率为 A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.8

?

??? > 0? ,若 ? 在(0.2)内取值的概率

4. 已知两条直线 a ,b 与两个平面 ? 、 ? , b ? ? ,则下列命题中正确的是 ①若 a // ? , 则 a ? b ; ②若 a ? b ,则 a// ? ;

③若 b ? ? ,则 ? // ? ; ④若 ? ? ? ,则 b// ? . A. ①③ B.②④
2 2

C.①④

D.②③

5.已知点 P 在圆 x ? y ? 5 上,点 Q(0,—1) ,则线段 PQ 的中点的轨迹方程是 A. x ? y ? x ? 0
2 2

B. x ? y ? y ? 1 ? 0
2 2

C. x ? y ? y ? 2 ? 0
2 2

D. x ? y ? x ? y ? 0
2 2

6.已知 p : x ?10 ? 9 ? x ? a 的解集为 R, q :

1 <1,则 ? p 是 q 的 a

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.为了普及环保知识, 增强环保意识, 某大学从理工

类专业的 A 班和文史类专业的 B 班各抽取 20 名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业 的列联表: 附:参考公式及数据: (1)卡方统计量

n?n11n22 ? n12 n21 ? x ? ?n11 ? n12 ??n21 ? n22 ??n11 ? n21 ??n12 ? n22 ?
2 2

?

其中 n ? n11 ? n12 ? n21 ? n22 ? ;

(2)独立性检验的临界值表:

则下列说法正确的是 A.有 99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 B.有 99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 C.有 95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 D.有 95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关

?ln x ? x 2 ? 2 x?x > 0? 8.函数 f ?x ? ? ? 的零点个数为 ?4 x ? 1?x ? 0?
A.0 B.1 C.2 D.3 9.如图为某个几何体的三视图,则该几何体的侧面积为 A. 16 ? 4? B. 12 ? 4? C. 16 ? 8? D. 12 ? 8? 10. 已 知 函 数 f ?x ? 的 图 象 向 左 平 移 1 个 单 位 后 关 于 y 轴 对 称 , 当 x2 > x1 > 1 时 ,

1? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ???x2 ? x1 ? <0 恒成立,设 a ? f ? ? ? ?, b ? f ?2?, c ? f ?3? ,则 a、b、c 的大小 ? 2?
关系为 A.c>a>b

B.c>b>a

C.a>c>b

D.b>a>c

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , P 为 C 的右支上一点,且 11. 已知双曲线 C : 4 5

PF2 ? F1F2 ,则 PF 1 ? PF 2 等于
A.24 B.48 C.50 D.56 12. 对 于 定 义 域 为 D 的 函 数 f ?x ? , 若 存 在 区 间 M ? ?a, b? ? D?a < b? , 使 得

?y y ? f ?x?, x ? M ?? M ,则称区间 M 为函数 f ?x ? 的“等值区间”.给出下列四个函数:
① f ?x ? ? 2 ; ② f ?x ? ? x ; ③ f ?x ? ? sin x; ④ f ?x ? ? log2 x ? 1.
x 3

则存在“等值区间”的函数的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个

D.4 个

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

注意事项: 1.将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑字签字笔答在答题纸的相应位置上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.已知向量 a ? ?x,?2?, b ? ? y,1? ,其中 x,y 都是正实数,若

a ? b ,则 t ? x ? 2 y 的最小值是_______.
14.执行右侧的程序框图,输出的结果 S 的值为_______. 15. ?a ? x ? 1 ?

?

x 的展开式中 x 2 项的系数是 15, 则展开式的

?

5

所有项系数的和是_______. 16.下列命题: ①函数 y ? sin ? x ?

? ?

??

? 在 ?0, ? ?上是减函数; 2?

②点 A(1,1) 、B(2,7)在直线 3x ? y ? 0 两侧; ③数列 ?an ?为递减的等差数列, a1 ? a5 ? 0 ,设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,则当 n ? 4 时,

Sn 取得最大值;
④定义运算
a1 b1 a2 b2

? a1b2 ? a2b1,则函数 f ? x ? ?

x 2 ?3 x 1 1x x 3

的图象在点 ?1, ? 处的切线方程是

? 1? ? 3?

