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【天水一中二模】甘肃省天水一中2013届高三下学期五月第二次检测(二模)数学(理)试题


2013 高考五月第二次考试数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.

m ) ? 1 ? ni ,其中 m, n ? R,i 为虚数单位,则 m ? ni ? ( 1? i A. 1 ? 2i B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 2 ? i 2 2. 设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是( )
1.已知 A.1 B.0 C.-1 D.1 或-1 3. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨)的几组对应数据:

x y

3 2.5

4

5 4

6 4.5

t

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 ? ? 0.7 x ? 0.35 ,那么表中 t 的值为 y A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5 4. 有下列说法: “ p ? q ”为真是“ p ? q ”为真的充分不必要条件; “ p ? q ”为 (1) (2) 假是“ p ? q ”为真的充分不必要条件; “ p ? q ”为真是“ ?p ”为假的必要不充分条 (3) 件; “ ?p ”为真是“ p ? q ”为假的必要不充分条件。其中正确的个数为( (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
开始



5.在等差数列 {an } 中, a2 ? a6 ? a16 为一个确定的常数, S n 为 其前 n 项和,则下列各个和中也为确定的常数的是( A. S17 B. S10 C. S8 D. S15 ) D. 3 )

s= 0 ,n= 1 n ≤ 2 0 1 3?
是 否

6.阅读右面程序框图,则输出结果 s 的值为(

1 A. 2

3 B. 2

C. ? 3

s = s + sin n = n +1

n?

输出

s

3
结束

7. 如图,等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ ADE 与△ BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重 合于点 P,则三棱锥 P—DCE 的外接球的体积为

4 3? A. 27
8.若 ( x ?
2

6? B. 2

C.

6 ? 8

D.

6? 24

1 n ) 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 x
C.-45 D.45 )

3 , 14

则展开式中常数项是( ) A. - B. 10 10
3

9.过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x -x 的切线的条数最多是(

A.3

B.2

C.1

D.0

0 10 . 已 知 点 G 是 ?ABC 的 重 心 , AG ? ? AB ? ? AC(?、? ? R)若 ?A ? 120 , ,

AB ? AC ? ?2 ,则 AG 的最小值是(
A.



3 3

B.

2 2

C.

2 3

D.

3 4

11.已知两条直线 l1 :y=m 和 l 2 : y=

8 (m>0) l1 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至 , 2m ? 1

右相交于点 A,B , l 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时, A. 16 2 B. 8 2

b 的最小值为( a

) D. 4 4

C. 8 4

12.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格, 那么人从格外跳到第 8 个格子的方法种数为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8

A.8 种

D.34 种 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 若圆 x ________. 14. 三视图如右的几何体的体积为 . 4 7 4 15.已知双曲线过点(4, ),渐近线方程为 y=± x,圆 C 经 3 3 过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上, 则圆心到该 双曲线的中心的距离是 . 16.已知在区间(a,b)上,f(x)>0,f′(x)>0,对 x 轴上的任意两点(x1,0),(x2,0),(a<x1<x2 x1+x2 f(x1)+f(x2) f(a)+f(b) <b)都有 f( )> .若 S1=?bf(x)dx,S2= (b-a),S3=f(a)(b-a), 2 2 2 ?
a

B.13 种

C.21 种

2

? y 2 ? 4, 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 y ? 6 ? 0

相交于 A, B , 则公共弦 AB 的长为

则 S1、S2、S3 的大小关系为 . 三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)设 ? ? R , f ( x) ? cos x(? sin x ? cos x) ? cos (
2

?
2

? x) 满足

? ?? f ? ? ? ? f ? 0 ? . (1) 求函数 f (x) 的单调递增区间; ? 3?

