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微观经济学课件5



5

消费者最优选择

?在分别对消费者偏好和预算约束进行考察之 后,本章将二者结合在一起,从经济学上考 察消费者最优选择及其均衡条件。 ?从数学上看,确定消费者均衡就是求解下述 约束条件极值:

Maxu ? u ( x1 , x2 ) s.t. p1 x1 ? p2 x2 ? m

5.1 x2



?一定价格与收入水平下的 最优选择---消费者均衡 商品1和商品2的最优选择, 称作消费者需求。
?不同价格下,消费者需求 束组合就是需求函数。 ?表示为:x1*(p1,p2,m) and x2*(p1,p2,m)

More preferred bundles

x2*
Affordable bundles MU1 P1 x * 1 ?
p2

?x1* > 0 and x2* > 0称作内 点解
?从几何上看,消费者的均 衡的条件是边际替代率等于 预算线的斜率,这表明消费 者消费两种商品的边际效用 之比必须等于商品的价格之 比。

MU 2

x1

5.1 最优选择---消费者均衡
x2
最优选择(x1*,x2*)满足 ? 全部收入都用于消费 ? 能给其带来最高效用水平的 消费束

x2*

Maxu ? u ( x1 , x2 ) s.t. p1 x1 ? p2 x2 ? m
x1* x1

5.2最优选择---实例
(一)效用函数U(x1, x2)为C-D效用函数---消费者具有
良好性状偏好,预算约束为:p1x1 + p2x2= m,求消费者需求函数。

u( x ) ? x x
a 1

b 2

1.均衡条件求解法: 根据消费者均衡的条件,边际替代率应当等于商品的价格比率。 因此可以先求出边际替代率并令其等于商品的相对价格,于是 有: a?1 b dx 2 ? U/? x1 ax1 x2 ax 2 MRS ? ?? ?? ?? . a b?1 dx1 ? U/? x 2 bx1 bx1 x2
p1 ? ? ? * p2 bx1 ax* 2 ? bp1 * * x2 ? x1 . ap 2

* x1 ?

* * p1x1 ? p 2x 2 ? m.

am . ( a ? b )p1 bm * x2 ? . ( a ? b )p 2

2.非约束最大化求解法: ? 根据预算约束p1x1 + p2x2 = m求出x2并将其带入目标函数, 可以得到一个新的包含约束条件的目标效用函数,即
a b u( x ) ? x1 x2

求这一效用函数的一阶导数并令其为零得:

* x1 ?

am . ( a ? b )p1 bm * x2 ? . ( a ? b )p 2

? 3.约束条件极值求解法--根据目标函数和约束条 件p1x1 + p2x2 = m建立拉格朗日函数,即:

u( x ) ? x x
a 1

b 2

a b L( x1 , x2 , ? ) ? x1 x2 ? ? (m ? p1 x1 ? p2 x2 )

?L ?u ( x) ? ? ?p1 ? 0 ?x1 ?x1 ?L ?u ( x) ? ? ?p 2 ? 0 ?x 2 ?x2

(1) ( 2) (3)

?L ? m ? p1 x1 ? p2 x2 ? 0 ??

a 需 x ? a ? b 求 函 x* ? b 2 a?b 数:
* 1

m p1 m p2

5.2最优选择---实例
用图形找最优选择:绘制出无差异曲线和预算线,然后找出预 算线与最高无差异曲线的接触点,该接触点的商品束组合就是 最优选择。

(二)完全替代品(角点解)

x2

无差异曲线
m ? ? ?x , x ? ? ? ? p ,0 ? ?
* 1 * 2

x2
?
1

无差异曲线

?

?

? m? x ,x ?? ? 0, p ? ? 2 ? ?
* 1 * 2

?