6 x ? 3 y ? 5 ? 0.
其中正确命题的序号是_________(把所有正确命题的序号都写上). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? A sin ?x, A cos?x ?, b ? ?cos? , sin ? ?, f ?x ? ? a ? b ? 1 ,其中 A>0、? >0、? 为锐角. f ?x ? 的图象的两个相邻对称中心的距离为 (I)求 f ?x ? 的解析式; (II)将 f ?x ? 的图象先向下平移 1 个单位,再向左平移 ? ?? > 0? 个单位得 g ?x ? 的图象,若

? ? ,且当 x ? 时, f ?x ? 取得最大值 3. 12 2

g ?x ? 为奇函数,求 ? 的最小值.
18.(本小题满分 12 分) 如图, 斜三棱柱 ABC—A1B1C1, 侧面 BB1C1C⊥底面 ABC, △BC1C

是等边三角形, AC ? BC, AC ? BC ? 4. (1)求证: AC ? BC1 ; (II)设 D 为 BB1 的中点,求二面角 D—AC—B 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 某超市计划在“五一”节期间对某种商品开展抽奖促销活动,设计的活动方案有两个: 方案一:采取摸球抽奖的方法.在盒子中放入大小相同的 10 个小球,其中白球 7 个,黄球 3 个.顾客在购买一件该商品后,有连续三次摸球的机会,每次摸出一个小球,且每次摸出小 球后不放回,每摸得一个黄球奖励价值 20 元的奖品一件. 方案二:采用转动如图所示的图形转盘的方式抽奖 .顾客在购买该商品 后,用力转动圆盘一次,根据箭头 A 指向确定获得相应价值的奖品一件 (箭头 A 指向每个区域的可能性相等,指向区域边界时重新转动). (I)按照这两种方案各进行一次抽奖,分别求出顾客能中奖的概率; (II)设按照方案一抽奖顾客能获得的奖品的价值为 X 元,按照方案二抽奖顾客能获得的奖 品的价值为 Y 元,分别求出 X 和 Y 的分布列和数学期望. 20.(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ?x? ? ?x ?1? , g ?x? ? 4?x ?1? , 数 列 ?an ? 是 各 项 均 不 为 0 的 等 差 数 列 , 点
2

?an ? 1, S2n?1 ?

在 函 数 f ?x ? 的 图 象 上 ; 数 列

?bn ?

满 足 b1 ? 2, bn ? 1 , 且

?bn ? bn?1 ?? g?bn ? ? f ?bn ??n ? N ? ?.
(I)求 an 并证明数列 ?bn ? 1?是等比数列; (II)若数列 ?cn ?满足 cn ?

4

n ?1

an ,证明: c1 ? c2 ? c3 ? ? ? ? ? cn <3. ? ?bn ? 1?

21.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 如图,已知 F(2,0)为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点,AB 为椭圆的通径(过焦 a b
点且垂直于长轴的弦) , 线段 OF 的垂直平分线与椭圆相交于 两点 C、D,且 ?CAD ? 90 .
o

(I)求椭圆的方程; (II)设过点 F 斜率为 k ?k ? 0? 的直线 l 与椭圆相交于两点 P、Q.若存在一定点 E(m,0) , 使得 x 轴上的任意一点(异于点 E、F)到直线 EP、EQ 的距离相等,求 m 的值. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x? ? a x ? x 2 , g ?x? ? x ln a.a >1. (I)求证函数 F ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增; (II)若函数 y ? F ?x ? ? b ?

1 ? 3 有四个零点,求 b 的取值范围; b
2

(III)若对于任意的 x1 , x2 ? ??1,1? 时,都有 F ?x2 ? ? F ?x1 ? ? e ? 2 恒成立,求 a 的取值范 围.



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