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【数学】3.2《一元二次不等式2》课件(苏教版必修5)



第2课时

三个“二次”的基本关系:
? ? b ? 4ac
2

??0
y
O

y
x1 x2

??0

y

??0

y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0)的图象

r />方程ax 2 ? bx ? c=0的根
二 次 不 等 式 解 集

x

O

x

O

x

? b ? b 2 ? 4ac x1、 2= 2a

b x1=x2 ? ? 2a
b? ? x | x ? R , x ? ? ? ? 2 a ? ?

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x | x ? x1或x ? x2 ?

R

?x | x1 ? x ? x2 ?

?

?

练习:解下列不等式.

(1)30 ? 7 x ? 2 x ? 0
2

(2)3 x ? 5 x ? 4 ? 0
2
2 2 (1 ) 原不等式变为 2 x 7x (3)6 x ? x ? 2 ? ? 0? 30 ? 0即(2 x ? 5)( x ?

5 (1) ?. 不等式解集为{x x ? ? 或x ? 6} 2 (3 )R 原不等式变为(3x ? 2)( 2 x ? 1) ? 0 (2) .

2 1 ?. 不等式解集为{x ? ? x ? } (3) 3 2

例1:解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0 2 2 解:? ? (a ? 1) ? 4a ? (a ? 1)
(1)当a ? 1时 ,? ? 0, 原 不 等 式 即 为 x 2 ? 2x ? 1 ? 0, 其 解 集 为 {x x ? 1}

分类讨论
变形1:解关于x的不等式 x2-ax - (a+1) >0
引申1:解关于x的不等式 ax2-(a+1)x+1>0 (a≠0)

变形2:求函数

y ? lg( x ? 5x ?14) 的定义域。
2

2

(??,?2) ? (7 ,??)
引申2:若y 范围。

? lg( x ? 5x ? b) 的定义域为R,求b
25 b ? ( ? ?,? ) 4

拓展:若 y ? lg( x 围。

2

? 5x ? b) 的值域为R,求b范

注:

解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨
论的标准有:

1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;

例 2 用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积 大 于 600 m 2 矩形吗 ?当长、宽分别为多少米 时, 所围 成的矩形的面积最大 ? 解 设矩形的一边长为 x?m?, 则另一边的长为 50 ? x?m?,0 ? x ? 50.由题意, 得 x?50 ? x? ? 600, 即 x2 ? 50x ? 600 ? 0 .解得 20 ? x ? 30 . 所以,当矩形的一边长在 ?20,30?的范围内取值时 ,能
围成一个面积大于 600m2 的矩形 .

用S表示矩形的面积 , 则
2

当x ? 25时, S取得最大值 , 此时 50 ? x ? 25.即当矩形

S ? x?50 ? x? ? ??x ? 25? ? 625 ?0 ? x ? 50?.

长、宽都为 25m时, 所围成的矩形的面积最 大.

日销货量 x 件与货价 p ?元 / 件 ? 之间 的关系为 p ? 160 ? 2 x 生产 x 件所需

例3

某小 型服装厂生产一种风衣 ,

成本为 C ? 500 ? 30 x 元,问 : 该厂日 产量多大时,日获利不少于 1300 元 ? 解 由题意, 得 ?160? 2 x?x ? ?500? 30x? ? 1300.
化简 得 x ? 65x ? 900 ? 0 , 解得 20 ? x ? 45.
2

因此 , 该厂日产量在 20件至 45件时 , 日获利不少于 1300元.

例 4 汽车在行驶中,由于惯性的作用 , 刹车后还要继续向前滑 行一 段距离才能停住 , 我们称这段距离为" 刹车距离".刹车距离是分析事 故的一个重要因素. 在一个限速为 40km / h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而 行, 发现情 况不对,同时刹车, 但还是相碰了.事后现 场勘查测得甲车的刹车 距 离略超过 12m,乙车的刹车距离略超过 10m, 又知甲、乙两种车型的 刹车距离 s?m ?与车速 x?km / h ? 之间分别有如下关系 : s甲 ? 0.1 x ? 0.01 x 2 , s乙 ? 0.05 x ? 0.005 x 2 .问 :甲乙两车有无超速现象 ?

解 由题意知 , 对于甲车 , 有0.1x ? 0.01x2 ? 12, 即x2 ? 10x ? 1200? 0,
解得 x ? 30或 x ? ?40?不合实际意义 , 舍去?, 这表明甲车的车速超过
30km / h.但根据题意刹车距离略 超过 12m,由此估计甲车车速不会

解得 x ? 40或 x ? ?50?不合实际意义 , 舍去?, 这表明乙车的车速超过
40km / h, 超过规定限速 .

