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6.双曲函数



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高考数学母题
[母题]Ⅰ(5-06):双曲函数(067)

165

双曲函数 [母题]Ⅰ(5-06): (2010 年全国Ⅰ高考试题)已知函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f

(a)=f(b),则 a+2b 的取值范
围是( ) (B)[2 2 ,+∞) (C)(3,+∞) (D)[3,+∞) (A)(2 2 ,+∞)

[解析]: 由 f(a)=f(b) ? |lga|=|lgb| ? (lga+lgb)(lga-lgb)=0 ? ab=1;
(法一)由 a+2b≥2 a ? 2b =2 2 ,但 0<a<b ? 等号不能成立 ? a+2b>2 2 .故选(A); (法二)由 ab=1 ? b>1,且 a+2b=2b+
1 在(1,+∞)上是增函数 ? a+2b>3.故选(C); b

解法一是错误的,原因是 a+2b→2 2 时,a→2b,但由 0<a<b,且 ab=1 ? 0<a<1<b ? 0<a<1<2<2b,矛盾;由此可见,使用基 本不等式求范围时,如果等号不成立,不能简单的去掉等号得范围,那么又怎么办呢?这时应利用等量关系消元,把待求式 转化为某变元的双曲函数求解,在求范围方面,双曲函数比基本不等式更深刻.
y
y ? ax

[点评]: 形如 f(x)=ax+ 的函数叫双曲函数;⑴f(x)=ax+ (a>0,b>0)的图像如图:
性质:①定义域:(-∞,0)∪(0,+∞);②值域:(-∞,-2 ab )∪(2 ab ,+∞);③f(x)是 奇函数;④渐近线:x=0,y=ax;⑤单调性:增区间为(-∞,是(b ,0)和(0, a b ); a b )和( a b ,+∞) 减区间 a

b x

b x

O

x

⑵f(x)=ax+

b (a>0,b<0)的图像如图: x 1 x

[子题](1): (2008 年安徽高考试题)设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x)(
(A)有最大值
1 x

) (D)是减函数

(B)有最小值

(C)是增函数

[解析]: 令 g(x)=2x+ (x<0),则双曲函数 g(x)有最大值 ? f(x)有最大值.故选(A).
注: 求双曲函数的最值是双曲函数的研究中心,对双曲函数的研究:一要注意 a,b 的符号;二要注意函数的定义域.

[子题](2): (2011 年重庆高考试题)若函数 f(x)=x+
(A)1+ 2 (B)1+ 3

1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( x?2

) (D)4

(C)3

[解析]: 由 f(x)=x+

1 1 1 =(x-2)+ +2 知,当且仅当(x-2)= ,即 x=3 时,f(x)取最小值.故选(C). x?2 x?2 x?2

注: 对双曲函数 f(x)=ax+

b b (a>0,b>0)当且仅当 ax= ,即 x= x x
x

b 时,f(x)在(0,+∞)上取最小值 2 ab . a

[子题](3): (2010 年山东高考试题)若对任意 x>0, [解析]: 由
x x ? 3x ? 1
2

x 2 ? 3x ? 1

≤a 恒成立,则 a 的取值范围是

.

≤a ?

1 1 1 1 1 ≤x+ +3(a>0),令 f(x)=x+ ,则 fmin(x)=f(1)=2,所以, ≤5 ? a 的取值范围是[ ,+∞). a x x a 5

166
形式.

[母题]Ⅰ(5-06):双曲函数(067)

注 : 利用双曲函数求最值是高考命题的一个着力点 ,其中的关键是对所给函数式进行恒等变形, 化为恰含双曲函数的

[子题系列]:
1.(2009 年湖南高考试题)若 x>0,则 x+ 2 的最小值为
x

.

2.(2008 年江苏高考试题)设 x>0,则 y=3-3x-

1 的最大值为( x

)

(A)3

(B)3-3 2

(C)3-2 3 )

(D)-1

3.(1996 年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)当
1 3

1 1 ≤x≤3 时,函数 y=x+ 的值域是( 3 x

(A)[2,3 ]

(B)[2,+∞)

(C)[3

1 ,+∞) 3

(D)(0,+∞)

4.(2008 年江西高考试题)若函数 y=f(x)的值域是[ (A)[
1 ,3] 2

1 1 ,3],则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( f ( x) 2

) (D)[3, .
6 在同一点取相同的最小值, x 10 ] 3

(B)[2,

10 ] 3

(C)[

5 10 , ] 2 3

5.(2013 年四川高考试题)已知函数 f(x)=4x+

a (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a= x

6.(2013 上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)若在区间[2,3]上,函数 f(x)=x2+bx+c 与 g(x)=x+ 则函数 f(x)在[2,3]上的最大值是 .