预算线 x1
MRS12 ? p1 p2 MRS12 ? p1 p2

预算线 x1

?x , x ? ? ??x , x ? | p x ? p x ? m, 且x , x ? 0?
* 1 * 2 1 2 1 1 2 2 1 2

小节
MRS12 ? p1 p2

预算线 无差异曲线

当边际替代率的绝对 值大于预算线的斜率 的绝对值时,最优选 择位于横轴;反之, 最优选择处于纵轴。 如果边际替代率的斜 率等于预算线的斜率 ,将不存在唯一的最 优选择。

5.2最优选择---实例
(三)完全互补品

x2

p1x1* + p2x2* = m x2* = ax1*
* x1

m am * ? ; x2 ? . p1 ? ap2 p1 ? ap2

x2* x1* U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1 x1

5.2最优选择---实例
(四)凹偏好

?消费者不认为平均消费束比极端消费束更好。

x2

最优选择

x1

6.需 求—比较静态分析
? 本章主要是利用消费者的最优选择进行比较静态分 析,分别考察收入和价格变化对消费者均衡的影响, 并推导出恩格尔曲线和需求曲线。 ? 消费者的需求函数刻画的是在消费者面临一定的价 格和收入条件下的的最优消费数量,因此需求函数 的一般形式被表述为商品价格和收入的函数,即:

x1 ? x1 ( p1 , p2 , m) x2 ? x2 ( p1 , p2 , m)

6.1 正常商品与低档商品
? 当价格不变时,如果消费者对一种商品的需求随着收入的增 减同方向变化,这种商品就是正常商品,反之就是低档商品。 ? 或者说:

?x ? 0 时,正常商品 当 ?m
正常商品

?x ? 0 时,低档商品 当 ?m
低档商品

6.1 正常商品与低档商品
? 一种商品是否是低档商品取决于我们所考察的收入水 平。

x2

x1

6.2

收入变化、收入提供曲线和恩格尔曲线
X2 A3 A2 x2Y ’’’ 3 A1 xY 2 2’’ xY 1 2’ O
E3 E2 E1 U1 U2 U3

m变化, p1 和p2不变
? 随着收入m变化均衡点 的变动轨迹称为收入 提供(消费)曲线(收 入扩展线)。

收入提供曲线 ICC

? 随着收入m变化一 商品束需求量的变 动轨迹称为恩格尔 曲线。

X X2’’X x ’ Bx x 1 1 31’’’ B2 1 1

B3

X1

m
m3 m2 m1 O
E2 E1

EC
E3

正常品

X1

X2 X3

X1

不同偏好条件下的收入提供曲线和恩格尔曲线 (一)效用函数U(x1, x2)为C-D效用函数
? 预算约束为:p1x1 + p2x2= m,消费者具有良好性状偏好,

u( x ) ? x x
a 1

b 2

收入提供曲线

a m x ? a ? b p1
* 1

b p1 * x ? x1 a p2
* 2

b m x ? a ? b p2
* 2

效用函数U(x1, x2)为C-D效用函数
m

(a ? b ) p1 * m? x1 a
Engel curve for good 1

a m x ? a ? b p1
* 1

b m x ? a ? b p2
* 2

x1* m

恩格尔曲线

a?b * ( a ? b ) p2 * m? p1 x1 m? x2 a b Engel curve
for good 2

m?

? ?b
b

* p2 x 2

x2*

不同偏好条件下的收入提供曲线和恩格尔曲线
(二)完全替代 ? 当边际替代率的绝对值大于预算线的斜率的绝对值时,收入提供曲线 与横轴重合; ? 当边际替代率的绝对值小于预算线的斜率的绝对值时,收入提供曲线 与纵轴重合。 ? 当边际替代率的绝对值等于预算线的斜率的绝对值时,收入提供曲线 与预算线重合。 ? 当边际替代率的绝对值大于预算线的斜率的绝对值时,恩格尔曲线

m

m

m? px

* 1 1

* x 2 ? 0.

x1*
Engel curve for good 1

0

x2*

Engel curve for good 2

不同偏好条件下的收入提供曲线和恩格尔曲线 (三)完全互补

U ( x 1 , x 2 ) ? min ?ax 1 , x 2 ?
p1x1 + p2x2 = m

x2

x2 = ax1 x2* x1* x1

m x ? p1 ? ap2 am * x2 ? p1 ? ap2
* 1

m ?
m ?

