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高三月考(数学理)



郑州市第四十七中学高三第一次月考试题
数 学(理科) 2011.9

数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 3.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 复数 A. 1 ? 2i

3?i 等于 1? i



) C. 2 ? i D. 2 ? i

B. 1 ? 2i

2. 集合 A ? {x | y ? 3 ? x 2 .x ? R}, B ? { y | y ? x 2 ? 1.x ? R}, 则 A ? B =( A. {(? 2,1),( 2,1)} C. {z | ?1 ? z ? 3} 3.曲线 y ? B.

?




D. {z | 0 ? z ? 3}

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为( 2x ?1
B. x-y=0 C.x+4y-5=0

A. x+y-2=0
?
2

D. x-4y-5=0[.C

4.

? ? (1 ? cos x)dx 等于(
? 2

) C. π-2 ) D. 2

A. π

B. π+2

5.下列有关命题的说法正确的是(

A. 命题“若 a,b 是 N 中的两不同元素,则 a+b 的最小值为 0”的逆否命题是假命题. B. “x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件. C. 命题“?x∈R”使得“x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有“x2+x+1>0”. D. 命题“若-a ? N,则 a∈N”的否命题是真命题. 6.高三(1)班要从 3 名男生,3 名女生中选出 3 人分别担任数学、物理、化学课代表,要求 至少有一名女生,则不同的选派方案有( A.54 B.114 C.19
-12

)种。 D.180

7.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意正数 a, b, 若 a<b,则必有( A.af(b)<bf(a) ) B.bf(a) <af(b) C.af(a)<bf (b) D.bf(b) <a f(a) ( )

? 1 x 8.设函数 f ( x) ? ? 2 ? ( ) ( x ? 0) ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是 ? 2 ? lg( x ? 1)( x ? 0) ?
A. ?? ?,?1? ? ?9,?? ? B. (??,9) C. ?? 1,9 ? D. ?? 1,0 ?

0.3 9.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 ( x ? 2) f ?( x) ? 0 ,又 a ? f ( lo g 3) , b ? f (( ) ) , 1

2

1 3

c ? f (ln 3) ,则(
A. a ? b ? c

) B. b ? c ? a
x ?x

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

10 . 若 函 数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a

(a ? 0, a ? 1) 在 R 上 既 是 奇 函 数 , 又 是 减 函 数 , 则

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是(

)

11、设函数 f ( x) ? x ? sin x ,若 x1 , x2 ? [ ? 的是( A、 x1 ? x2 ) B、 x1 ? x2

? ?

, ] ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则下列不等式恒成立 2 2
D、 x12 ? x22

C、 x1 ? x2 ? 0

12.给出定义:若函数 f ( x ) 在 D 上可导,即 f ?( x ) 存在,且导函数 f ?( x ) 在 D 上也可导,则称

f ( x) 在 D 上存在二阶导函数,记 f ??( x) ? ? f ? ? x ? ?? ,若 f ??( x) ? 0 在 D 上恒成立,则称

? ?? f ( x) 在 D 上为凸函数。以下四个函数在 ? 0, ? 上不是凸函数的是( ? 2?
A. f ( x) ? sin x ? cos x C. f ( x) ? ? x3 ? 2 x ?1 B. f ( x) ? ? xe? x D. f ( x) ? ln x ? 2 x



二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
-2-

13. ( x -

1 16 ) 的二项展开式中第 4 项是 2x



14. 设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) ? ______.

5 2

?2 x?2 ? , 15.已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则数 k 的取 ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
值范围是_______ 16.已知二元函数 f ( x, y ) 满足下列关系: ① f ( x, x ) ? x ② f (kx, ky ) ? kf ( x, y ) ( k 为非零常数) ③ f ( x1 , y1 ) ? f ( x2 , y2 ) ? f ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ④ f ( x, y ) ? f ( y ,

2x ? y ) 3


则 f ( x, y ) 关于 x, y 的解析式为 f ( x, y ) ?

三解答题(共 6 小题,共 70 分)解答过程应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,并写在 答题卷相应的位置上. 17. (本小题满分 12 分) 给定两个命题: p :对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立; q :关于 x 的方程
x 2 ? x ? a ? 0 有实数根;如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

18、 (本题满分 12 分) 某品牌的汽车 4S 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如右表所示: 付款方式 频数 分l期 40 分2期 20 分3期 a 分4期 10 分5期 b

已知分 3 期付款的频率为 0.2 ,4S 店经销一辆该品牌的汽车,顾客分 1 期付款,其利润 为 1 万元; 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元; 4 期或 5 期付款, 分 分 其利润为 2 万元. 用 ? 表示经销一辆汽车的利润. (Ⅰ)求上表中 a,b 的值; (Ⅱ)求? 的分布列及数学期望 E? .

19. (本小题满分 12 分) 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台, 每批都购入 x 台 (x
-3-

是正整数) ,且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书 桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元, 现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f ( x); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

20. (本小题 12 分)
a . x ⑴讨论函数 f ( x) 的单调区间;

已知函数 f ( x) ? ln x ?