7.(2011 年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题)已知 f(x)=2x2+3px+2q 和 g(x)=x+

4 9 是定义在集合 M{x|1≤x≤ }上的函 x 4

数,对任意的 x∈M,存在常数 x0∈M,使得 f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0),且 f(x0)=g(x0),则函数 f(x)在 M 上的最大值为( (A)4 (B)
33 8

)

(C)6 ) (B)当 x>0 时, x ?
1 x

(D)8

8.(2005 年福建高考试题)下列结论正确的是( (A)当 x>0,且 x≠1 时,lgx+
1 lg x

≥2

≥2

(C)当 x≥2 时,x+

1 的最小值为 2 x

(D)当 0<x≤2 时,xt 2 ? 4t ? 1 的最小值为_____________. t 5 ? 4x ? x2 在(-∞,2)上的最小值是 2?x

1 无最大值 x

9.(2010 年重庆高考试题)已知 t>0,则函数 y=

10.(2008 年全国高中数学联赛试题)函数 f(x)=
x x ?1

.
1 2
2 2

11.(2008 年重庆高考试题)函数 f(x)= 12.(1987 年广东高考试题)函数 y=
2x

的最大值为(

)

(A)

2 5

(B)

(C)

(D)1

x2 ? 1

(x∈R)的值域是
x 在区间(0,+∞)上的最大值是 ( x ? a)( x ? b)

13.(1996 年第七届 “希望杯” 全国数学邀请赛(高二)试题)当 a,b<0 时,函数 y= (A)-( | a | - | b | )2 (B)( | a | + | b | )2 (C)1

( | a | ? | b | )2

(D)

1 ( | a | ? | b | )2

14.(2005 年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数 y=

e ? ex 1 ? ex

的值域是(

)

[母题]Ⅰ(5-06):双曲函数(067)
(A)(e,+∞) (B)[2 e ? 1 ,+∞) (C)[e,+∞)

167
(D)(2 e ? 1 ,+∞) )
2 2 , ) 3 3

15.(2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)与函数 y= (A)(-2,0) (B)(4 ,0) 9

x2 的值域没有交集的集合是( 3x ? 1

(C)(-

4 ,1) 9
x 4 x 2 ? 8 x ? 49

(D)(,当 x=

16.(2009 年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知函数 f(x)= 最大值 .
x ?1 x2 ? 4x ? 7

时,f(x)的取得

17.(2012 年全国高中数学联赛湖北预赛试题)函数 f(x)=

的值域为

.

18.(2003 年福建省高一数学夏令营选拔试题)函数 y= (A)(2,+∞)

x2 的递增区间是( x ?1

) (C)(-∞,0) (D)(0,2)

(B)(-∞,0)∪(2,+∞)
x?3 x?a

19.(2004 年全国高中数学联赛河南预赛试题)设函数 f(x)= 围是 .
8

(a∈R).若使 f(x)在(1,+∞)上为增函数,则 a 的取值范

20.(2008 年陕西高考试题)“a= 1 ”是“对任意的正数 x,2x+ a ≥1”的(
x

) (D)既不充分也不必要条件 .

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件

21.(2013 年上海高考试题)(文)设常数 a>0,若 9x+

a2 ≥a+1 对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围为 x

22.(2014 年上海高考试题)设 f(x)= ? (A)[-1,2]

? ( x ? a) 2 ( x ? 0) ? .若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为( 1 ? x ? x ? a( x ? 0) ?

) (D)[0,2]

(B)[-1,0]

(C)[1,2] )

23.(2006 年江西高考试题)若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈(0, 1 ]成立,则 a 的最小值为(
2

(A)0

(B)-2

(C)- 5

2

(D)-3 )

24.(2006 年上海高考试题)若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M,则对任意的实常数 k,总有( (A)2∈M,0∈M (B)2 ? M,0 ? M (C)2∈M,0 ? M

(D)2 ? M,0∈M
a2 +7,若 f(x)≥a+1 对 x

25.(2013 年上海高考试题)(理)设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=9x+ 一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为 .

26.(2006 年上海高考试题)已知函数 y=x+

a 有如下性质:如果常数 a>0,那么该函数在(0, a ]上是减函数,在[ a ,+∞) x
2b (x>0)的值域为[6,+∞),求 b 的值; x

上是增函数. (Ⅱ)研究函数 y=x2+
c x2

(Ⅰ)如果函数 y=x+

(常数 c>0)在定义域内的单调性,并说明理由;

(Ⅲ)对函数 y=x+

c a 和 y=x2+ 2 (常数 a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只 x x

168
须写出结论,不必证明),并求函数 F(x)=(x2+ 研究结论).

