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7.5.2已知三角函数值求角


4.11 已知三角函数值求角

4.11 已知三角函数值求角
回忆: 2? ? ? 的诱导公式. ?? , 2k? ? ? (k ? Z ) , ? ?? , 已知角
解唯一

三角函数值
角的范围决定解的个数

已知三角函数值



正弦值 0

30° 45° 60° 90° 角度 0° ? ? ? ? 弧度 0 6 4 3 2
1 2
2 2
2 2

余弦值 1 正切值 0

3 2
1 2

1
0


3 2 3 3

1

3

复习:三角函数值在 各象限的符号有何特点?

+ 0

y + -

sin ? x

y 第二象限 第一象限
x 0 第三象限 第四象限 -

y +

-

0
-

x + y + 0 + x

cos?

tan

?

设 0 ? ? ? 90 ,对于任意一个0 到360? 的角? ,
? ?
?

以下四种情形中有且仅有一种成立.
? ? ??, 当? ? 0 , 90 ? ? ? ? 180 ?180 ? ?, 当? ? 90 , ??? ? ? ? 270 ?180 ? ?, 当? ? 180 , ? ?360? ? ?, 当? ? 270?, 360 ? y

? ? ? ?

?

?

? ?

? -?

?(看作锐角)
o x

? + ? 2 ? -?

1 已知sinx ? 2

,求角x
1 1/2
x

11? 7? ? ? 6 6

? 6

5? 6

13? 17? 6 6

记为x=arcsin

1 ? ? 2 6

7.5.2 已知三角函数值求角

? ? 在闭区间 [? , ]上, 2 2

符合条件sinx=y(-1?y?1)的角x是唯一

记为x=arcsiny
1

?

?
2

? 2

x

7.5.2 已知三角函数值求角
y x

根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足: 在闭区间 [0,? ] 上,符合条件cos x ? a(?1 ? a ? 1) 的角x,叫做 使符合条件的 cos x ? a (?1 ? a ? 1) 的角x有且只有一个,而且 实数 a 的反余弦,记作 arccos a,即 x ? arccos a,其中 x ? [0,? ] , 包括锐角. 且 a ? cos x . arccos a 的意义:

arccos a 表示一个角,角的余弦值为a

(?1 ? a, ? 1)

1 练习:(1) arcsin 表示什么意思? 2

7.5.2 已知三角函数值求角

1 arcsin 表示 [ ? ? , ? ] 上正弦值等于 1 的那个角,即角 ? , 2 2 2 2 6 1 ? 故arcsin ? 2 6

3 ? 3 ? ? , x ? [? , ],则x= arcsin( ? 2 ) ? ? 3 (2)若 sin x ? ? 2 2 2

(3)若 sin x ? 0.7, x ? [? , ] ,则x= arcsin 0.7 2 2

? ?

7.5.2 已知三角函数值求角
例2. (1)已知cos x ? ?0.7660 ,且 x ? [0,? ],求x. (2)已知cos x ? ?0.7660 ,且 x ? [0,2? ],求x 的取值集合. 解: [0,? ]上是减函数和 (1 2)由于余弦函数在闭区间 )因为cos x ? ?0.7660 ? 0,所以 x是第二象限或第三 cos x ? ?由余弦函数的单调性和 0.7660 可知符合条件的角有且只有一个, 象限角. 而且角为钝角, 2? 2? 7? cos(? ? ) ? cos(? ? ) ? cos 9 9 9 利用计算器并由: 7? 可知符合条件的角有且只有两个,即第二象限角 或 cos(? ? x ) ? ? cos x ? 0.7660 9 2? 2? 7? 11 ? ? ( ? 40 ),所以 x ? ? ? ? 可得? ? x ? 第三象限角 9 9 9 7? 11? } 故x 的集合是 { , 9 9

7.5.2 已知三角函数值求角
练习: 1 x ? [0,2? ] ,求x. cos x ? (1)已知 , 2

x?

?
3



5? 3

? (2)已知cos x ? cos 61,x ? [0,2? ] ,求x的取值集合.

{61? ,299? }

(3)已知cos x ? ?0.4665,x ? [0,2? ],求x的取值集合

{arccos(?0.4665),2? ? arccos(?0.4665)}

7.5.2 已知三角函数值求角
例3. (1)已知 sin x ? ?0.3322 ,且 x ? [? , ] ,求x 2 2 (2)已知 sin x ? ?0.3322 ,且 x ? [0,2? ] ,求x的取值集合. 解: ( (1 2)利用计算器并由 )由正弦函数的单调性和 sin( ? ? x ) ? ?? sin / x ? 0.3322 sin( 180 ? 19 24 ) ? ? sin( 19? 24/ ) ? sin( ?19? 24/ ) 97? 97 ?/ ? ? / ? ? x ? x ? ? 可得 arcsin( ?0/.) 3322)) ,所以 sin( 360 ? 19 24 ) ? ? sin( 19 24 (或 ) ? sin( ?19? 24 900 900 340? 36/角的正弦也是-0.3322, 可知199? 24/ 角,
340? 36/ } 所以x的取值集合是 {199? 24/ ,

? ?

7.5.2 已知三角函数值求角
练习:
2 (1)若 cos x ? ? , x ? [0, ? ] ,则x的值( B ) 3 2 2 B .? ? arccos A. arccos 3 3 2 2 D .? ? arccos C . ? arccos 3 3 1 ? ? A ? { , ? }, B ? {0, sin x }且 x ? ( ? , ) (2)若 ,集合 5 2 2 A ? B ? ? ,则x的值为 arcsin 1 5


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