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利用空间向量解立体几何(完整版)



向量法解立体几何
引言
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它 主要包括线线垂直, 线面垂直, 线线平行, 线面平行; 二是度量问题, 它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角 等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线 线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及 面面角的例题不多, 给

老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分 内容的题目造成一定的困难, 下面主要就这几方面问题谈一下自己的 想法,起到一个抛砖引玉的作用。

基本思路与方法
一、基本工具 1.数量积: a ? b ? a b cos ? 2.射影公式:向量 a 在 b 上的射影为
a ?b b

3.直线 Ax ? By ? C ? 0 的法向量为 ? A, B ? ,方向向量为 ? ? B, A ? 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行 ? 两线的方向向量平行 线面平行 ? 线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行 ? 两面的法向量平行 2.垂直关系
第 1 页 共 1 页

线线垂直(共面与异面) ? 两线的方向向量垂直 线面垂直 ? 线与面的法向量平行 面面垂直 ? 两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点 P ? x1 , y1 , z1 ? 与 Q ? x2 , y2 , z2 ? 的 距离为 PQ ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 2.点线距离 求点 P ? x0 , y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离: 方法:在直线上取一点 Q ? x, y ? ,
???? PQ ? n ??? ? 则向量 PQ 在法向量 n ? ? A, B? 上的射影 n
??? ?

=

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

即为点 P 到 l 的距离. 3.点面距离 求点 P ? x0 , y0 ? 到平面 ? 的距离: 方法:在平面 ? 上去一点 Q ? x, y ? ,得向量 PQ , 计算平面 ? 的法向量 n , 计算 PQ 在 ? 上的射影,即为点 P 到面 ? 的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角 ? 两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角
??? ?

??? ?

第 2 页 共 2 页

求线面夹角的步骤: ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角, 若为锐角角即可, 若 为钝角,则取其补角; ②再求其余角,即是线面的夹角. 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法 向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.

实例分析 一、运用法向量求空间角
向量法求空间两条异面直线 a, b 所成角θ,只要在两条异面直线 a, b 上各任取一个向量 AA '和BB ' ,则角< AA ', BB ' >=θ或π-θ,因为θ是
???? ???? AA ' ? BB ' 锐角,所以 cosθ= ???? ???? , 不需要用法向 AA ' ? BB '
A

???? ????

???? ????

量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为 n =(x, y, 1),则直线 AB 和平面α所成的角θ的正弦值为
??? ? ? ? sinθ= cos( -θ) = |cos< AB , n >| = 2
α n

?

??? ? ? AB ? n ??? ? ? AB ? n

第 3 页 共 3 页

2、运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为 n1 , n2 , n1 , n2 >或π-< n1 , n2 >是所求 则< 角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角,来决定< n1 , n2 > 是所求,还是π-< n1 , n2 >是所求角。
?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?

二、运用法向量求空间距离
1、求两条异面直线间的距离 设异面直线 a、 的公共法向量为 n ? ( x, y, z ) , b 在 a、b 上任取一点 A、B,则异面直线 a、b 的距 离 d
??? ? ? '= | AB ? n | ? =AB·cos∠BAA |n|
?

? n

略证:如图,EF 为 a、b 的公垂线段,a'为过 F 与 a 平行的 直线, 在 a、b 上任取一点 A、B,过 A 作 AA' // EF,交 a'于 A' ,
? 则 AA? // n ,所以∠BAA'=< BA, n >(或其补角)

????? ?

??? ? ?

??? ? ? | AB ? n | ∴异面直线 a、b 的距离 d =AB·cos∠BAA'= ? |n|
?

*
??? ??? ? ?

其中,n 的坐标可利用 a、b 上的任一向量 a, b(或图中的 AE , BF ) , 及 n 的定义得
? ? ? ? ?n ? a ?n ? a ? 0 ? ? ?? ? ? ?? ? ? n ? b ?n ? b ? 0 ? ?

? ?

?



解方程组可得 n 。

?

第 4 页 共 4 页

2、求点到面的距离 求 A 点到平面α的距离,设平面α的法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在α内
??? ? ? ? ? | AB ? n | 任取一点 B,则 A 点到平面α的距离为 d = ? ,n 的坐标由 n 与平 |n|
?

面α内的两个不共线向量的垂直关系,得到方程组(类似于前面所述, 若方程组无解,则法向量与 XOY 平面平行,此时可改设 n ? (1, y, 0) , 下同) 。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线 a 到平面α的距离,设平面α的法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在直 线 a 上任取一点 A, 在平面α内任取一点 B, 则直线 a 到平面α的距离
??? ? ? | AB ? n | ? d= |n|
? ?

