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2016忻州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)




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2016 忻州职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
1.集合 P ? x x 2 ? 16 ? 0 , Q ? ? x x ? 2n, n ? Z ? ,则 P ? Q ? 2 知复数 z=1-i,则

?

?

z 2 ? 2z = z ?1
的定义域为.

3. 函数 f ( x) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

4. 已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 , 则 c 的最大值是 5 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 3 ,则 f (?2) ? ;若 f ( x) ≤ 5 ,则 x 的取值范围是. 6.过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面,如果截面是等腰三角形,则侧面与底面所成 角的余弦值是
x2 y 2 ? ? 1 只有一个交点的直线有 16 9
??? ? ??? ? ???? ?

?

?

?

? ?

? ?

?

7.过点 P(4, 4) 且与双曲线

8.点 O 在 ?ABC 内,满足 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,那么 ?AOB 与 ?AOC 的面积之比是 9.从单词“education”中选取 5 个不同的字母排成一排,则含“at”(“at” 相连且顺序不变)的概率为 10.如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点上, 则下一次沿顺时针方向跳两个点;若停在偶数点上,则下一次沿逆时针方向 跳一个点,若青蛙从 5 这点开始跳,则经 2009 次跳后它停在的点所对应的 数为 .

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11.设二项式 (3 3 x ? )n 的展开式的各项系数和为 p ,所有二项式系数的和是,若
p ? s ? 272 ,则 n ?

1 x

12.已知函数 f ( x) ? ?

?a x ( x ? 0), ?(a ? 3) x ? 4a( x ? 0)

满足对任意 x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立, x1 ? x2

则的取值范围是 13.集合 P 中的元素都是整数,并且满足条件:① P 中有正数,也有负数;② P 中有 奇数,也有偶数;③ ?1? P ;④若 x, y ? P ,则 x ? y ? P 。下面判断正确的是 (1). 0 ? P, 2 ? P (2). 0 ? P, 2 ? P (3). 0 ? P, 2 ? P (4). 0 ? P, 2 ? P
2 14. 已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x ? x ? a ?

1 ? a ? 0 有实根,则 a 的取值范围是. 4

二.解答题 15. .在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

4 . 5

? ?

?? ? 的值. 6?

16. .如图,已知⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E,连结 AD、BD、OC、OD,且 OD =5。 (1)若 sin ∠BAD ?

3 ,求 CD 的长; 5

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(2)若∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形 OAC(阴影部分)的面积(结果保留

? )。

17. 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 其中 n∈N*,a 为常数. (1 ? x)n

(Ⅰ)当 n=2 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n,当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1.

18. (本小题满分 12 分)设 G、M 分别为 ?ABC 的重心和外心, A(?1,0) , B(1,0) 且

GM ? ? AB
(Ⅰ)求点 C 的轨迹 E 的方程。 19.(本小题满分 14 分)数列 {b n } 满足 b1 ? 1 , bn?1 ? 2bn ? 1 ,若数列 {an } 满足

a1 ? 1 , a n ? bn (

1 1 1 ? ??? ) (n ? 2且n ? N ? ) b1 b2 bn?1

(Ⅰ)求 b2 , b3 , b4 及 bn ;(Ⅱ)证明:

an ? 1 bn ? (n ? 2且n ? N ? ) an?1 bn?1

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(Ⅲ)求证: (1 ?

1 1 1 1 10 )(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) ? a1 a2 a3 an 3

参考答案
+? ? 1. ??2,0, 2? 2. -2i 3. ?3,
2
6; [? ,1]
1 2
1 6 或 . 6. 3 6

4.

5 .

7. 4 条

8. 3: 2 ? 9.

1 1 10 . 2 11. 4 12. (0, ] 18 4

? 1? ?0, ? 13.(3) 14. ? 4 ?
二,解答题
2

3 ? 4? 2 〖解析〗(Ⅰ)在 △ ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? ? ,由正弦定 5 ? 5? 15.
理,

BC AC AC 2 3 2 ? sin A ? ? ? . .所以 sin B ? sin A sin B BC 3 5 5
(Ⅱ)解:因为 cos A ? ?

4 ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5
2

21 ?2? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 2 ?

