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浙江省绍兴市诸暨市店口二中2015-2016学年度八年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版



浙江省绍兴市诸暨市店口二中 2015-2016 学年度八年级数学上学期期中试 题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的. 1.下列语句是命题的是( ) A.作线段 AB 的中点 B.作线段 AB 的垂直平分线 C.等角的补角相等吗? D.对顶角不相等 2.以下是回收,绿色包装,节水,低碳四个

标志,其中是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

3.三根木棒的长分别是 3cm、4cm 和 5cm,将他们首尾相接钉成一个三角形.则这个三角形的类型 大致是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形 4.如图,在△ABC 中,D 是 BC 延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A 等于( )

A.60° B.70° C.80° D.90° 5.若 a<b,则下列各式中一定成立的是( A.a﹣1<b﹣1 )

B. > C.﹣a<﹣b D.ac<bc )

6.如图所示的不等式的解集是(

A.a>2 B.a<2 C.a≥2 D.a≤2 7.不等式 16﹣3x>1 的正整数解的个数是( A.2 B.3 C.4 D.5 )

8.如图,在△ABC 与△DEF 中,已有条件 AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添 加的一组条件是( )

1

A.∠B=∠E,BC=EF

B.BC=EF,AC=DF C.∠A=∠D,∠B=∠E D.∠A=∠D,BC=EF )

9.如图,∠ABC=∠ADC=Rt∠,E 是 AC 的中点,则(

A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.∠1 与∠2 大小关系不能确定 10.如图,在长方形 ABCD 中,E 是 CD 中点,连结 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F,连结 BD,DF, 下列结论:①△ADE≌△CEF;②∠AFD+∠BDC=∠BAF;③3DG=DF;④BD⊥DF,其中正确的是( )

A.①②③

B.①③④

C.①②④

D.①②③④

二、填空题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.请把答案填在题中横线上 11.在 Rt△ABC 中,一个锐角为 25°,则另一个锐角为 度. 12.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题: 13.△ABC 中,∠B=60°,AB=BC=2,则△ABC 的周长为 . .

14 . △ ABC 与 △ DEF 是 全 等 三 角 形 , AB=DE , BC=EF , AC=8cm , 若 △ ABC 的 周 长 为 24cm , 则 DE+EF= . 15.直角三角形两直角边长为 5 和 12,则此直角三角形斜边上的中线的长是 16.等腰三角形的两条边长分别为 3 和 7,则第三条边长为 . .

17.如果一元一次不等式组

的解集为 x>3,则 a 的取值范围是


2

18. 现用甲, 乙两种运输车将 46 吨抗旱物资运往灾区, 甲种运输车载重 5 吨, 乙种运输车载重 4 吨, 安排车辆不超过 10 辆,则甲种运输车至少应安排 辆. 19.如图,四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 E,如果△CDE 的面积为 3,△BCE 的面积为 4, △AED 的面积为 6,那么△ABE 的面积为 .

20.如图,在锐角△ABC 中,∠BAC=45°,AB=2,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 40 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 21.解下列不等式(组) ,并把解表示在数轴上: (1)解一元一次不等式 .

(2)解一元一次不等式组



22.如图所示,并按要求作图: (1)以直线 l 为对称轴,作出△ABC 的轴对称图形; (2)用直尺和圆规作出△ABC 的边 BC 上的中线.

23.如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是 AB,AC 的中点,且 CD,BE 交于 O 点.求证:BO=CO.

3

24.如图,在直角梯形 ABCD 中,∠C=90°,过 A 点作 AE⊥AB,交 CD 于 E,而且有 AE=CE.求证: BE 平分∠ABC.