4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在平面α、β
??? ? ? | AB ? n | ? 内各任取一点 A、B,则平面α到平面β的距离 d = |n|
?

三、证明线面、面面的平行、垂直关系
设平面外的直线 a 和平面α、β,两个面α、β的法向量为 n1 , n2 ,则
?? a//? ? a ? n1 ?? ? a ? ? ? a//n1
?? ?? ?

? // ? ? n1 // n2

?? ?? ?

? ? ? ? n1 ? n2

??

?? ?

四、应用举例:

第 5 页 共 5 页

例 1:如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. (1) 求二面角 C—DE—C1 的正切值; (2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值. 解: (I)以 A 为原点, AB, AD, AA1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建 立空间直角坐标系, 则 D(0,3,0) 、 D1(0,3,2) 、 E(3,0,0) 、 F(4,1,0) 、 C1(4,3,2) 于是, DE ? (3, ?3, 0), EC1 ? (1, 3, 2), FD1 ? (?4, 2, 2) 设法向量 n ? ( x, y, 2) 与平面 C1DE 垂直,则有
n ? DE ? ? 3x ? 3 y ? 0 ? ??? ? ? ? ? ? x ? y ? ?1 n ? EC1 ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ? ? ?

??? ??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

? ?

??? ?

? n ? ( ?1, ?1, 2),

?向量 AA1 ? (0, 0, 2)与平面CDE垂直, ? n与 AA1所成的角? 为二面角C ? DE ? C1的平面角

??? ?

? ??? ?

? ??? ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 ? ? cos ? ? ?? ???? ? ?
n ? AA1 | n | ?| AA1 | 2 2 1?1? 4 ? 0 ? 0 ? 4 ? tan ? ?

6 3

(II)设 EC1 与 FD1 所成角为β,则
??? ??? ? ? ? ? cos ? ? ???? ??? ?
EC1 ? FD1 | EC1 |? | FD1 | 1? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 12 ? 32 ? 22 ? (?4) 2 ? 22 ? 22 ? 21 14

例 2:如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是 菱形,∠DAB=600,PD⊥平面 ABCD,PD=AD, 点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点。 (1)证明平面 PED⊥平面 PAB; (2)求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值

第 6 页 共 6 页

证明: (1)∵面 ABCD 是菱形,∠DAB=600, ∴△ABD 是等边三角形,又 E 是 AB 中点,连结 BD ∴∠EDB=300,∠BDC=600,∴∠EDC=900, 如图建立坐标系 D-ECP, AD=AB=1, PF=FD= , 设 则 ED= ∴ P(0,0,1) ,E( ∴ PB =(
??? ?
3 3 1 ,0,0) ,B( , ,0) 2 2 2

1 2

3 , 2

??? ? 3 3 1 , ,-1) PE = ( ,0,-1) , , 2 2 2
????

平面 PED 的一个法向量为 DC =(0,1,0) ,设平面 PAB 的法 向量为 n =(x, y, 1)
? ??? ? ? ?n ? PB ?( x, y,1) ? ( 由 ? ? ??? ? ? ? ? ? ?n ? PE ? ? ?( x, y,1) ? ( ? ? 3 1 , , ?1) ? 0 ? ? 2 2 ?? 3 ? , 0, ?1) ? 0 ? 2 ? 3 1 2 x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 2 ?? 3 3 ?y ? 0 x ?1 ? 0 ? 2
?



? 2 n =( , 0, 1) 3

∵ DC · n =0 即 DC ⊥ n

???? ?

????

?

∴平面 PED⊥平面 PAB
?
2 , 0, 1), 设平面 3

(2)解:由(1)知:平面 PAB 的法向量为 n =( FAB 的法向量为 n 1=(x, y, -1), 由(1)知:F(0,0, ) FB =( , - ) , 由
1 2
1 2
??? ?
?

??? 3 3 1 1 , ,- ) FE = ( ,0, , 2 2 2 2

第 7 页 共 7 页

? ??? ? ? ? ?n1 ? FB ?( x, y, ?1) ? ( ? ??? ? ? ? ?? ?n1 ? FE ? ? ?( x, y, ?1) ? ( ?

? 3 1 1 , ,? ) ? 0 ? ? 2 2 2 ?? 3 1 ? , 0, ? ) ? 0 ? 2 2 ?

3 1 1 1 x? y? ?0 ? ?x ? ? 2 2 2 ?? 3 3 1 ?y ? 0 x? ?0 ? 2 2

∴ n 1=(-

?

1 , 0, -1) 3
? ?