3 ⑵若函数 f ? x ? 在 ?1 , e? 上的最小值是 , 求 a 的值. 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ( x ? 1) . x ?1

(1)若函数 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围;
? (2)设 m, n ? R , 且m ? n, 求证 :

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2

22. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 . (1)解不等式 f ( x) ? 2 ; (2)求函数 y ? f ( x) 的最小值.

郑州四十七中第一次月考理科数学答案 1-12 D C A B B A A C D A D B
-4-

13. 14. ?

T4 = - 70x10
1 2

15. (0,1) 16.

2 3 x? y 5 5

17. (本小题满分 10 分) 解:对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立
?a ? 0 ? a ? 0或? ? 0 ? a ? 4 ;………………………………………………2 分 ?? ? 0

关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?
1 4 1 4

1 ;……………4 分 4

如果 p 正确,且 q 不正确,有 0 ? a ? 4, 且a ? ? ? a ? 4 ;……………6 分 如果 q 正确,且 p 不正确,有 a ? 0或a ? 4, 且a ? 1 ? a ? 0 .…………8 分
4

所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? 1 ,4 ? ……………………………………10 分 ? ?
?4 ?

18、 (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由

a ? 0.2得a ? 20 100
∴b=10 …………4 分

∵40+20+a+10+b=100

(Ⅱ)记分期付款的期数为 ? ,依题意得

40 20 ? 0.4, P(? ? 2) ? ? 0.2, P(? ? 3) ? 0.2 100 100 10 10 P(? ? 4) ? ? 0,1, P(? ? 5) ? ? 0.1 …………8 分 100 100 ? ? 的可能取值为:1,1.5,2(单位万元) P(? ? 1) ?

P(? ? 1) ? P(? ? 1) ? 0.4 P(? ? 1.5) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.4 P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? P(? ? 5) ? 0.1 ? 0.1 ? 0.2 …………………..10 分
? ? 的分布列为 ? 1
P 0.4 1.5 0.4 2 0.2

? ? 的数学期望 E? ? 1? 0.4 ? 1.5 ? 0.4 ? 2 ? 0.2 ? 1.4 (万元)…………12 分
19.解: (1)设题中比例系数为 k ,若每批购入 x 台,则共需分 由题意 f ( x) ?

36 批,每批价值为 20 x 元, x

36 ? 4 ? k ? 20 x x

………………………………………………4 分

-5-

由 x ? 4 时, y ? 52 得 k ?

16 1 ? 80 5

………………………………………………6 分

144 ? 4 x (0 ? x ? 36, x ? N* ) ……………………………………………8 分 x 144 ? 4 x (0 ? x ? 36, x ? N* ) (2)由(1)知 f ( x ) ? x ? f ( x) ?

? f ( x) ? 2
当且仅当

144 ? 4 x ? 48 (元) ………………………………………………10 分 x

144 ? 4x ,即 x ? 6 时,上式等号成立. x

故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用.………………………………………12 分

21.解: (I) f ?( x) ?

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ? x ( x ? 1)2

( x ? 1)2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? . x( x ? 1)2 x( x ? 1)2 因为 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数, 所以 f ?( x) ? 0在(0, ??) 上恒成立. ?

-6-

即x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0在(0, ??)上恒成立. 当x ? (0, ??)时,由x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0, 1 得2 a ? 2 ? x ? . x 1 设g ( x) ? x ? , x ? (0, ??). x 1 1 g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2. x x 1 所以当且仅当x ? , 即x ? 1时, g ( x)有最小值2. x 所以2a ? 2 ? 2. 所以 a 的取值范围是 (??, 2]. 所以a ? 2. m?n m?n 要证 ? , ln m ? ln n 2 m m ?1 ?1 n n 只需证 ? , m 2 ln n m m 2( ? 1) 2( ? 1) m m n 即证 ln ? . 只需证 ln ? n ? 0. m m n n ?1 ?1 n n 2( x ? 1) 设h( x) ? ln x ? . x ?1 m 由(I)知 h( x)在(1, ??) 上是单调增函数,又 ? 1 , n m 所以h( ) ? h(1) ? 0. n m 2( ? 1) m 即 ln ? n ? 0成立. m n ?1 n m?n m?n ? . 所以 ln m ? ln n 2
22.选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 . (1)解不等式 f ( x) ? 2 ;

y
(2)求函数 y ? f ( x) 的最小值. 22.解: (1)令 y ? 2x ?1 ? x ? 4 ,则
-7-

y?2

O 1 ? 2

4

x

1 ? x≤? , ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? y ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4, ... 分 ....3 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?
作出函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 (?7, 和 ? ,? . 2) 2

?5 ?3

? ?

所以 2x ?1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 (? x, 7) ? ? , x ? .………….5 分 ? ? (2)由函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图像可知,当 x ? ? 小值 ?

?5 ?3

? ?

1 时, y ? 2x ?1 ? x ? 4 取得最 2

9 2
………………. .10 分

-8-



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