25.随着人们生活质量的提高,净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭,某电器公司销售每台进价分 别为 2000 元、1700 元的 A、B 两种型号的净水器,下表是近两周的销售情况: 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种 型号 第一周 3台 5台 18000 元 第二周 4台 10 台 31000 元 (1)求 A,B 两种型号的净水器的销售单价; (2)若电器公司准备用不多于 54000 元的金额在采购这两种型号的净水器共 30 台,求 A 种型号的 净水器最多能采购多少台? (3)在(2)的条件下,公司销售完这 30 台净水器能否实现利润为 12800 元的目标?若能,请给出 相应的采购方案;若不能,请说明理由. 26.如图 1,已知矩形 ABED,点 C 是边 DE 的中点,且 AB=2AD. (1)判断△ABC 的形状,并说明理由; (2)保持图 1 中△ABC 固定不变,绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中(当垂线段 AD、BE 在直 线 MN 的同侧) ,试探究线段 AD、BE、DE 长度之间有什么关系?并给予证明; (3) 保持图 2 中△ABC 固定不变, 继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置 (当垂线段 AD、 BE 在 直 线 MN 的 异 侧 ) . 试 探 究 线 段 AD 、 BE 、 DE 长 度 之 间 有 什 么 关 系 ? 并 给 予 证

4

明.

5

浙江省绍兴市诸暨市店口二中 2015~2016 学年度八年级上学期期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的. 1.下列语句是命题的是( ) A.作线段 AB 的中点 B.作线段 AB 的垂直平分线 C.等角的补角相等吗? D.对顶角不相等 【考点】命题与定理. 【分析】根据命题的定义分别进行判断即可. 【解答】解:A、作线段 AB 的中点,它是描述性语言,不是命题,所以 A 选项错误; B、作线段 AB 的垂直平分线,它是描述性语言,不是命题,所以 B 选项错误; C、等角的补角相等吗?,它是疑问句,不是命题,所以 C 选项错误; D、“对顶角相等”是命题,所以 D 选项正确. 故选 D. 【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两 部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果?那么?” 形式. 有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理. 2.以下是回收,绿色包装,节水,低碳四个标志,其中是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误; B、不是轴对称图形,故本选项错误; C、是轴对称图形,故本选项正确; D、不是轴对称图形,故本选项错误. 故选 C. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重 合. 3.三根木棒的长分别是 3cm、4cm 和 5cm,将他们首尾相接钉成一个三角形.则这个三角形的类型 大致是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形 【考点】勾股定理的逆定理. 2 2 2 【分析】利用勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a +b =c ,那么这个三角形就是 直角三角形进行判断. 2 2 2 【解答】解:∵3 +4 =5 , ∴能够成直角三角形, 故选:A.

6

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长, 只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可. 4.如图,在△ABC 中,D 是 BC 延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A 等于( )

A.60° B.70° C.80° D.90° 【考点】三角形的外角性质. 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,知∠ACD=∠A+∠B,从而求出∠A 的度数. 【解答】解:∵∠ACD=∠A+∠B, ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°. 故选:C. 【点评】本题主要考查三角形外角的性质,解答的关键是沟通外角和内角的关系. 5.若 a<b,则下列各式中一定成立的是( )

A.a﹣1<b﹣1 B. > C.﹣a<﹣b D.ac<bc 【考点】不等式的性质. 【分析】根据不等式的性质分析判断. 【解答】解:根据不等式的性质可得:不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,不等号的方向不 变. A、a﹣1<b﹣1,故 A 选项是正确的; B、a>b,不成立,故 B 选项是错误的; C、a>﹣b,不一定成立,故 C 选项是错误的; D、c 的值不确定,故 D 选项是错误的. 故选 A. 【点评】主要考查不等式的性质: (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,不等号的方向不变; (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 6.如图所示的不等式的解集是( )

A.a>2 B.a<2 C.a≥2 D.a≤2 【考点】在数轴上表示不等式的解集. 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可. 【解答】解:∵数轴上 2 处是实心原点,且折线向左, ∴不等式的解集是 a≤2. 故选 D.