(2)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c 且

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f (x) 在 ? 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

?0, B ?上的值域.
18、 (本题满分 12 分)因金融危机,某公司的出口额下降,为此有关专家提出两种促进出口 的方案,每种方案都需要分两年实施.若实施方案一,预计第一年可以使出口额恢复到危机 前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别为 0.3、0.3、0.4;第二年可以使出口额为 第一年的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案二,预计第一年可以使 出口额恢复到危机前的 1.2 倍、l.0 倍、0.8 倍的概率分别为 0.2、0.3、0.5;第二 年可以使出口额为第一年的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案第 一年与第二年相互独立.令 ? i ( i =1,2)表示方案 i 实施两年后出口额达到危机前的倍数。 (Ⅰ)写出 ?1 、 ? 2 的分布列; (Ⅱ)实施哪种方案,两年后出口额超过危机前出口额的概率更大? (Ⅲ)不管哪种方案,如果实施两年后出口额达不到、恰好达到、超过危机前出口额, 预计利润分别为 10 万元、15 万元、20 万元,问实施哪种方案的平均利润更大. 19. (本题满分 12 分)如图,在多面体 ABCDE 中, DB ? 平面ABC , AE // DB , 且?ABC 是边长为 2 的等边三角形, AE ? 1 ,CD 与平面 ABDE 所成角的 正弦值为

6 . 4

(1)在线段 DC 上是否存在一点 F,使得 EF ? 面DBC ,若存 在,求线段 DF 的长度,若不存在,说明理由; (2)求二面角 D ? EC ? B 的平面角的余弦值. 20. (本小题满分 12 分)已知□ABCD,A(-2,0) ,B(2,0) ,且∣AD∣=2. ⑴求□ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程; ⑵过 A 作直线交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点,且∣MN∣= 到 Y 轴的距离为 第 19 题题

8 2 ,MN 的中点 3

4 ,求椭圆的方程. 3
2

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 。 ⑴当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

⑵求函数 f ( x) 的极值点; ⑶证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( ? 1) ?

1 n

1 1 ? 成立. n 2 n3

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做 答是用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框 涂黑.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AD 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的切线,M, N 是圆上两点,直线 MN 交 AD 的延长线于点 C,交⊙O 的切线于 B,BM=MN=NC=1,求 AB 的长和⊙O 的半径. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ? 点 A(0,? 3 ) , F1 , F2 是圆锥曲线 C 的左,右焦点. (Ⅰ) 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求经过点 F1 且平行于直线 AF2 的直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)在(I)的条件下,设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E, F 两点,求弦 EF 的长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 ?x ? R , f ( x) ? t ?
2

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,定 ? y ? 3 sin ?

11 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

2013 高考五月第二次考试数学(理科)答案
1——12:BCABD DCDAB CC 13. 2 3 14. 1 15.

16 3

16. S1>S2>S3

17.解(Ⅰ)(1) f ( x) ? ? sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x

f (? ) ? f (0) ? ? ? 2 3 3
………6 分 ? 5? ? f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) 的单调减区间为 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) 6 3 6 (2)?

?

2

?

2ac cos B c a2 ? c2 ? b2 c ? ,由余弦定理可变形为 ? ,由正弦定理为 2 2 2 2a ? c a ?b ?c 2ab cos C 2a ? c 1 ? ?B? 2 3

cos B ?

x ? (0, ] ? ? ? 2 x ? ? ? f ( x) ? (?1,2] 3 6 6 2

?

?

?

?

………12 分

18. (Ⅰ) ?1 的所有取值为 0.8,0.9,1.0,1.125,1.25, 其分布列为:

?1
P

0.8

0.9

1.0

1.125

1.25

0.2

0.15

0.35

0.15

0.15

????????2 分

? 2 的所有取值为 0.8,0.96,1.0,1,2,1.44,其分布列为 ?2
P
0.8 0.96 1.0 1.2 1.44

0.3

0.2

0.18

0.24

0.08

????????4 分 (Ⅱ)设实施方案一、方案二两年后超过危机前出口额的概率为 P , P2 ,则 1

P ? 0.15 ? 0.15 ? 0.3, P2 ? 0.24 ? 0.08 ? 0.32 1
∴实施方案二两年后超过危机前出口额的概率更大.????????6 分 (Ⅲ)方案一、方案二的预计利润为?1 、? 2 ,则

?1
P

10 0.35

15 0.35

20 0.3 ????????8 分

?2
P

10 0. 5

15 0.18

20 0.32 ????????10 分

? E?1 ? 14.75

E?2 ? 14.1

∴实施方案一的平均利润更大。????????12 分 19.解: (Ⅰ)取 AB 的中点 G,连结 CG,则 CG ? AB , 又 DB ? 平面ABC , 可 得 D B ? , E C G所 以 CG ? 面A B D , 所 以

s i ?CDG ? n

CG 6 ? CD 4



CG=

3

,



CD=

2 2

DB ? CD 2 ? CB 2 ? 2 ?????????????????2 分

1 1 BD , AE // BD ,所以 AEFH 为平行四 ? 2 ? 2 边形,得 EF // AH ,????????????4 分
取 CD 的中点为 F,BC 的中点为 H,因为 FH //

AH ? BC ? ? ? AH ? 平面 BCD AH ? BD ?

