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2016运城职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)



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2016 运城职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符
合题目要求的,请把正确的答案填在题后的括号内。

1.复数 Z 满足 ( z ? i) ? i ? 1 ? i ,则复数 Z 的模为( A

.2 B.1 C. 2



D. 5 ) D.

2.设 a, b ? R ,则 a ? b 的充分不必要条件是( A. a 3 ? b3 B. log2 (a ? b) ? 0 C. a 2 ? b 2

1 1 ? a b

3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( ) A. 16? /3 C. 4? /3 4.如果 f ( x) ? ? A.[0,1] B. 8? /3 D. ? /3

?1, | x |? 1 1 ,那么不等式 f ( 2 x ? 1) ? 的解集是( ) 2 ?0, | x |? 1
B.[-1,0] C.[-1,1] D.[1/4, 3/4]

5.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左焦点,则 p ? ( ) A. 2 /2 B. 2 C.2 2 D.4 2

6.将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成 27 各同样大小的正方体,从这些小正方体中 任取 1 个,则恰有两面涂有颜色的概率是( ) A.4/27 B.2/9 C.1/3 D.4/9

7.在数列 {an } 中,对 ?n ? N * ,都有 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3n ? 1,则( ) A. 9n ? 1 8.已知 sin( x ? A.120/169 B.( 9n ? 1 )/2 C.( 9n ? 1 )/4 D.( 9n ? 1 )/8

?
4

)??

5 ,则 sin 2 x 的值等于( ) 13
C.-120/169 D.-119/169

B.119/169

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9.设函数 y ? f ( x)(x ? R) 的图像关于直线 x ? 0 及直线 x ? 1 对称,且 x ? [0,1] 时,

f ( x) ? x 2 ,则 f (?3 / 2) ? ( )
A.1/2 B.1/4 C.3/4 D.9/4

10.已知: a , b 均为正数, A. (??,9 / 2] B. (0,1]

1 4 ? ? 2 ,则使 a ? b ? c 恒成立 c 的取值范围是( ) a b
C. (??,9] D. (??,8]

11 已知直线 x ? y ? a 与圆 x2 ? y 2 ? 4 ,交与不同的两点 A、B,O 是坐标原点,若

? ? ? | O A ? O B |?| AB | ,则 a 的取值范围是( )
B. (2,2 2 ? 2]

A. [2,2 2 ]

C. [2,2 2 ) ? (?2 2,?2]

D (?2 2,2 2 )

12.设函数 f ( x) ? x | x | ?bx ? c ,给出下列四个命题:① c ? 0 时,是 f ( x) 奇函数;②

b ? 0, c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根;③ f ( x) 的图像关于 (0, c) 对称;④方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根。其中正确的命题是( )
A.①④ B.①③ C.①②③ D. ②④

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.
13.若规定

a b c d

? ad ? bc ,则不等式 log2

x 1 ? 0 的解集为。 3 2

14.右面框图表示的程序所输出的结果是。

? ? x ? 2 y ? 5 ? 0,? ? ? ? 15.已知集合 A ? ?( x, y ) ?3 ? x ? 0, ?, ? ?x ? 2 y ? t, ? ? ? ? 2 2 B ? ( x, y) | x ? y ? 25 , A ? B ,对于 B 中的

?

?

任意元素 M,则 M ? A 的概率 P 的最大值为。 16.给出下列四个结论: ①合情推理是由特殊到一般的推理,得到的 结论不一定正确,演绎推理是由一般到特殊的推 理,得到的结论一定正确;

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②一般地,当 r 的绝对值大于 0.75 时,认为两个变量之间有很强的线性相关关系, 如果变量 y 与 x 之间的相关系数 r=-0.9568,则变量 y 与 x 之间具有线性关系; ③用独立性检验(2Χ2 列联表法)来考察两个分类变量是否有关系时,算出的随 机变量 k 的值越大,说明“x 与 y 有关系”成立的可能性越大;
2

④命题 P: ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?P;?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 。 其中结论正确的序号为。(写出你认为正确的所有结论的序号)

三、解答题本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) 某班甲乙两同学的高考备考成绩如下: 甲:512,554,528,549,536,556,534,541,522,538; 乙:515,558,521,543,532,559,536,548,527,531。 (1)用茎叶图表示两学生的成绩; (2)分别求两学生成绩的中位数和平均分。

18. (本小题满分 12 分) 在三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且

2 sin 2 (

A? B ) ? cos 2C ? 1 。 2

(1)求角 C 的大小; (2)若向量 m ? (3a, b) ,向量 n ? (a,?b / 3) , m ? n , (m ? n )(?m ? n ) ? ?16 求 a、 b、c 的值。

?

?

?

?

?

?

?

?

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19. (本小题满分 12 分) 如图,已知在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD ? DC , AB//DC,DC=DD1=2AD=2AB=2。 (1)求证: DB ? 平面 B1BCC1; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使得 D1E//平 面 A1BD,并说明理由。

20. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn( ) n ? N *) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (1)求数列 {an } 的通项公式;

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(2)设 bn ?

m 3 ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N * 都成立 20 an an ?1

的最小正整数 m。

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? 1, g ( x) ? f ' ( x) ? ax ? 5 ,其中 f ' ( x) 是 f ( x) 的导函数。 (1)对满足 ? 1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (2)设 a ? ?m2 ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 3 只有一个公共点。

22. (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴 长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行于 OM 的直线 L 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),L 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程;

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(2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。

参考答案
一.选择题 1.B 二.填空题 13.(1, 三.解答题 2.B 3. A 4.A 5.C 6. D 7.B 8.D 9.B 10.A 11.C 12.C

3 3 )∪( ,2) 2 2

14.