7

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集,熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的 关键. 7.不等式 16﹣3x>1 的正整数解的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】一元一次不等式的整数解. 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可. 【解答】解:不等式的解集是 x<5, 故不等式 16﹣3x>1 的正整数解为 1,2,3,4,共 4 个. 故选 C. 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解,正确解不等式,求出解集是解答本题的关键.解不 等式应根据不等式的基本性质. 8.如图,在△ABC 与△DEF 中,已有条件 AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添 加的一组条件是( )

A.∠B=∠E,BC=EF B.BC=EF,AC=DF C.∠A=∠D,∠B=∠E D.∠A=∠D,BC=EF 【考点】全等三角形的判定. 【分析】三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等,而 SSA 是不能判定三角 形全等的. 【解答】解:A、添加∠B=∠E,BC=EF 可用 SAS 判定两个三角形全等,故 A 选项正确; B、添加 BC=EF,AC=DF 可用 SSS 判定两个三角形全等,故 B 选项正确; C、添加∠A=∠D,∠B=∠E 可用 ASA 判定两个三角形全等,故 C 选项正确; D、添加∠A=∠D,BC=EF 后是 SSA,无法证明三角形全等,故 D 选项错误. 故选:D.

【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即 AAS、ASA、 SAS、SSS,直角三角形可用 HL 定理,但 AAA、SSA,无法证明三角形全等,本题是一道较为简单的 题目. 9.如图,∠ABC=∠ADC=Rt∠,E 是 AC 的中点,则( )

8

A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.∠1 与∠2 大小关系不能确定 【考点】直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质. 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可以证明 DE=BE,再根据等腰三角形的性 质即可解答. 【解答】解:∵∠ABC=∠ADC=90°,E 是 AC 的中点, ∴DE= AC,BE= AC, ∴DE=BE, ∴∠1=∠2. 故选 B. 【点评】此题综合运用了直角三角形的性质和等腰三角形的性质. 10.如图,在长方形 ABCD 中,E 是 CD 中点,连结 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F,连结 BD,DF, 下列结论:①△ADE≌△CEF;②∠AFD+∠BDC=∠BAF;③3DG=DF;④BD⊥DF,其中正确的是( )

A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 【考点】全等三角形的判定与性质;矩形的性质. 【分析】 根据矩形的性质得到 AD=BC, AD∥BC, 由平行线的性质得到∠DAE=∠CFE, 证得△ADE≌△CEF; 故①正确;由全等三角形的性质得到 AD=CF,于是得到 BC=CF,根据线段的垂直平分线的性质得到 BD=DF,由等腰三角形的性质得到∠BDC=∠FDC,由三角形的外角的性质得到②正确;根据相似三角 形的性质得到 , 求得 DG= BD= DF; 得到 DF=3DG, 故③正确; 由 BC≠CD, 得到∠BDC≠45°, 即可得到∠BDF≠90°,故④错误. 【解答】解:在长方形 ABCD 中, ∵AD=BC,AD∥BC, ∴∠DAE=∠CFE, ∵E 是 CD 中点, ∴DE=CE, 在△ADE 与△FCE 中,


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∴△ADE≌△CEF;故①正确; ∴AD=CF, ∴BC=CF, ∵DC⊥BF, ∴BD=DF, ∴∠BDC=∠FDC, ∵AB∥CD, ∴∠BAF=∠CEF=∠CDF+∠AFD, ∴∠AFD+∠BDC=∠BAF;故②正确; ∵AB∥CD, ∴△ABG∽△DEG, ∴ ,

∴DG= BD= DF; ∴DF=3DG,故③正确; ∵BC≠CD, ∴∠BDC≠45°, ∴∠BDF≠90°,故④错误. 故选 A.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,矩形的性质,平行线的 性质,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键. 二、填空题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.请把答案填在题中横线上 11.在 Rt△ABC 中,一个锐角为 25°,则另一个锐角为 65 度. 【考点】三角形内角和定理. 【分析】根据在直角三角形中两个锐角互余. 【解答】解:另一个锐角=90°﹣25°=65°. 【点评】本题考查了直角三角形的性质:两个锐角互余. 12.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题: 两个角相等三角形是等腰三角形 . 【考点】命题与定理. 【专题】应用题. 【分析】先找到原命题的题设和结论,再将题设和结论互换,即可而得到原命题的逆命题. 【解答】 解: ∵原命题的题设是: “一个三角形是等腰三角形”, 结论是“这个三角形两底角相等”, ∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”, 故答案为:两个角相等三角形是等腰三角形. 【点评】本题考查了逆命题的概念,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命 题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原