对于乙车 , 有0.05x ? 0.005x2 ? 10, 即x2 ? 10x ? 2000? 0,

超过限速 40km / h.

例5 关于x的二次不等式a2x2+6ax+9-b2 ≤ 0 的解集是[-1,2],求a,b
解:依题意知方程a2x2+6ax+9—b2=0

的两根为—1,2.


? 6a a ? ? 6 a ? ? 6 ? ? ? ? ? 1 ? 2 2 ? 解得: 或? ? ? a ? ?b ? 9 ?b ? ?9 2 ? 9 ? b ? ?1 ? 2 2 ? ? a

含参不等式恒成立的问题
知识概要
(1)二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? (2)二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ?

例题:已知关于x的不等式:
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立, 试求a的取值范围.
解:由题意知: ①当a -2=0,即a =2时,不等式化为 1 ≥ 0,它恒成立,满足条件. ②当a -2≠0,即a ≠2时,原题等价于 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 即? 2 ( a ? 2) ? 4( a ? 2) ? 0 ? ?(a ? 2)(a ? 6) ? 0

(3)二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 ?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ? (4)二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立

?a ? 2 即? ?2 ? a ? 6

所以2 ? a ? 6

?a ? 0 ?? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0

综上: 2 ? a ? 6

1.化不等式为标准式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<O(a>0)
2.计算?的值,确定方程 ax2 ? bx ? c ? 0的根的情况

3.根据图象写出不等式的解集

作业:73页 第1、2题
思考题: 1、若方程x2 +mx+n=0无实数根,则不等式x2 +mx+n>0的 解集是 . R
2、已知不等式ax 2 ? bx ? 2 ? 0的解是 ? 1 2
?

-12 -2 则a ?       ; b ?     .  

x?1 , 3

3、若不等式x 2 ? ax ? (a ? 3) ? 0的解集是?,则实数   a的取值范围是 -2≤ ≤6 .

a

备选题
解关于x的不等式x2 + 5ax + 6 > 0
解:由题意,得:⊿=25a2-24 2 2 2 1.当⊿=25a -24>0 , 即a ? 6或a ? ? 6时 5 5 解集为: ? ? 5a ? 25a 2 ? 24 ? 5a ? 25a 2 ? 24 ? ? ?
2 2.当⊿=25a -24=0 , 即 a ? ? 6时 5 5 ? 解集为: ? ? x x ? R且x ? ? a ?
? 2 ?;
?x x ? ? ? 2 2 或x ? 2

? ? ?;

3.当⊿=25a2-24<0, 解集为:R.

2 2 即? 6 ?a? 6时 5 5

变式1.

x2 + 5ax + 6a2 > 0

解:因式分解,得:(x+3a)(x+2a) > 0, 方程(x+3a)(x+2a) =0的两根为-3a、-2a. ①当-3a >-2a 即a <0时, 解集为:{x︱x>-3a 或 x<-2a};

②当-3a =-2a 即a =0时, 原不等式为 x2>0
解集为:{x︱x∈R且x≠0}; ③当-3a <-2a 即a >0时, 解集为:{x︱x> -2a 或 x< -3a}. 综上: 当a <0时,解集为:{x︱x> -3a或x< -2a}; 当a =0时,解集为: {x︱x∈R且x≠0}; 当a >0时,解集为:{x︱x> -2a或x< -3a}.

变式2.

ax2 + (6a+1)x + 6 > 0

? ? 1 解集为 : ? x x ? ? 或x ? ?6? a ? ?

一、当a=0时, 解集为?x | x ? ?6? 二、当a≠0时,
因式分解,得 :?ax ? 1??x ? 6? ? 0

1 1 当 ? ? ?6, 即a ? 时 a 6

1 ⑵ 当 ? ? ?6, 即a ? 时 方程?ax ? 1?? x ? 6? ? 0的两 根 为? ,?6 a 6 a 1 解集为 : x x ? R或x ? ?6 ①当a<0时,? ? 0, a 1 1 ? 1? ⑶ 当 ? ? ?6, 即0 ? a ? 时 解集为? x ? 6 ? x ? ? ? a 6 a? ? 1 ? 1?

1

1

?

?

? ?0 ②当a>0时, a

解集为 : ? x x ? ?6或x ? ? ? a? ?

∴综上,得
2.当a ? 0时,解集 为?x x ? ?1?;
1 4.当a ? 时,解集 为?x x ? R且x ? ?6?; 6

? 1? 1.当a ? 0时,解集为 ?x ? 6 ? x ? ? ? a ?; ?

? 1 1? 3.当0 ? a ? 时, 解 集为? x x ? ?6或x ? ? ? 6 a ?; ?

? ? 1 1 5.当a ? 时,解集为 x x ? ? 或 x ? ? 6 ? ? 6 a ? ?.



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