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利用空间向量解立体几何(完整版)



向量法解立体几何
引言
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它 主要包括线线垂直, 线面垂直, 线线平行, 线面平行; 二是度量问题, 它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角 等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线 线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及 面面角的例题不多, 给

老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分 内容的题目造成一定的困难, 下面主要就这几方面问题谈一下自己的 想法,起到一个抛砖引玉的作用。

基本思路与方法
一、基本工具 1.数量积: a ? b ? a b cos ? 2.射影公式:向量 a 在 b 上的射影为
a ?b b

3.直线 Ax ? By ? C ? 0 的法向量为 ? A, B ? ,方向向量为 ? ? B, A ? 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行 ? 两线的方向向量平行 线面平行 ? 线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行 ? 两面的法向量平行 2.垂直关系
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线线垂直(共面与异面) ? 两线的方向向量垂直 线面垂直 ? 线与面的法向量平行 面面垂直 ? 两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点 P ? x1 , y1 , z1 ? 与 Q ? x2 , y2 , z2 ? 的 距离为 PQ ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 2.点线距离 求点 P ? x0 , y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离: 方法:在直线上取一点 Q ? x, y ? ,
???? PQ ? n ??? ? 则向量 PQ 在法向量 n ? ? A, B? 上的射影 n
??? ?

=

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

即为点 P 到 l 的距离. 3.点面距离 求点 P ? x0 , y0 ? 到平面 ? 的距离: 方法:在平面 ? 上去一点 Q ? x, y ? ,得向量 PQ , 计算平面 ? 的法向量 n , 计算 PQ 在 ? 上的射影,即为点 P 到面 ? 的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角 ? 两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角
??? ?

??? ?

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求线面夹角的步骤: ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角, 若为锐角角即可, 若 为钝角,则取其补角; ②再求其余角,即是线面的夹角. 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法 向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.

实例分析 一、运用法向量求空间角
向量法求空间两条异面直线 a, b 所成角θ,只要在两条异面直线 a, b 上各任取一个向量 AA '和BB ' ,则角< AA ', BB ' >=θ或π-θ,因为θ是
???? ???? AA ' ? BB ' 锐角,所以 cosθ= ???? ???? , 不需要用法向 AA ' ? BB '
A

???? ????

???? ????

量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为 n =(x, y, 1),则直线 AB 和平面α所成的角θ的正弦值为
??? ? ? ? sinθ= cos( -θ) = |cos< AB , n >| = 2
α n

?

??? ? ? AB ? n ??? ? ? AB ? n

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2、运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为 n1 , n2 , n1 , n2 >或π-< n1 , n2 >是所求 则< 角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角,来决定< n1 , n2 > 是所求,还是π-< n1 , n2 >是所求角。
?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?

二、运用法向量求空间距离
1、求两条异面直线间的距离 设异面直线 a、 的公共法向量为 n ? ( x, y, z ) , b 在 a、b 上任取一点 A、B,则异面直线 a、b 的距 离 d
??? ? ? '= | AB ? n | ? =AB·cos∠BAA |n|
?

? n

略证:如图,EF 为 a、b 的公垂线段,a'为过 F 与 a 平行的 直线, 在 a、b 上任取一点 A、B,过 A 作 AA' // EF,交 a'于 A' ,
? 则 AA? // n ,所以∠BAA'=< BA, n >(或其补角)

????? ?

??? ? ?

??? ? ? | AB ? n | ∴异面直线 a、b 的距离 d =AB·cos∠BAA'= ? |n|
?

*
??? ??? ? ?

其中,n 的坐标可利用 a、b 上的任一向量 a, b(或图中的 AE , BF ) , 及 n 的定义得
? ? ? ? ?n ? a ?n ? a ? 0 ? ? ?? ? ? ?? ? ? n ? b ?n ? b ? 0 ? ?

? ?

?



解方程组可得 n 。

?

第 4 页 共 4 页

2、求点到面的距离 求 A 点到平面α的距离,设平面α的法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在α内
??? ? ? ? ? | AB ? n | 任取一点 B,则 A 点到平面α的距离为 d = ? ,n 的坐标由 n 与平 |n|
?

面α内的两个不共线向量的垂直关系,得到方程组(类似于前面所述, 若方程组无解,则法向量与 XOY 平面平行,此时可改设 n ? (1, y, 0) , 下同) 。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线 a 到平面α的距离,设平面α的法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在直 线 a 上任取一点 A, 在平面α内任取一点 B, 则直线 a 到平面α的距离
??? ? ? | AB ? n | ? d= |n|
? ?