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命题的逆命题,难度适中. 13.△ABC 中,∠B=60°,AB=BC=2,则△ABC 的周长为 6 . 【考点】等边三角形的判定与性质. 【分析】根据等边三角形的判定定理得到△ABC 是等边三角形,根据等边三角形的性质计算即可. 【解答】解:∵∠B=60°,AB=BC, ∴△ABC 是等边三角形, ∴△ABC 的周长+2+2+2=6, 故答案为:6. 【点评】本题考查的是等边三角形的判定和性质,掌握有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 是解题的关键. 14. △ABC 与△DEF 是全等三角形, AB=DE, BC=EF, AC=8cm, 若△ABC 的周长为 24cm, 则 DE+EF= 16cm . 【考点】全等三角形的性质. 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的周长公式计算即可. 【解答】解:∵△ABC 的周长为 24cm,AC=8cm, ∴AB+BC=16cm,又 AB=DE,BC=EF, ∴DE+EF=16cm, 故答案为:16cm. 【点评】本题考查的是全等三角形的性质,掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.

15.直角三角形两直角边长为 5 和 12,则此直角三角形斜边上的中线的长是 . 【考点】直角三角形斜边上的中线;勾股定理. 【专题】计算题. 【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半即可求解. 【解答】解:∵直角三角形两直角边长为 5 和 12, ∴斜边=13, ∴此直角三角形斜边上的中线的长= .

故答案为: . 【点评】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用. 16.等腰三角形的两条边长分别为 3 和 7,则第三条边长为 7 . 【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系. 【分析】分两种情况讨论:当 3 是腰时或当 7 是腰时.根据三角形的三边关系,知 3,3,7 不能组 成三角形,应舍去. 【解答】解:当 3 是腰时,则 3+3<7,不能组成三角形,应舍去; 当 7 是腰时,则第三条边长为 7. 故答案为:7. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要 想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也

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是解题的关键.此类题不要漏掉一种情况,同时注意看是否符合三角形的三边关系.

17.如果一元一次不等式组

的解集为 x>3,则 a 的取值范围是 a≤3 .

【考点】解一元一次不等式组. 【专题】计算题. 【分析】由题意不等式组中的不等式分别解出来为 x>3,x>a,已知不等式解集为 x>3,再根据不 等式组解集的口诀:同大取大,得到 a 的范围. 【解答】解:由题意 x>3,x>a,

∵元一次不等式组

的解集为 x>3,

∴a≤3. 【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法,将不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小, 大小小大中间找,大大小小找不到(无解)逆用,已知不等式解集反过来求 a 的范围. 18. 现用甲, 乙两种运输车将 46 吨抗旱物资运往灾区, 甲种运输车载重 5 吨, 乙种运输车载重 4 吨, 安排车辆不超过 10 辆,则甲种运输车至少应安排 6 辆. 【考点】一元一次不等式的应用. 【分析】现用甲,乙两种运输车将 46 吨抗旱物资运往灾区,此题的等量关系是:甲种车运输物资数 +乙种车运输物资数≥46 吨.设甲种运输车至少应安排 x 辆,根据不等关系就可以列出不等式,求 出 x 的值. 【解答】解:设甲种运输车安排了 x 辆, x+(46﹣5x)÷4≤10 解,得 x≥6 则甲种运输车至少应安排 6 辆. 【点评】解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,理解汽车的载重量与货物的数量之间的关 系是解决本题的关键. 19.如图,四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 E,如果△CDE 的面积为 3,△BCE 的面积为 4, △AED 的面积为 6,那么△ABE 的面积为 8 .

【考点】三角形的面积. 【分析】根据三角形的高相等,面积比等于底的比,可得 CE:AE= ,进而可求出答案. 【解答】解:∵S△CDE=3,S△ADE=6, ∴CE:AE=3:6= (高相等,面积比等于底的比)

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∴S△BCE:S△ABE=CE:AE= , ∵S△BCE=4, ∴S△ABE=8. 故答案为:8. 【点评】本题考查了三角形的面积,弄清题中各个三角形之间面积的关系是解决问题的关键. 20.如图,在锐角△ABC 中,∠BAC=45°,AB=2,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是 .

