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山东省济宁市2015届高考数学专题复习 第26讲 平面向量的数量积练习 新人教A版



第三节

平面向量的数量积

[考情展望] 1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算, 向量垂直条件与数量积的 性质.2.以平面向量数量积为工具,与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题,主 要考查运算能力及数形结合思想.

一、平面向量的数量积 1.数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ ,

则向量 a 与 b 的数量 积是数量|a||b|cos θ ,记作 a?b,即 a?b=|a||b|cos θ .规定:零向量与任一向量的数 量积为 0. 2.向量的投影:设 θ 为 a 与 b 的夹角,则向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cos θ ;向 量 b 在 a 方向上的投影是|b|cos θ . 3. 数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 二、平面向量数量积的运算律 1.交换律:a?b=b?a; 2.数乘结合律:(λ a)?b=λ (a?b)=a?(λ b); 3.分配律:a?(b+c)=a?b+a?c. 三、平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. 结论 模 数量积 夹角 几何表示 |a|= a?a 坐标表示 |a|= x1+y1
2 2

a?b=|a||b|cos θ a?b cos θ = |a||b| a?b=0

a?b=x1x2+y1y2
cos θ =

x1x2+y1y2 2 2 2 x +y1 ? x2+y2
2 1

a⊥b 的充
要条件 |a?b|与 |a||b|的关 系

x1x2+y1y2=0

|a?b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等 号成立)

|x1x2+y1y2|≤ x1+y1? x2+y2

2

2

2

2

1.已知 a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则(b?c)a 等于( A.(26,-78) C.-52 【解析】 ∵b?c=4?2+6?3=26, B.(-28,-42) D.-78

)

∴(b?c)a=(26,-78). 【答案】 A 2.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a?b=2,则 a 与 b 的夹角为( A. C. π 6 π 3 B. D. π 4 π 2 )

【解析】

向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a?b=2,

a?b 1 π 设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ = = ,∴θ = . |a|?|b| 2 3
【答案】 C 3.已知向量 a,b 和实数 λ ,下列选项中错误的是( A.|a|= a?a C.λ (a?b)=λ a?b 【解析】 【答案】 B 4.已知向量 a,b 满足 a?b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=( A.0 C.4 【解析】 B.2 2 D.8 ∵|a|=1,|b|=2,a?b=0
2 2

)

B.|a?b|=|a|?|b| D.|a?b|≤|a|?|b|

|a?b|=|a||b||cos θ |,故 B 错误.

)

∴|2a-b|= 4a -4a?b+b = 4+4=2 2. 【答案】 B

→ → 5.(2013?湖北高考)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD 方 向上的投影为( A. 3 2 2 ) B. 3 15 2

3 2 C.- 2

3 15 D.- 2

【解析】 3 2 = . 2

→ → AB?CD 15 → → → → 由已知得AB=(2,1), CD=(5,5), 因此AB在CD方向上的投影为 = → |CD| 5 2

【答案】 A 6.(2013?课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b, 若 b?c=0,则 t=________. 【解析】 |a|=|b|=1, 〈a,b〉=60°.

1 t 2 ∵c=ta+(1-t)b, ∴b?c=ta?b+(1-t)b =t?1?1? +(1-t)?1= +1-t=1 2 2 - . 2 ∵b?c=0,∴1- =0,∴t=2. 2 【答案】 2

t

t

考向一 [077] 平面向量数量积的运算 → → (1)(2012?浙江高考)在△ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=3,BC=10, 则AB?AC= ________. → → (2)(2012?北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则DE?CB的 → → 值为________;DE?DC的最大 值为________. → → → → → 【思路点拨】 (1)把AB,AC用AM,MB或MC表示; (2)建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示.或用数量积的几何意义求解 → → → → → → → → 【尝试解答】 (1)如图所示,AB=AM+MB,AC=AM+MC=AM-MB,

→ → → → → → →2 →2 → 2 → 2 ∴AB?AC=(AM+MB)?(AM-MB)=AM -MB =|AM| -|MB| =9-25=-16. (2)

法一 如图所示,以 AB,AD 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系,由于 正方形边长为 1, 故 B(1,0),C(1,1),D(0,1). 又 E 在 AB 边上,故设 E(t,0)(0≤t≤1). → → 则DE=(t,-1),CB=(0,-1). → → 故DE?CB=1. → 又DC=(1,0), → → ∴DE?DC=(t,-1)?(1,0)=t. → → 又 0≤t≤1,∴DE?DC的最大值为 1. → → 法二 ∵ABCD 是正方形,∴DA=CB. → → → → → → ∴DE?CB=DE?DA=|DE||DA|cos∠EDA → → → → → 2 =|DA||DE|cos∠EDA=|DA|?|DA|=|DA| =1. → → → → 又 E 点在线段 AB 上运动, 故为点 E 与点 B 重合时, DE在DC上的投影最大, 此时DC?DE= 2 → → |DC||DE|cos 45°= 2? =1. 2 → → 所以DE?DC的最大值为 1. 【答案】 (1)-16 ( 2)1 1 规律方法 1 1.平面向量的数量积的运算有两种形式,一是依据长度与夹角,二是利用 坐标来计算. → 2.要有“基底”意识,关键用基向量表示题目中所求相关向量,如本例?1?中用AM 、 →