∴ EF ? 面DBC

存在 F 为 CD 中点,DF= 2 时,使得 EF ? 面DBC ??6 分 (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则 C (1 , 3 , 0) 、 B(0 , 0 , 0) 、

??? ? E(2 , 0 ,1) 、 D ? 0 , 0 , 2 ? ,从而 BE ? (2 , 0 ,1) ,
???? ??? ? EC ? (?1, 3 , ? 1) , DE ? (2, 0, ?1) 。 ?? ? 设 n1 ? ( x , y , z ) 为平面 BCE 的法向量,

?? ??? ? ? ? n1 ? BE ? 2 x ? z ? 0 ? ? 则 ? ?? ??? ? ? ? n1 ? EC ? ? x ? 3 y ? z ? 0 ?

?? ? 3 可以取 n1 ? (1, ? , ? 2) ????????8 分 3 ?? ? 设 n2 ? ( x , y , z ) 为平面 CDE 的法向量,
?? ???? ? ? n1 ? DE ? 2 x ? z ? 0 ? ? 则 ? ?? ??? ? ? ? n1 ? EC ? ? x ? 3 y ? z ? 0 ?
?? ? 取 n2 ? (1, 3,2 )
??10 分

因此, cos ? n1 ? n2 ??

?? ?? ?

?4 6 ,????11 分 ?? 4 8 6 3
6 ?????12 分 4

故二面角 D ? EC ? B 的余弦值为 20.解:⑴设 E(x,y) ,D(x0,y0)
∵ABCD 是平行四边形,∴

AB ? AD ? 2 AE ,

∴(4,0)+(x0+2,y0)=2(x+2,y)∴(x0+6,y0)=(2x+4,2y) ∴?

? x0 ? 6 ? 2 x ? 4 ? x0 ? 2 x ? 2 ?? y0 ? 2 y ? ? y0 ? 2 y
AD ? 2,? ( x0 ? 2) 2 ? y 0 ? 4,? (2 x ? 2 ? 2) 2 ? (2 y ) 2 ? 4
2



即: x

2

? y2 ? 1
2

∴□ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程为 x

? y2 ? 1

⑵设过 A 的直线方程为

y ? k ( x ? 2)

以 A、B 为焦点的椭圆的焦距 2C=4,则 C=2

设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2





x2 y2 ? 2 ? 1 …………………(*) a2 a ? 4



y ? k ( x ? 2) 代入(*)得

x 2 k 2 ( x ? 2) 2 ? ?1 a2 a2 ? 4



(a 2 ? a 2 k 2 ? 4) x 2 ? 4a 2 k 2 x ? 4a 2 k 2 ? a 4 ? 4a 2 ? 0

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)则

x1 ? x 2 ?

4a 2 k 2 4 a 2 k 2 ? a 4 ? 4a 2 , x1 ? x 2 ? 4 ? a2 ? a2k 2 a2 ? a2k 2 ? 4
4 ,且 MN 过点 A,而点 A 在 Y 轴的左侧,∴MN 中点也在 Y 轴的左侧。 3

∵MN 中点到 Y 轴的距离为



2a 2 k 2 4 ?8 8 ? a2 ? ,? a 2 k 2 ? 2a 2 ? 8 ,∴ x1 ? x 2 ? , x1 ? x 2 ? 3 3 a2 ? a2k 2 ? 4 3

8 4 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ( ) 2 ? (8 ? a 2 ) 3 3 8 8 2 ∵ MN ? ∴ 1 ? k x1 ? x 2 ? 2 2 3 3 64 32 4 2 128 2 2 2 2 2 ∴ (1 ? k )( 即 12a ? 12a k ? 32k ? 160 ? ? a )? 9 3 3 9
∴ ( x1 ∴ 12 a
2

? 12(2a 2 ? 8) ? 32 k 2 ? 160

∴k

2

?