[母题]Ⅰ(5-06):双曲函数(067)
1 1 n 1 ) +( 2 +x)n(n 是正整数)在区间[ ,2]上的最大值和最小值(可利用你的 x 2 x

[子题详解]:
1.解: 最小值=2 2 . 2.解: 由最大值=3-2 3 .故选(C).
1 1 10 ,3],F(x)=t+ 的值域是[2, ].故选(B). t 2 3

3.解: 由最小值=2,最大值=3+
a =3 ? a=36. 4

1 .故选(A). 3

4.解: 设 t=f(x),则 t∈[

5.解: 由

6.解: 由 gmin(x)=g( 6 )=2 6 ? f(x)=(x- 6 )2+2 6 ? fmax(x)=f(3). 7.解: 由 gmin(x)=g(2)=4 ? f(x)=2(x-2) +4 ? fmax(x)=f(1)=6.故选(C). 8.解: 故选(B). 10.解: 由 f(x)= 9.解: 由 y=t+ -4≥2-4=-2.
1 +(2-x)≥2,当且仅当 x=1 时,等号成立 ? fmin(x)=2. 2?x
1 11.解: 由 x + ≥2 ? f(x)≤ 1 .故选(B). x
2
2

1 t

12.解: 由 x+

1 ≥2 ? y∈[-1,1]. x

13.解: 由 x+

ab 2 -(a+b)≥2 ab -(a+b)=( | a | + | b | ) .故选(D). x
1 1 4 (t+ -2)∈(-∞,- ]∪[0,+∞).故选(B). t 9 9

14.解: 由 y= 1 ? e x +

e ?1 1? e
x

>1+(e-1)=e.故选(A). 15.解 : 令 3x+1=t,则 y=

16.解: 由 4x+

49 7 7 1 ≥28(x= ) ? x= 时,fmax(x = . x 2 2 36 1 +2.故选(B). x ?1

17.解: 令 x+1=t≥0,由 t+

4 6 ≥4 ? 值域为[0, ]. t 6
3? a ? a∈(-∞,-1]. t

18.解: 由 y=(x-1)+

19.解: 设 t= x ? a ,则 g(t)=t+

a 20.解: 由 2x+ ≥2 2 a ≥1 ? a≥ 1 .故选(A). x
8

21.解: 由 9x+

1 a2 ≥6a≥a+1 ? a≥ . 5 x

22.解: 当 x≤0,a<0 时,fmin(x)=f(a)≠f(0),符合,排除(A)(B);当 a=0 时,fmin(x)=f(0),即 a=0 符合,排除(C).故选(D). 23.解: 由 x2+ax+1≥0 ? -a≤x+
1 .故选(C). x

24.解: 设 k2+1=t≥1.则 x≤t+

5 -2.故选(A). t

25.解: 由 f(0)≥a+1 ? 0≥a+1 ? a≤-1;当 x>0 时,f(x)= 9x+ 26.解: (Ⅰ)由函数 y=x+ ( Ⅱ ) 由 y=x2+
c x
2

8 8 a2 -7≥a+1 ? 6|a|≥a+8 ? a≤- .综上,a∈(-∞,- ]. 7 7 x

2b (x>0)的最小值是 2 2b ,则 2 2b =6 ? b=log29; x
2

? y=x +

c x
2

是偶函数 , 且 y? =2x-

?2c x
3

=

2 x
3

(x4-c)=

2 x
3

(x- 4 c )(x+ 4 c )(x2+ c ) ? 函数 y=x2+

c x2



[ 4 c ,+∞)上是增函数,在(0, 4 c ]上是减函数 ? 函数 y=x2+ (Ⅲ)可以把函数推广为 y=xn+
a xn

c x2

在[- 4 c ,0)上是增函数,在[ 4 c ,+∞)上是减函数;
a xn

(常数 a>0),其中 n 是正整数;①当 n 是奇数时,奇函数 y=xn+

在(0, 2 n a ]上是减函数,
a xn

在[ 2 n a ,+∞)上是增函数 ? 在(-∞,- 2 n a ]上是增函数,在[- 2 n a ,0)上是减函数;②当 n 是偶数时,偶函数 y=xn+
2n

在(0,

a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数 ? 在(-∞,- 2 n a ]上是减函数,在[- 2 n a ,0)上是增函数;

F(x)=(x2+

1 1 1 1 1 1 n 1 ) +( 2 +x)n=Cn0(x2n+ 2 n )+Cn1(x2n-3+ 2n ?3 )+?+Cnk(x2n-3k+ 2 n ? 3k )+?+Cnn(xn+ n ) ? F(x)在[ ,1]上是减 x 2 x x x x x

函数,在[1,2]上是增函数 ? 当 x=

1 9 9 或 x=2 时,F(x)取得最大值( )n+( )n;当 x=1 时,F(x)取得最小值 2n+1. 2 2 4



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