21 17 ?1 ? , 5 25

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2 21 4 21 sin 2B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? . 5 5 15 3 17 1 12 7 ? 17 ?? ? ? 4 21 ? ? ? ? ? sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? 25 2 25 2 50 6? 6 6 ?

16.

(1)因为 AB 是⊙O 的直径,OD=5 所以∠ADB=90°,AB=10 在 Rt△ABD 中, sin ∠BAD ? 又 sin ∠BAD ?

BD AB

3 BD 3 ? ,所以 BD ? 6 ,所以 5 10 5

AD ?

AB 2 ? BD2 ? 102 ? 62 ? 8

因为∠ADB=90°,AB⊥CD 所以 DE·AB ? AD·BD,CE ? DE 所以 DE ? 10 ? 8 ? 6 所以 DE ?

24 , 5

所以 CD ? 2 DE ?

48 5
所以 CB ? BD , AC ? AD ,

(2)因为 AB 是⊙O 的直径,AB⊥CD, 以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD. =∠ADO











因为 AO=DO,所以∠BAD=∠ADO, 所以∠CDB

设∠ADO=4x,则∠CDB=4x. 由∠ADO :∠EDO=4:1,则∠EDO=x. 因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°,所以 4 x ? 4 x ? x ? 90? , 所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100° 所以∠AOC=∠AOD=100°,故 S 扇形OAC ? 所以 x=10°

100 125 ? ? ? 52 ? ? 360 18

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17. (Ⅰ)解:由已知得函数 f(x)的定义域为{x|x>1}, 当 n=2 时, f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), (1 ? x)2

所以

f ( x) ?

2 ? a(1 ? x)2 . (1 ? x)3

(1)当 a>0 时,由 f(x)=0 得

x1 ? 1 ?
此时

2 2 >1, x2 ? 1 ? <1, a a
?a( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

f′(x)=

当 x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(x1+∞)时,f′(x)>0, f(x)单调递增. (2)当 a≤0 时,f′(x)<0 恒成立,所以 f(x)无极值. 综上所述,n=2 时, 当 a>0 时,f(x)在 x ? 1 ?

2 处取得极小值,极小值为 a

f (1 ?

2 a 2 ) ? (1 ? ln ). a 2 a
当 a≤0 时,f(x)无极值.

(Ⅱ)证法一:因为 a=1,所以 f ( x) ? 当 n 为偶数时, 令 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1). (1 ? x)n

1 ? ln( x ? 1), (1 ? x) n

则 g′(x)=1+

n 1 x?2 n ? ? ? >0(x≥2). n ?1 ( x ? 1) x ? 1 x ? 1 ( x ? 1)n?1

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所以当 x∈[2,+∞]时,g(x)单调递增, 又

g(2)=0

因此 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ≥g(2)=0 恒成立, ( x ? 1)n

所以 f(x)≤x-1 成立. 当 n 为奇数时, 要证 f ( x) ≤x-1,由于 令 则 所以

1 <0,所以只需证 ln(x-1) ≤x-1, (1 ? x) n

h(x)=x-1-ln(x-1), h′(x)=1-

1 x?2 ? ≥0(x≥2), x ?1 x ?1

当 x∈[2,+∞]时, h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) 单调递增,又 h(2)=1>0,

所以当 x≥2 时,恒有 h(x) >0,即 ln(x-1)<x-1 命题成立. 综上所述,结论成立. 18. 解:(Ⅰ)设 C ( x, y) 为轨迹 E 上任意一点,显然 A、B、C 不共线,∴ y ? 0 则 ?ABC 的重心 G 为 ( , ) ,∵ GM ? ? AB 由 | MC |?| MA | ?

x y 3 3

∴ ?ABC 的外心 M 为 (0, )

y 3

y y y2 x2 ? ( y ? )2 ? 1 ? ( )2 ? x2 ? ? 1 ( y ? 0) 3 3 3
2 即点 C 的轨迹 E 的方程为: x ?

y2 ? 1 ( y ? 0) 3

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) 为轨迹 E 上 满足条件的点 ∵ A1M ? A1 N ? 0

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∴ x1 x2 ? ( y1 ? 3)( y2 ? 3) ? 0 而直线 A1 N 的方程为: ( y ? 3) x2 ? x( y2 ? 3) 直线 A2 M 的方程为: ( y ? 3) x1 ? x( y1 ? 3) 由

y ? 3 x1 ( y 2 ? 3 ) (1) ? 得: ( 2) y ? 3 x2 ( y1 ? 3 )
2 2

y ∵ x1 ? 1 ? 1 3


∴ 3x1 ? 3 ? y1 ?

