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正弦余弦定理试题及答案



正弦定理和余弦定理试题答案 资阳中学
一、选择题:(本大题共12小题,每小题6分,共60分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=(  ) A.-      B. C.- D.

解析:依题意得0°<B<60°,由正弦定理得=得sinB==,cosB==,选D. 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A =(  ) A.30° B.60° C.120° D.150°

解析:由sinC=2sinB可得c=2b,由余弦定理得cosA===,于是A=30°,故选A. 3.(2010·江西)E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点,则tan∠ECF=(  ) A. B. C. D.

解析:设AC=1,则AE=EF=FB=AB=,由余弦定理得CE=CF==,所以cos∠ECF ==, 所以tan∠ECF===. 答案:D

4.△ABC中,若lga-lgc=lgsinB=-lg且B∈,则△ABC的形状是(  ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:∵lga-lgc=lgsinB=-lg,∴lg=lgsinB=lg.∴=sinB=. ∵B∈,∴B=,由c=a, 得cosB===. ∴a2=b2,∴a=b. 答案:D

5.△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a、b、c成等差数列,∠B =30°,△ABC的面积为0.5,那么b为(  ) A.1+ B.3+ C. D.2+

解析:2b=a+c,ac·=?ac=2,a2+c2=4b2-4,b2=a2+c2-2ac·?b2=?b=. 答案:C 6.已知锐角A是△ABC的一个内角,a、b、c是三角形中各内角的对应边,若sin2A-co s2A=,则(  ) A.b+c=2a B.b+c<2? C.b+c≤2a D.b+c≥2a

解析:由sin2A-cos2A=,得cos2A=-, 又A是锐角,所以A=60°,于是B+C=120°. 所以===cos≤1,b+c≤2a. 答案:C

7、若 ?ABC 的内角

A 满足 sin 2 A ?
B. ?

2 ,则 sin A ? cos A ? 3
C.

A.

15 3

15 3

5 3

D. ?

5 3

解:由sin2A=2sinAcosA?0,可知A这锐角,所以sinA+cosA?0, 又 (sin

A ? cos A) 2 ? 1 ? sin 2 A ?

5 ,故选A 3

8、如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 A. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形

C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 解: ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值均大于0,则 ?A1 B1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是锐角三角形,

? ? ? ? sin A ? cos A ? sin( ? A ) A ? ? A1 2 1 1 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? B1 ,那么, A2 ? B2 ? C2 ? ,所以 由 ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) ,得 ? B2 ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ? ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选D。 ? ? ? 9、 A ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? ( a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a ) ,若
? ? ? p // q ,则角 C 的大小为

6 3 2 ? ? ? 2 2 2 【解析】 p // q ? ( a ? c )(c ? a ) ? b(b ? a ) ? b ? a ? c ? ab ,利用余弦定理可得

(A)

?

(B)

?

(C)

?

(D)

2? 3

2 cos C ? 1 ,即 cos C ?
运算能力。

1 ? ? C ? ,故选择答案B。 2 3

【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数,同时着重考查了同学们的 10、已知等腰 △ ABC 的腰为底的2倍,则顶角 A.

A 的正切值是(  )
D.

3 2

B.

3

C.

15 8

15 7

A 15 解:依题意,结合图形可得 tan ? 2 15

15 A 2? 15 ? 15 ,选D 2 ? ,故 tan A ? A 7 15 2 1 ? tan 2 1? ( ) 2 15 2 tan

11、 ?ABC 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且 c A.

? 2a ,则 cos B ?

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

解: ?ABC 中,a、b、c成等比数列,且 c

? 2a ,则b= 2 a,

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 3 cos B ? ? ,选B. = 2ac 4a 2 4
12、在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=

?
3

,a=

3 ,b=1,则c=

(A) 1

(B)2

(C)

3 —1

(D)

3

解:由正弦定理得sinB=

1 ,又a?b,所以A?B,故B=30?,所以C=90?,故c=2,选B 2

二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题后的横线上. ) 13、在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ?B 的大小是___________.
解:

sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ?a?b?c=5?7?8设a=5k,b=7k,c=8k由余弦定理可解得 ?B 的大小 ? 为 . 3
14、在 ? ABC中,已知 a

?