∴ 二 面 角 P-AB-F 的 平 面 角 的 余 弦 值 cos θ = |cos< n , n 1>|
? ? n ? n1 5 7 = ? ? ? 14 n ? n1

例 3 : 在 棱 长 为 4 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , O 是 正 方 形 A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP. (Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表 示) ; (Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP; (Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离. 解: (Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1, ∵棱长为4 ∴A(4,0,0) ,B(4,4,0) ,P(0,4,1) ∴ AP = (-4, 4, 1) , 平面BCC1B1的一个法向量 ∴直线AP与平面BCC1B1 所成的角θ的正弦值sinθ= |cos< AP ,
???? DC >|=
16 42 ? 42 ? 1 ? 42 ? 4 33 33

??? ?

显然 DC =(0,4,0)为

????

??? ?

第 8 页 共 8 页

∵θ为锐角,∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin (Ⅲ) 设平面ABD1的法向量为 n =(x, y, 1), ∵ AB =(0,4,0) AD1 =(-4,0,4) , 由 n ⊥ AB , n ⊥ AD1
?
?

4 33 33

??? ?

???? ?

??? ?

?

???? ?

得?

?y ? 0 ??4 x ? 4 ? 0

∴ n =(1, 0, 1),

?

??? ? ? AP ? n 3 2 ∴点P到平面ABD1的距离 d = ? ? 2 n

例 4:在长、宽、高分别为 2,2,3 的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面中心,求 A1O 与 B1C 的距离。 解:如图,建立坐标系 D-ACD1,则 O(1,1,0) , A1(2,2,3) ,C(0,2,0) ∴ A1O ? (?1,1, ?3)
????
???? B1C ? (?2, 0, ?3)
?
A1 D1 B1 C1

???? ? A1 B1 ? (0, 2, 0)
A

D

C

设 A1O 与 B1C 的公共法向量为 n ? ( x, y,1) ,则
3 ? ? ???? x?? ?n ? A1O ?( x, y,1) ? ( ?1,1, ?3) ? 0 ?? x ? y ? 3 ? 0 ? ? ? 2 ?? ?? ? ? ???? ? ? ?( x, y,1) ? ( ?2, 0, ?3) ? 0 ??2 x ? 3 ? 0 ?n ? B1C ?y ? 3 ? ? ? 2

O
B

∴ n ? (? , ,1) ∴ A1O 与 B1C 的距离为
3 3 ???? ? ? ? 0, 2, 0 ? ? ? ? , ,1? ? ? | A1 B1 ? n | 3 3 22 ? 2 2 ? ? d= ? ? ? 2 2 11 |n| 11 ? 3? ?3? ? ? ? ? ? ?1 ? 2 ? 2? ?2?

?

3 3 2 2

例 5:在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 B1C1、
第 9 页 共 9 页

C1D1 的中点,求 A1 到面 BDFE 的距离。 解:如图,建立坐标系 D-ACD1,则 B(1,1,0) 1(1,0,1) ,A , E( ,1,1)
???? ??? ? 1 A1 B ? ( 0 , ? , 1 ) 1 BE ? (? , 0,1) 2 ? 设面 BDFE 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,则
1 2

∴ BD ? (?1, ?1, 0)

??? ?

D1 A1

F

C1
E

B1

? ??? ? ? ? ?n ? BD ?( x, y,1) ? (?1, ?1, 0) ? 0 ?? x ? y ? 0 ?x ? 2 ? ?? 1 ?? ? ? ? ??? ? ? 1 ?n ? BE ?( x, y,1) ? (? 2 , 0,1) ? 0 ?? 2 x ? 1 ? 0 ? y ? ?2 ? ? ?

D

C

∴ n ? (2, ?2,1) ∴ A1 到 面 BDFE 的 距 离
???? ? | A1B ? n | ? 0,1, ?1? ? ? 2, ?2,1? | ?3 | = ? ? ? ?1 2 3 |n| 22 ? ? ?2 ? ? 1

?

A

B



d

五、课后练习:
1、如图,已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1, AB=1,AA1=2,点 E 为 CC1 中点,点 F 为 BD1 中点.(1)证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线; (2) 求点 D1 到面 BDE 的距离.

A1
B1

D1

C1

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2、已知正方形 ABCD,边长为 1,过 D 作 PD⊥平面 ABCD,且 PD=1,E、F 分别是 AB 和 BC 的中点, (1)求 D 到平面 PEF 的距 离; (2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离

3、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,BC=3,CC1=2(如图) (1)求证:平面 A1BC1//平面 ACD1; (2)求(1)中两个平行平面间的距离; (3)求点 B1 到平面 A1BC1 的距离。
A1 D D1 C1

B1 C

A

B

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4、如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ? 底面 ABCD,AB//DC,AD ? DC, AB=AD=1, DC=SD=2, 为棱 SB 上的一点, E 平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

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