MB 表示AB 、AC 等.注意向量夹角的大小,以及夹角 θ =0°,90°,180°三种特殊情形.
π 对点训练 (1)(2013?江西高考)设 e1,e2 为单位向量, 且 e1,e2 的夹角为 ,若 a= 3





e1+3e2,b=2e1,则向量 a 在 b 方向上的投影为________.
→ → → → → → (2)(2014?济南模拟)在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 设BC=2BD, CA=3CE, 则AD?BE= ________. 【解析】 (1)由于 a=e1+3e2,b=2e1,

1 2 所以|b|=2,a?b=(e1+3e2)?2e1=2e1+6e1?e2=2+6? =5, 2 所以 a 在 b 方向上的投影为|a|?cos?a,b?=

a?b 5 = . |b| 2

(2)

→ → → → ∵BC=2BD,CA=3CE, ∴点 D 是线段 BC 的中点, 点 E 是线段 CA 的三等分点, → → 以向量AB,AC作为基向量, → 1 → → → 2→ → ∴AD= (AB+AC),BE= AC-AB, 2 3 2→ → → → 1 → → ∴AD?BE= (AB+AC)?( AC-AB) 2 3 1→2 1→2 1→ → = AC - AB - AB?AC, 3 2 6 → → 又|AB|=|AC|=1, π → → 且〈AB,AC〉= . 3 π 1 → → 1 1 1 → → ∴AD?BE= - - |AB||AC|cos =- . 3 2 6 3 4 5 【答案】 (1) 2 1 (2)- 4

考向二 [078] 平面向量的夹角与垂直 (1)(2013?安徽高考)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹 角的余弦值为________. → → → → → (2)(2013?山东高考)已知向量AB与AC的夹角为 120°,且|AB|=3,|AC|=2.若AP= → → → → λ AB+AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________. 【思路点拨】 (1)由|a|=|a+2b|平方得出 a?b,然后代入夹角公式 cos〈a,b〉=

a?b 求解. |a||b|
→ → → → → (2)把BC转化为AC-AB,再通过AP?BC=0 求解. 【尝试解答】 (1)由|a|=|a+2b|, 两边平方, 得|a| =(a+2b) =|a| +4|b| +4a?b,
2 2 2 2

a?b -|b|2 1 所以 a?b=-|b| .又|a|=3|b|,所以 cos〈a,b〉= = 2 =- . |a||b| 3|b| 3
2

→ → → → (2)∵AP⊥BC,∴AP?BC=0.

→ → → → → → 又AP=λ AB+AC,BC=AC-AB, → → → → ∴(λ AB+AC)(AC-AB)=0, → → →2 →2 即(λ -1)AC?AB-λ AB +AC =0, → → ∴(λ -1)|AC||AB|cos 120°-9λ +4=0. 7 ? 1? ∴(λ -1)?3?2??- ?- 9λ +4=0.解得 λ = . 12 ? 2? 1 【答案】 (1)- 3 规律方法 2 7 (2) 12

1.当 a,b 以非坐标形式给出时,求〈a,b〉的关键是借助已知条件求出

|a|、|b|与 a?b 的关系. 2.?1?非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b ?a?b = 0 ?|a + b| = |a - b| ?x1x2 + y1y2 = → → → 0.?2?本例?2?中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC 表示成AC -AB ,导致求解 受阻. 对点训练 (1)已知 a,b 都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 ________. (2)已知 a 与 b 为两个不共 线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, 则 k=________. 【解析】 (1)由|a|=|b|=|a-b|得,|a| =|b| ,|b| =a -2a?b+b ,所以 a?b
2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 2 2 2 2 = a .而|a+b| =|a| +2a?b+|b| =2|a| +2? |a| =3|a| ,所以|a+b|= 3|a|. 2 2

设 a 与 a+b 的夹角为 θ , 则 cos θ = 所以 θ =30°.

a??a+b? 3 = = , 由于 0°≤θ ≤180°, 2 |a||a+b| 2 3|a|

a2+ a2

1 2

(2)∵a 与 b 是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1. 又 ka-b 与 a+b 垂直,∴(a+b)?(ka-b)=0, 即 ka +ka?b-a?b-b =0. ∴k-1+ka?b-a?b=0. 即 k-1+kcos θ -cos θ =0.(θ 为 a 与 b 的夹角) ∴(k-1)(1+cos θ )=0.又 a 与 b 不共线, ∴cos θ ≠-1,∴k=1. 【答案】 (1)30° (2)1 考向三 [079] 平面向量的模及其应用 (1)(2014?威海模拟)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),
2 2