3 3 4

,b=4,A=30°,则sinB=

.

解:由正弦定理易得结论sinB=

3 。 2

15、在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=     【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得,

AC BC ? ? sin 45 sin 60?

解得

AC ? 4 6

【解后反思】解三角形:已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理 16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为 . 解析: 由 ?ABC 的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C= ? 可得 ?B AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得

?

?
3

AD ? 3 。

本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 三、解答题:(17-21题12分,22题14分,写出证明过程或推演步骤.) 17。、已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=a+b,求内角C. 解:由a+b=a+b及正弦定理得 sinA+sinB=cosA+cosB, 即sinA-cosA=cosB-sinB, 从而sinAcos-cosAsin=cosBsin-sinBcos, 即sin=sin. 又0<A+B<π, 故A-=-B,A+B=, 所以C=.

18、在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+ b)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状. 解:(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-,又A∈(0,π),故A=120°. (2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 又sinB+sinC=1,得sinB=sinC=. 因为0°<B<90°,0°<C<90°,故B=C.所以△ABC是等腰的钝角三角形. 19、如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6 ,求AB的长. 解:在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 cos∠ADC===-, ∴∠ADC=120°,∠ADB=60°. 在△ABD中,AD=10,B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得=,∴AB====5.
20、已知 △ ABC 的周长为

2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C .(I)求边 AB 的长;(II)若

1 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 6
解:(I)由题意及正弦定理,得

AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 2 AB ,两式相减,得

AB ? 1 .
(II)由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC AAC A sin C ? sin C ,得 BC AAC ? ,由余弦定理,得 2 6 3
 ?

cos C ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC ABC

( AC ? BC ) 2 ? 2 AC ABC ? AB 2 1 ? ,所以 C ? 60? . 2 AC ABC 2
? 3 . 4

21、△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列, cos B (Ⅰ)求cotA+cotC的值; (Ⅱ)设 BA ? BC

??? ? ??? ?

?

3 ,求a+c的值. 2

分析:本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇,关键是用好正弦定理、余弦定理等. 解:(Ⅰ)由 cos B

?

3 3 7 , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 由b2=ac及正弦定理得 4 4 4

sin 2 B ? sin A sin C.
则 cot A ? cot C

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B sin B 1 4 ? ? ? 7. 2 sin B sin B 7 ??? ? ??? ? 3 3 3 (Ⅱ)由 BA ? BC ? ,得ca?cosB= ,由ㄋB= ,可得ac=2,即b2=2. 2 2 4 ?
由余弦定理b2=a2+c2-2ac+cosB,得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,
22、

a?c ?3

某海轮以30海里/小时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东 60? ,向北航行40分钟后到达B点, 测得油井P在南偏东 30? ,海轮改为北偏东 60? 的航向再行驶80分钟到达C点,求P、C间的距离. 解:如图,在△ABP中,AB = 30× ∠APB = 30? ,∠BAP = 120? , 由正弦定理,得:

40 = 20, 60

20 BP AB BP = ,即 = 1 sin ?BPA sin ?BAP 3 2 2

,解得BP = 20

3.

在△BPC中,BC = 30×

80 = 40, 60

由已知∠PBC = 90? ,∴PC = 所以P、C间的距离为 20

PB 2 ? BC 2

=

(20 3 ) 2 ? 20 2 = 20 7

(海里).

7 海里.

评析:上述两例是在准确理解方位角的前提下,合理运用正弦定理把问题解决,因此,用正弦定理 解有关应用问题时,要注意问题中的一些名称、术语,如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等.



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