9a 2 ? 64 8

9a 2 ? 64 ? 2a 2 ? 8 ∴a ? 8
2



9a 4 ? 80 a 2 ? 64 ? 0
,∴ a
2

(a 2 ? 8)(9a 2 ? 8) ? 0
∴b
2

,∵ a

?c?2

?8

? a2 ? c2 ? 8 ? 4 ? 4

∴所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 8 4

21.

⑵①由⑴得当 b ? ②b ?

1 时函数 f ( x) 无极值点?????????(4 分) 2
1 ? 0 有两个相同的解 x

2( x ? )2 1 2 时, f ?( x) ? 2 x ?1

??

1 2

1 1 ? x ? (?1, ? ) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (? , ??) 时, f ?( x) ? 0 2 2 1 ? b ? 函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上无极值点?????????(5 分) 2 1 ③当 b ? 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? ?1 ? 1 ? 2b , x2 ? ?1 ? 1 ? 2b 2 2 2

?b ? 0 时 x1 ? ?1 , x2 ? ?1,即 x1 ? (?1, ??), x2 ? (?1, ??)

?b ? 0 时, f ?( x) 、 f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(?1, x2 )
?


x2

( x2 , ??)

0
极小值

?


由此表可知 b ? 0 时, f ( x) 有唯一极小值点 x2 ? 当0 ? b ? 表:

?1 ? 1 ? 2b ;??????(7 分) 2

1 时, x1 ? ?1 ,? x1 , x2 ? (?1, ??) ,此时, f ?( x) 、 f ( x) 随 x 的变化情况如下 2

x
f ?( x)

(?1, x1 )

x1

( x1 , x2 )
?

x2

( x2 , ??)

?

0

0

?

f ( x)



极大值



极小值



由此表可知: 0 ? b ? 1 时, f ( x) 有一个极大值点 x1 ? ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 2 2
x2 ? ?1 ? 1 ? 2b ;?????(9 分) 2
2

1 综上所述: b ? 0 时, f ( x) 有唯一极小值点 x ? ?1 ? 1 ? 2b ; 0 ? b ? 时, f ( x) 有一个极 2
?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 ?1 ? 1 ? 2b ; b ? 1 时, f ( x) 无极值 x? 2 2 2 点。????(10 分)
大值点 x ?

22.(本小题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解析: ∵AD 是⊙O 的直径, 是⊙O 的切线, AB 直线 BMN 是⊙O 的割线, ∴∠BAC =90° ,AB2=BM· BN. ∵BM=MN=NC=1,∴2BM2=AB2,∴AB= 2.???4 分 ∵AB2+AC2=BC2,∴2+AC2=9,AC= 7. 2 ∵CN· CM=CD· CA,∴2=CD· 7,∴CD= 7. 7 1 5 ∴⊙O 的半径为 (CA-CD)= 7.???10 分 2 14 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解: (1)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? ? y ? 3 sin ?

x2 y2 ? ? 1 ----------------------------------------------2 分 所以普通方程为 C : 4 3
A(0,? 3 ), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3, l : y ? 3 ( x ? 1)

? ?直线 l 极坐标方程为: ? sin ? ? 3? cos? ? 3 ? 2 ? sin(? ? ) ? 3 ---5 分 3
x2 y2 ? ? ?1 ? 5x 2 ? 8x ? 0 , (2) ? 4 3 ? y ? 3 ( x ? 1)
EF ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 16 ---------------------------------------------------10 分 5

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

1 ? ? ? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 ? 解: (1) f ( x) ? ?3 x ? 1,? ? x ? 2 ,----------------------------------------------------------2 分 2 ? x ? 3, x ? 2 ? ? ? 1 当 x ? ? ,? x ? 3 ? 2, x ? ?5,? x ? ?5 2 1 当 ? ? x ? 2,3x ? 1 ? 2, x ? 1,?1 ? x ? 2 2
当 x ? 2, x ? 3 ? 2, x ? ?1,? x ? 2 综上所述 (2)易得 f ( x) min ? ? 则只需 f ( x) min 综上所述

?x | x ? 1或x ? ?5?

.-----------------5 分

5 11 ,若 ?x ? R , f ( x) ? t 2 ? t 恒成立, 2 2 5 11 1 ? ? ? t 2 ? t ? 2t 2 ? 11t ? 5 ? 0 ? ? t ? 5 , 2 2 2

1 ? t ? 5 .------------------------------10 分 2


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