4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在平面α、β
??? ? ? | AB ? n | ? 内各任取一点 A、B,则平面α到平面β的距离 d = |n|
?

三、证明线面、面面的平行、垂直关系
设平面外的直线 a 和平面α、β,两个面α、β的法向量为 n1 , n2 ,则
?? a//? ? a ? n1 ?? ? a ? ? ? a//n1
?? ?? ?

? // ? ? n1 // n2

?? ?? ?

? ? ? ? n1 ? n2

??

?? ?

四、应用举例:

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例 1:如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. (1) 求二面角 C—DE—C1 的正切值; (2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值. 解: (I)以 A 为原点, AB, AD, AA1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建 立空间直角坐标系, 则 D(0,3,0) 、 D1(0,3,2) 、 E(3,0,0) 、 F(4,1,0) 、 C1(4,3,2) 于是, DE ? (3, ?3, 0), EC1 ? (1, 3, 2), FD1 ? (?4, 2, 2) 设法向量 n ? ( x, y, 2) 与平面 C1DE 垂直,则有
n ? DE ? ? 3x ? 3 y ? 0 ? ??? ? ? ? ? ? x ? y ? ?1 n ? EC1 ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ? ? ?

??? ??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

? ?

??? ?

? n ? ( ?1, ?1, 2),

?向量 AA1 ? (0, 0, 2)与平面CDE垂直, ? n与 AA1所成的角? 为二面角C ? DE ? C1的平面角

??? ?

? ??? ?

? ??? ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 ? ? cos ? ? ?? ???? ? ?
n ? AA1 | n | ?| AA1 | 2 2 1?1? 4 ? 0 ? 0 ? 4 ? tan ? ?

6 3

(II)设 EC1 与 FD1 所成角为β,则
??? ??? ? ? ? ? cos ? ? ???? ??? ?
EC1 ? FD1 | EC1 |? | FD1 | 1? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 12 ? 32 ? 22 ? (?4) 2 ? 22 ? 22 ? 21 14

例 2:如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是 菱形,∠DAB=600,PD⊥平面 ABCD,PD=AD, 点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点。 (1)证明平面 PED⊥平面 PAB; (2)求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值

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证明: (1)∵面 ABCD 是菱形,∠DAB=600, ∴△ABD 是等边三角形,又 E 是 AB 中点,连结 BD ∴∠EDB=300,∠BDC=600,∴∠EDC=900, 如图建立坐标系 D-ECP, AD=AB=1, PF=FD= , 设 则 ED= ∴ P(0,0,1) ,E( ∴ PB =(
??? ?
3 3 1 ,0,0) ,B( , ,0) 2 2 2

1 2

3 , 2

??? ? 3 3 1 , ,-1) PE = ( ,0,-1) , , 2 2 2
????

平面 PED 的一个法向量为 DC =(0,1,0) ,设平面 PAB 的法 向量为 n =(x, y, 1)
? ??? ? ? ?n ? PB ?( x, y,1) ? ( 由 ? ? ??? ? ? ? ? ? ?n ? PE ? ? ?( x, y,1) ? ( ? ? 3 1 , , ?1) ? 0 ? ? 2 2 ?? 3 ? , 0, ?1) ? 0 ? 2 ? 3 1 2 x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 2 ?? 3 3 ?y ? 0 x ?1 ? 0 ? 2
?



? 2 n =( , 0, 1) 3

∵ DC · n =0 即 DC ⊥ n

???? ?

????

?

∴平面 PED⊥平面 PAB
?
2 , 0, 1), 设平面 3

(2)解:由(1)知:平面 PAB 的法向量为 n =( FAB 的法向量为 n 1=(x, y, -1), 由(1)知:F(0,0, ) FB =( , - ) , 由
1 2
1 2
??? ?
?

??? 3 3 1 1 , ,- ) FE = ( ,0, , 2 2 2 2

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? ??? ? ? ? ?n1 ? FB ?( x, y, ?1) ? ( ? ??? ? ? ? ?? ?n1 ? FE ? ? ?( x, y, ?1) ? ( ?

? 3 1 1 , ,? ) ? 0 ? ? 2 2 2 ?? 3 1 ? , 0, ? ) ? 0 ? 2 2 ?

3 1 1 1 x? y? ?0 ? ?x ? ? 2 2 2 ?? 3 3 1 ?y ? 0 x? ?0 ? 2 2

∴ n 1=(-<