* ? p1 ? ap 2 ? x 1

? p1 ? ap2 ? x
a

* 2

不同偏好条件下的收入提供曲线和恩格尔曲线 (四)相似(位似)偏好
? 对于任意两个消费束 (x1,x2), (y1,y2)如果当(x1,x2) f(y1,y2)时一 定有(kx1,kx2) f (ky1,ky2) ,那么这种性质的偏好就称作相似 偏好。 ? 以上三种偏好(完全替代、互补、C-D)都是相似偏好。

不同偏好条件下的收入提供曲线和恩格尔曲线 (五)拟线性偏好 U ( x1 , x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ? 每条无差异曲线都是一条单一无差异曲线垂直移动 得到的。

m
Engel curve For good 2

~ x
1

x1*

6.3

普通商品与吉芬商品

? 对于一种商品来说,如果当价格下降时需求增加,那么这 种商品就是普通商品。

x2

p1
普通商品

m/p1 ”

m/p1 ’

m/p1

x 1* x1

6.3

普通商品与吉芬商品

? 对于一种商品来说,如果当价格下降时需求减少, 这种商品就是吉芬商品。 x2

p1

吉芬商品

x 1*
m/p1 ” m/p1 ’ m/p1

x1

x2
A U1 U U3 2

价格(消费 )提供线

6.4

价格变化与需求曲线

? p1变化,p2 和m不变 ? p1x1 + p2x2 = m

p1 = p1’

O P
p1 ’’’ p1 ’’ p1’

X1 ’’’ X1 ’’ X1 ’

B3

p1=p1’’’

p1= p1’’

B2

B1 X1

?价格提供曲线是当价 格变动时消费者最优消 费点的均衡轨迹。
需求曲线

O
X1 ’’’ X1 ’’ X1 ’

X

?需求曲线:给出了不 同价格水平下,消费者 的商品需求量。

不同偏好条件下的价格提供曲线与需求曲线 (一)效用函数U(x1, x2)为C-D效用函数
? 预算约束为:p1x1 + p2x2= m,消费者具有良好性状偏好 ? p1变化,p2 和m不变 U ( x , x ) ? x a x b

x2

1

2

1

2

p1 价格提供曲线 p1’’’
bm x ? (a ? b ) p2 p1’’
* 2

a x ? a?b b * x2 ? a?b
* 1

m p1 m p2

需求曲线

p1’
x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’)

x1 x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*

x1*(p1’’)

不同偏好条件下的价格提供曲线与需求曲线

(二)完全替代
p1

需求曲线
m x ? p1
* 1

x2

无差异曲线
p1’’’

p1’’’

p1’
p1’’

预算线 x1

p2 = p1’’
p1’

MRS12 ?

p1 p p ? MRS12 ? 1 ? MRS12 ? 1 p2 p2 p2

?? ? ??? ?
* 0 ? x1 ?

m " p1

不同偏好条件下的价格提供曲线与需求曲线 (三)完全互补
* 1

m am * x ? x2 ? p1 ? ap2 p1 ? ap2 x2
价格提供曲线

U ( x 1 , x 2 ) ? min ?ax 1 , x 2 ?
p1x1 + p2x2 = m
p1
需求曲线

p1’’’ p1’’ p1’

x2 = ax1
x2* x1* x1

m x ? p1 ? ap2
* 1

x 1*

交叉价格影响----替代与互补
? 替代:如果商品1的价格上升时,商品2的需求 量上升,那么我们说商品1和2是相互替代关系。

?x i ( p , m )

?p j

?0

?互补:如果商品1的价格上升时,商品2的需求量 下降,那么我们说商品1和2是互补关系。

?x i ( p , m )
?无关

?p j ?x i ( p , m ) ?0 ?p j

?0

Summary
1. Income Effect 1. Income offer curve; 2. Engle curve; 3. Normal goods vs. income inferior goods; 4. Homothetic preferences. 2. Own Price Effect 1. Price Offer curve; 2. Ordinary demand curve; 3. Ordinary goods vs. Giffen Goods. 3. Cross Price Effect 1. Cross substitutes; 2. Cross complements.

习题
? 已知效用函数为U(x1,x2)=(lnx1+2lnx2)/3, p1,p2 为价格,m为收入 ? 效用最大化条件 ? 求x1和x2的需求函数 ? 当p1=p2=1时,画出x1,x2的恩格尔线,纵轴为收 入。 ? x1,x2为正常品还是低档品?普通品还是吉芬品? 替代品还是互补品。



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