且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( A. 5 C.2 5

) B. 10 D.1 0

→ → (2)(2014?郑州模拟)已知OP=(cos θ ,sin θ ),OQ=(1+sin θ ,1+cos θ ),其 → → 中 0≤θ ≤π ,求|PQ|的取值范围及|PQ|取得最大值时 θ 的值. 【思路点拨】 (1)由 a⊥c 求 x 的值,由 b∥c 求 y 的值,求 a+ b,求|a+b|. → → → → 2 (2) PQ=OQ-OP → |PQ| → 借助恒等变换求解 【尝试解答】 (1)∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 由 a⊥c 得 a?c=0,即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c 得 1?(-4)-2y=0,∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2). ∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 3 +?-1? = 10. 【答案】 B → → → (2)∵PQ=OQ-OP=(1+sin θ -cos θ ,1+cos θ -sin θ ), ∴|P Q | =(1+sin θ -cos θ ) +(1+cos θ -sin θ ) =4-4sin θ cos θ =4-2sin 2θ . ∵0≤θ ≤π ,∴-1≤sin 2θ ≤1, → 2 → ∴|PQ| ∈[2,6],∴|PQ|∈[ 2, 6]. 3π → 当 sin 2θ =-1,即 θ = 时,|PQ|取得最 大值. 4 规律方法 3 1.x1y2-x2y1=0 与 x1x2+y1y2=0 不同, 前者是 a=?x1, y1,z1?, b=?x2,
2 2



2

2

2

y2,z2?共线的充要条件,而后者是它们垂直的充要条件.
2.求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑: ?1?利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向 量 ,再利用余弦定理等方法求解; ?2?利用公式 |a|= a?a 及?a±b? = |a| ±2a?b +|b| 把长度问题转化为数量 积的运算问题解决. 对点训练 (1)(2012?安徽高考 )设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a +c)⊥b, 则|a|=________. (2)已知向量 a=(sin θ ,1),b=(1,cos θ ),- ①若 a⊥b,则 θ =________. π π <θ < . 2 2
2 2 2

②若|a+b|的最大值为 2+1,则 θ =________. 【解析】 (1)a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).

∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)?b=(3,3m)?(m+1,1)=6m+3=0, 1 ∴m=- .∴a=(1,-1),∴|a|= 2. 2 (2)①由 a⊥b 得 sin θ +cos θ =0,∴tan θ =-1. π π π ∵- <θ < ,∴θ =- . 2 2 4 π? ? 2 2 2 2 ② |a + b| = a + 2a?b + b = sin θ + 1 + 2 2 sin ?θ + ? + cos θ + 1 = 3 + 2 2 4? ? π? ? sin?θ + ?. 4? ? π π ∵- <θ < , 2 2 π π 3π ∴- <θ + < . 4 4 4 π π π 2 ∴当 θ + = ,即 θ = 时.|a+b| 最大为 3+2 2,而 3+2 2= 2+1.∴|a 4 2 4 π +b|取最大值 2+1 时,θ = . 4 【答案】 (1) 2 π (2)- 4 π 4

易错易误之九 忽略向量共线条件致误 ———— [1 个示范例] ———— [1 个防错练] ———

(2014?广州模拟)已知 a=(1,2),b=(1,1),且 a 与 a+λ b 的夹角为锐角, 则实数 λ 的取值范围为________. 【解析】 ∵a 与 a+λ b 均为非零向量,且夹角为锐角,

∴a?(a+λ b)>0, 即(1,2)?(1+λ ,2+λ )>0, 5 ∴(1+λ )+2(2+λ )>0,∴λ >- , 3 当 a 与 a+λ b 共线时,存在实数 m,使 a+λ b=ma, 此处在求解时,常因忽略“a 与 a+λ b 共线”的情形致误,出现错误的原因是误认为

a?b>0 与〈a,b〉为锐角等价.
即(1+λ ,2+λ )=m(1,2),
?1+λ =m ? ∴? ? ?2+λ =2m

,∴λ =0,

即当 λ =0 时,a 与 a+λ b 共线.
? ? 5 ? 综上可知,λ 的取值范围为?λ ?λ >- 且λ ≠0 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

【防范措施】 角为锐角或 0°.

1.a,b 的夹角为锐角并不等价于 a?b>0,a?b>0 等价于 a 与 b 夹

2.依据两向量的夹角 θ 求向量坐标中的参数时,要注意 θ =0°或 180°的情形.其中 cos 0°=1>0,cos 180°=-1<0.) 已知 a=(2, -1), b=(λ , 3), 若 a 与 b 的夹角为钝角, 则 λ 的取值范围是________. 【解析】 3 由 a?b<0,即 2λ -3<0,解得 λ < . 2

3 又当 a∥b 时,λ =-6,故所求 λ 的范围为 λ < 且 λ ≠-6. 2
? ? 3 ? 【答案】 ?λ ?λ < 且λ ≠-6 2 ? ? ? ? ? ? ? ?



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