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向量的加法课件(公开课获奖课件)



高中数学

2.2.1向量的加法 运算及其几何意义
高一数学 曹丽娟

学习目标:

学 习 目 标 及 重 点 难 点

理解向量的和,掌握向量加法的 三角形法则、平行四边形法则以 及向量加法的运算律。 重点: 向量的加法的三角形法则、平行 四边形法则。 难点:

向量加法定义的理解。

创 设 情 景 问 题 引 入

某同学从家中(A处)出发,向正南方向 行走500m到达超市(B处),买了文具后,又 沿着北偏东60°方向行走200m到达学校 (C处)(如图).此同学这两次位移的总效果 家 是什么? A

C
超市

学校

B

AB ? BC ? AC

已 知 向 量 a, b,求 作a ? b.
C

向 量 加 法 的 定 义

b

a?b

B

a

A

在平面任取一点A, 作AB ? a, BC ? b, 再 作 AC

则AC叫做a 与 b 的和,记作 a?b

求两个向量和的运算叫向量的加法

向 量 加 法 的 三 角 形 法 则

上述求两个向量和的作图法则,
叫做向量求和的三角形法则

要点:尾首相接,首尾相连

当向量a,b为共线向量时,作出a ? b (2)反向 思考? (1) 同向

特 殊 向 量 的 加 法

a

a

b
B A C B

b
C A

AC ? a ? b

规定:a ? 0 __ 0 ? a

?

AC ? a ? b

?a

探究?
探 究 思 考 一

实数加法有交换律,那么向量加 法是否也存在呢?
向量加法的交换律:

a ? b ? b ? a?

已知不共线向量 a, b, 作出a ? b和b ? a

向 量 加 法 的 交 换 律

b

a
D

a

C

A

.

b
b?a

.
A

a?b

C

b

a

B

已知不共线向量 a, b, 作出a ? b和b ? a

向 量 加 法 的 交 换 律

b

a
D

a

C

.
A

b

b?a

.
A

a?b

C

b

a

B

a?b ?b?a

向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则

已知不共线向量 a, b, 作出a ? b
作法:在平面内任取一点A,作 AB ? a, AD ? b, 则A,B,D三点不共线,以 AB, AD 为邻边 作平行四边形ABCD,则对角线上的向量

AC ? a ? b
A

D

C

b
a
B

上述作图法则叫两个向量求和的平行四边形法则。

要点:起点相同,邻边作形

练一练

如图,已知 a, b 用向量加法的

三角形法则作出 a ? b
a?b a a b

(1)b (2 )
b a

ab a?b

尾 首 相 接

练一练 如图,已知 a, b 用向量加法的
平行四边形法则作出 a ? b

(1) b
b

a?b a
a?b
a a

(2)

b

起 点 相 同

已知平行四边形ABCD,完成下列各题:

试一试

⑴ ⑵

AB ? BC ? AC

D

C
O

A

AB ? AD ? AC
AC ? CD ? DO ? AO
A

课 堂 练 习

B



⑷ ( BC ? CD ) ? DA ? ⑸ BC ? (CD ? DA) ?

BA BA

向量加法的结合律

探究?
探 究 思 考 二

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ?
D

a?b?c

b?c a?b

c
C

A

a
B

b

问题情境:兄弟俩同拉一箱子,合力有多大?

想一想

(1)两人齐心协力,方向相同

a
b
(2)两人意见分歧,方向不同

| a ? b |?| a | ? | b |

探 究 思 考 三

a
|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |
(3)两人背道而驰,方向相反

b

a

b

| a ? b |?|| a | ? | b ||

性质

|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |
当a、 b同向时右边取“=”; 当a、 b反向时左边取“=”
学以致用

已知 | a |? 3, | b |? 5,则 | a ? b | 的最大值
为 ,最小值为 。

例1:某人先位移向量 a : “向东走3km”,接着再

位移向量b : “向北走3km”求 a ? b. , 解:如图所示,作

B

例 题 讲 解

OA ? a ? “向东走3km”
AB ? b ? “向北走3km”
O

b
a

A

则OB ? OA ? AB ? a ? b
因为△OAB为直角三角形,所以
OB ? 32 ? 32 ? 3 2 ( km)

又因为∠AOB=450,所以a ? b表示向东北走3 2km.

2:如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以2 3 m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江 水的速度为向东2m/s. 求轮船实际航行的方向和航速。 解:如图所示
B

例 题 讲 解

在Rt△ACD中, |AC|? 2, |CD|? 2 3
? |AD|? |AC | ?|CD| ? 4
又tan?CAD ? |CD| | AC| ?
2 2

设 AB 为船向对岸行进的 垂直速度, AC 为水流速度 ,则 AD 为船实际行进速 度。

D

A

C

3 ? ?CAD ? 60?

所以船实际航行速度的大小为4m/s,方 向为东偏北60°.

思考

在上例中轮船要垂直地渡过长江, 其航向应如何确定?

变 式 思 考

要点:尾首相接,首尾相连

小 结 与 回 顾

要点:起点相同,邻边作形
a ? b ? b?a (a ? b)? c ? a ?(b ? c)
|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

作 业

1.完成课本P84页练习题

2.完成《全优课堂》P41~43
3.预习下节课的内容



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