41 21

15.

32 25?

16. ②③④

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17.解:(1)两学生成绩绩的茎叶图如图所示……………4 分 (2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为: 甲: 512 522 乙:515 521 528 527 534 536 531 532 538 541 549 536 543 548 554 556 558 559

从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 乙学生成绩的中位数为 甲学生成绩的平均数为:

536 ? 538 ? 537 ……6 分 2

532 ? 536 ? 534 2

…………8 分

500 ?

12 ? 22 ? 28 ? 34 ? 36 ? 38 ? 41 ? 49 ? 54 ? 56 ? 537 ……………10 分 10

乙学生成绩的平均数为:

500 ?

15 ? 21 ? 27 ? 31 ? 32 ? 36 ? 43 ? 48 ? 58 ? 59 ? 537 ……………12 分 10
2

18.解:(1)∵ 2sin

A? B ? cos 2C ? 1 2 A? B ? cos( A ? B) ? ? cos C , 2 1 ? 或 ? 1 ∵ C ∈(0,π) ∴ C ? ……4 分 2 3
① …………6 分

2 ∴ cos 2C ? 1 ? 2sin

∴ 2cos2 C ? cos C ? 1 ? 0 ,∴ cos C ?

(2)∵ m ? n ∴ 3a 2 ?

b2 ? 0 ,即 b2 ? 9a 2 3
8 9

2 2 又 m ? n) ? (?m ? n) ? ?16 ∴ ?8a ? b ? ?16 ,即 a 2 ?

b2 ?2 9



…………8

分 由①②可得 a2 ? 1, b2 ? 9 ,∴ a ? 1, b ? 3 ………………………………………10 分

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又 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 7, ∴ c ? 7 , ……………………………………12 分

19.(I)设 E 是 DC 的中点,连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形,……………2 分

? BE ? CD .故 BD ? 2 , BC ? 2 , CD ? 2 ,?∠DBC ? 90? ,即 BD ? BC .
………………………4 分 又 BD ? BB1 , B1B ? BC ? B. ? BD ? 平面 BCC1B1 ,…………………………6 分 (II)证明:DC 的中点即为 E 点, ………………………………………………8 分

连 D1E,BE? DE // AB DE ? AB ∴四边形 ABED 是平行四边形, ∴AD // BE,又 AD // A1D1 ? BE // A1D1 ∴四边形 A1D1EB 是平行四边形 ? D1E//A1B , ∵D1E ? 平面 A1BD ∴D1E//平面 A1BD。……………………………………………12 分
2

20.解:(1)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则

f ' ( x) ? 2ax ? b,由于f ' ( x) ? 6x ? 2,
得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x -2x. ……………………………………3 分
2

? 2 又因为点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n -2n.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- [3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] =6n-5. 当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )………6 分
2

?

(2)由(1)得知 bn ? 分 故 Tn= 分 因此,要使

1 1 1 3 3 ? ) ,……8 = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13) ? ... ? ( 6n ? 5 ? 6n ? 1)? = 2 (1- 6n ? 1 )………10 ? ?

1 1 m ? (1- )< ( n ? N )成立的 m,必须且仅须满足 6n ? 1 2 20

1 m ≤ ,即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. ………………………12 分 2 20

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21.解:(1) f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ? g ( x) ? 3x 2 ? ax ? 3a ? 5 ? (3 ? x)a ? (3x 2 ? 5) ……3 分 3x2+x-8< 0, 2 由-1≤a≤1 的一切 a 的值,都有 g(x)<0 ? ? - <x<1 …………6 分 3x-2< 3x20,
高三数学试题答案(文科)(共 4 页)第 2 页

(2) a= ? m 2 时, f ( x) ? x 3 ? 3m 2 x ? 1, 函数 y=f(x)的图像与直线 y=3 只有一个公 共点, 即函数 F(x)= f ( x) ? 3 ? x 3 ? 3m 2 x ? 4 的图像与 x 轴只有一个公共点。………8 分 由 F ?( x) ? 3x 2 ? 3m 2 ? 3( x ? m)(x ? m) 知, 若 m=0,则 F(x)=0 显然只有一个根; 若 m≠0,则 F(x)在 x=- m 点取得极大值,在 x= m 点取得极小值. 因此必须满足 F(- m )<0 或 F( m )>0, 即 m2 m ? 2 ? 0或m2 m ? 2 ? 0 ?- 3 2 <m<0 或 0<m< 3 2 综上可得 - 3 2 <m < 3 2 . ………………13 分

?a ? 2b 2 ? x2 y2 ? ?a ? 8 22.解:(1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? 4 . 解得? 2 1 a b ? 2 ?1 ? b ?2 ? ? 2 b ?a ,
x2 y2 ? ? 1 ……………………4 分 8 2
又 KOM=

∴椭圆方程为

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m,

1 , 2

1 ? y ? x?m ? 1 ? 2 ? l的方程为: y ? x ? m ,联立方程有 ? 2 2 2 ? x ? y ? 1, ? 2 ?8

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? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 ,
∵直线 l 与椭圆交于 A.B 两个不同点,

?? ? (2m)2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0 …………8 分
(3)设直线 MA,MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),且x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4 ,

则 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 由 x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0可得 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

高三数学试题答案(文科)(共 4 页)第 3 页

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4
而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)(x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)(x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)

?

x1 x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

?

2m2 ? 4 ? 2m2 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0 ? k1 ? k2 ? 0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

故直线 MA,MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. ……………………13 分

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