2

2

x1 y1 ? 3

??

y1 ? 3 3x1

y? 3 y? 3

??

( y1 ? 3 )( y 2 ? 3 ) 1 ? , y ? ?2 3 3x1 x 2 3

即直线 A1 N 和 A2 M 交点 P 恒在定直线 l : y ? ?2 3 上 (Ⅱ)法 2:设 l A1M : y ? kx ? 3 ,则 l A1 N : y ? ?

1 x? 3 k

由?

? ? y ? kx ? 3 ? (3 ? k 2 ) x 2 ? 2 3kx ? 0 2 2 ? ?3x ? y ? 3 ? 0
2 3k 2 3k 2 3 (k 2 ? 3) ? 2 ? 3? , yM ? 2 k ?3 k ?3 k2 ?3 2 3k 3 (k 2 ? 3) , ) k2 ?3 k2 ?3

? xM

∴ M 的坐标为 (

∴ l A2M 为: y ?

3 (k 2 ? 3) ? 3 3 k2 ?3 ?x? 3 ?? x? 3 k 2 3k 2 k ?3
y? 3 y? 3 ?3
∴ y ? ?2 3

联立 l A1 N 的方程,解得:

即点 P 恒在定直线 l : y ? ?2 3 上.

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19.解:(Ⅰ) b2 ? 3 , b3 ? 7 , b4 ? 15
n?1 n 由 bn?1 ? 2bn ? 1 ? bn?1 ? 1 ? 2(bn ? 1) ? bn ? 1 ? (b1 ? 1) ? 2 ? 2 n ∴ bn ? 2 ? 1

(Ⅱ)∵ a n ? bn (

1 1 1 ? ??? ) (n ? 2且n ? N ? ) b1 b2 bn?1



an 1 1 an?1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ??? ? , bn b1 b2 bn?1 bn?1 b1 b2 bn?1 bn an?1 an a a ?1 a ? 1 bn 1 ? ? ? n?1 ? n ? n ? (n ? 2且n ? N ? ) bn?1 bn bn bn?1 bn an?1 bn?1
1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) a1 a2 a3 an



(Ⅲ)由(Ⅱ)知 (1 ?

?

a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 ? ? ? a1 a2 a3 an a ?1 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 ? ? ?? n ? an?1 a1a2 a3 a4 an?1 b 2 b2 b3 ? ? ? n ? an?1 3 b 3 b4 bn?1 a 2 b2 ? ? an?1 ? 2 ? n?1 3 bn?1 bn?1
1 1 1 1 ? ? ??? ) b1 b2 b3 bn

?

?

?

? 2(



1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? ??? n b1 b2 b3 bn 3 2 ?1

当 k ? 2 时,

1 2 k ?1

?

2 k ? 1 ?1 (2 k ? 1)( 2 k ? 1 ? 1)

?

2k ?1 (2 k ? 1)( 2 k ? 1 ? 1)

? 2(

1 2 k ?1

?

1 2 k ? 1 ?1

)

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法 1:∴ 1 ?

1 1 ??? n 3 2 ?1

? 1 ? 2[(

1 1 1 1 1 1 ? 3 )?( 3 ? 4 ) ??? ( n ? n ?1 )] 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
2

1 1 5 ? 1 ? 2( ? n ?1 ) ? 3 2 ?1 3
∴ (1 ?

1 1 1 1 10 )(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) ? a1 a2 a3 an 3
1 1 1 2 ? 3 ?? n ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3
2

法 2:原不等式只需证:

n 2 3 n ?1 n ?1 n?2 ? 3 ? 2 n?2 ∵ n ? 2 时, 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2

∴ ∴

1 1 1 ? ? ( ) n?2 2 ?1 3 2
n

1 1 1 1 1 1 1 1 2 ? 3 ?? n ? [1 ? ? ? ? ( ) n?2 ] ? ? ? 1 3 2 2 3 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3 1? 2
2

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