【考点】轴对称-最短路线问题. 【分析】 作 BH⊥AC, 垂足为 H, 交 AD 于 M′点, 过 M′点作 M′N′⊥AB, 垂足为 N′, 则 BM′+M′N′ 为所求的最小值,再根据 AD 是∠BAC 的平分线可知 M′H=M′N′,再由锐角三角函数的定义即可得 出结论. 【解答】解:如图,作 BH⊥AC,垂足为 H,交 AD 于 M′点,过 M′点作 M′N′⊥AB,垂足为 N′, 则 BM′+M′N′为所求的最小值. ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴M′H=M′N′, ∴BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离(垂线段最短) , ∵AB=2,∠BAC=45°, ∴BH=AB?sin45°=2× = , .

∵BM+MN 的最小值是 BM′+M′N′=BM′+M′H=BH= 故答案为: .

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考, 通过角平分线性质,垂线段最短,确定线段和的最小值. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 40 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 21.解下列不等式(组) ,并把解表示在数轴上:

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(1)解一元一次不等式



(2)解一元一次不等式组



【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式. 【分析】 (1)去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成 1 即可; (2)先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,最后在数轴上表示出来即可. 【解答】解: (1)去分母得:2(2x+1)<3x+6 4x+2<3x+6 4x﹣3x<6﹣2 x<4, 在数轴上表示为: ;

(2) ∵解不等式①得:x≥ 解不等式②得:x> , , ,

∴不等式组的解集为 x>

在数轴上表示不等式组的解集为: . 【点评】本题考查了解一元一次不等式(组) ,在数轴上表示不等式(组)的解集的应用,能求出不 等式(或组)的解集是解此题的关键. 22.如图所示,并按要求作图: (1)以直线 l 为对称轴,作出△ABC 的轴对称图形; (2)用直尺和圆规作出△ABC 的边 BC 上的中线.

【考点】作图-轴对称变换. 【分析】 (1)首先作出 A、B、C 三点关于 l 的对称点,再连接即可; (2)首先作出 BC 的垂直平分线,确定 BC 的中点 D 位置,再连接 AD 即可. 【解答】解: (1)如图所示:△A′B′C′即为所求;

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; (2)AD 就是△ABC 的边 BC 上的中线. 【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换,关键是正确确定对称点位置. 23.如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是 AB,AC 的中点,且 CD,BE 交于 O 点.求证:BO=CO.

【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】根据 SAS 证明△BDC 与△CEB 全等,再证明△DBO 与△ECO 全等即可. 【解答】证明:∵AB=AC,D,E 分别是 AB,AC 的中点, ∴∠DBC=∠ECB,DB=CE, 在△BDC 与△CEB 中,

, ∴△BDC≌△CEB(SAS) , ∴∠DCB=∠EBC, ∴∠DBO=∠ECO, 在△DBO 与△ECO 中,

, ∴△DBO≌△ECO(AAS) , ∴BO=CO. 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,求出∠DCB=∠EBC 是解 题的关键. 24.如图,在直角梯形 ABCD 中,∠C=90°,过 A 点作 AE⊥AB,交 CD 于 E,而且有 AE=CE.求证: BE 平分∠ABC.

15

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质. 【专题】证明题. 【分析】根据 HL 证明△AEB 与△EBC 全等,再利用全等三角形的性质证明即可. 【解答】证明:∵∠C=90°,AE⊥AB, ∴在 Rt△AEB 与 Rt△EBC 中,

, ∴Rt△AEB≌Rt△EBC(HL) , ∴∠ABE=∠EBC, ∴BE 平分∠ABC. 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,根据 HL 证明△AEB 与△EBC 全等是解决问题的 关键. 25.随着人们生活质量的提高,净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭,某电器公司销售每台进价分 别为 2000 元、1700 元的 A、B 两种型号的净水器,下表是近两周的销售情况: 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种 型号 第一周 3台 5台 18000 元 第二周 4台 10 台 31000 元 (1)求 A,B 两种型号的净水器的销售单价; (2)若电器公司准备用不多于 54000 元的金额在采购这两种型号的净水器共 30 台,求 A 种型号的 净水器最多能采购多少台? (3)在(2)的条件下,公司销售完这 30 台净水器能否实现利润为 12800 元的目标?若能,请给出 相应的采购方案;若不能,请说明理由. 【考点】一元一次不等式的应用;一元一次方程的应用;二元一次方程组的应用. 【分析】 (1)设 A、B 两种型号净水器的销售单价分别为 x 元、y 元,根据 3 台 A 型号 5 台 B 型号的 净水器收入 18000 元,4 台 A 型号 10 台 B 型号的净水器收入 31000 元,列方程组求解; (2)设采购 A 种型号净水器 a 台,则采购 B 种型号净水器(30﹣a)台,根据金额不多余 54000 元, 列不等式求解; (3)设利润为 12800 元,列方程求出 a 的值为 8,符合(2)的条件,可知能实现目标. 【解答】解: (1)设 A、B 两种净水器的销售单价分别为 x 元、y 元,

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依题意得:



解得:



答:A、B 两种净水器的销售单价分别为 2500 元、2100 元. (2)设采购 A 种型号净水器 a 台,则采购 B 种净水器(30﹣a)台. 依题意得:2000a+1700(30﹣a)≤54000, 解得:a≤10. 故超市最多采购 A 种型号净水器 10 台时,采购金额不多于 54000 元. (3)依题意得: (2500﹣2000)a+(2100﹣1700) (30﹣a)=12800, 解得:a=8, 故采购 A 种型号净水器 8 台,采购 B 种型号净水器 22 台,公司能实现利润 12800 元的目标. 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出 未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解. 26.如图 1,已知矩形 ABED,点 C 是边 DE 的中点,且 AB=2AD. (1)判断△ABC 的形状,并说明理由; (2)保持图 1 中△ABC 固定不变,绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中(当垂线段 AD、BE 在直 线 MN 的同侧) ,试探究线段 AD、BE、DE 长度之间有什么关系?并给予证明; (3) 保持图 2 中△ABC 固定不变, 继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置 (当垂线段 AD、 BE 在 直 线 MN 的 异 侧 ) . 试 探 究 线 段 AD 、 BE 、 DE 长 度 之 间 有 什 么 关 系 ? 并 给 予 证

明. 【考点】等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质;矩形的性质. 【专题】证明题;几何综合题;压轴题;探究型. 【分析】 (1)根据矩形的性质及勾股定理,即可判断△ABC 的形状; (2) (3)通过证明△ACD≌△CBE,根据全等三角形的性质得出即可得线段 AD、BE、DE 长度之间的 关系. 【解答】解: (1)△ABC 是等腰直角三角形.理由如下: 在△ADC 与△BEC 中,AD=BE,∠D=∠E=90°,DC=EC, ∴△ADC≌△BEC(SAS) , ∴AC=BC,∠DCA=∠ECB. ∵AB=2AD=DE,DC=CE, ∴AD=DC, ∴∠DCA=45°, ∴∠ECB=45°, ∴∠ACB=180°﹣∠DCA﹣∠ECB=90°.

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∴△ABC 是等腰直角三角形. (2)DE=AD+BE.理由如下: 在△ACD 与△CBE 中,∠ACD=∠CBE=90°﹣∠BCE,∠ADC=∠BEC=90°,AC=BC, ∴△ACD≌△CBE(AAS) , ∴AD=CE,DC=EB. ∴DC+CE=BE+AD, 即 DE=AD+BE. (3)DE=BE﹣AD.理由如下: 在△ACD 与△CBE 中,∠ACD=∠CBE=90°﹣∠BCE,∠ADC=∠BEC=90°,AC=BC, ∴△ACD≌△CBE(AAS) , ∴AD=CE,DC=EB. ∴DC﹣CE=BE﹣AD, 即 DE=BE﹣AD. 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识,综合性强,难度较 大.

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