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1.1.1成才之路任意角



成才之路 ·数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4

第一章 三角函数

第一章

三角函数

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到过海边的人都知道,海水有涨潮和落潮现象,涨潮时, 海水上涨,波浪滚滚,景色十分壮观;退潮时,海水悄然退去, 露出一片海滩.在我国,有闻名中外的钱塘江涨潮,当潮流涌 来时,潮端陡立,水花四溅,像一道高速推进的直立水墙,形

成“滔天浊浪排空来,翻江倒海山为摧”的壮观景象.科学地
讲,潮汐是海水在月球和太阳引潮力作用下发生的周期性运动, 是海洋中常见的自然现象之一.实际上,现实中的许多运动变

化都有着循环反复、周而复始的现象,这种变化规律称为周期
性.在唐代诗人王湾的《江南恋》中有这样的诗句:“客路青 山外,行舟绿水前.潮平两岸阔,风正一帆悬 .海日生残夜,

江春入旧年.”诗中生动地描述了潮汐运动、昼夜交替的周期
性变化规律.
第一章 三角函数

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如何用数学的方法来刻画这种周期性的变化规律呢?本章
将要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型.通过 本章的学习,我们将知道:三角函数是怎样的一种函数?具有 哪些特有的性质?在解决周期性变化规律的问题中能发挥哪些 重要作用?

第一章

三角函数

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第一章
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角

第一章

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1

课前自主预习

3

当 堂 检 测

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

第一章

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课前自主预习

第一章

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在花样滑冰比赛中,运动员的动作是那么 优美!尤其是原地转身和空中翻转动作都让我 们叹为观止. 运动员在原地转身的动作中,仅仅几秒内 就能旋转十几圈,甚至二十几圈,因此,花样 滑冰美丽而危险. 你能算出他们在一次原地转身三圈的动 作中转过的角度吗?

第一章

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1.角 端点 从一个位置旋转到另 (1)定义:平面内一条射线绕着______ 一个位置所成的图形称为角 ,所旋转射线的端点叫做角的 顶点 ,开始位置的射线叫做角的______ 始边 ,终止位置的射线叫 ______ 终边 .如图所示. 做角的______

第一章

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(2)分类:如下表.

任意角
正角 负角 零角

定义 逆 时针方向旋转形成的角 按____ 按____ 顺 时针方向旋转形成的角
一条射线没有作任何______ 旋转 形成的角

(3)记法:用一个希腊字母表示,如α、β、γ、?;也可用3 个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”),其中中间字母 表示角的顶点,如∠AOB、∠DEF、?.

第一章

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[知识点拨](1)确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转
量;(2)零角的始边和终边重合,但始边和终边重合的角不一定 是零角,如周角等; (3) 角的范围由 0°~ 360°推广到任意角 后,角的加减运算类似于实数的加减运算.(4)画图表示角时, 应注意箭头的方向不可丢掉,箭头方向代表角的正负.

第一章

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2.象限角 原点 重合,角的始边与____ x 轴的非负半轴 使角的顶点与______
终边 除原点外) 在第几象限,就说这个角 重合.那么,角的______(

象限角 ,即象限角的终边在第一或第二或第三或第四 是第几 _______
坐标轴 重合. 象限内,不与________ 如果角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限.

第一章

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3.终边相同的角
(1) 研究终边相同的角的前提条件是:角的顶点与原点重 合,角的始边与x轴的非负半轴重合. (2)终边相同的角的集合:所有与角 α终边相同的角,连同 α+k· 360 ° 角α在内,可构成一个集合S={β|β=__________ ,k ∈Z},即任 一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.

第一章

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[ 知识点拨 ] 理解集合 S = {β|β = α + k·360°, k∈Z} 要注意
以下几点: (1)式中角α为任意角; (2)k∈Z这一条件必不可少; (3)k·360°与 α 之间是 “ + ” ,如 k·360°- 30°应看成 k·360°+(-30°),即与-30°角终边相同; (4) 当 α 与 β 的终边相同时, α - β = k·360°(k∈Z) .反之亦 然.

第一章

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[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角:
象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 集合表示 {α|k· 360° <α<k· 360° +90° ,k∈Z} {α|k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,k∈Z} {α|k· 360° +180° <α<k· 360° +270° ,k∈Z} {α|k· 360° +270° <α<k· 360° +360° ,k∈Z}

第一章

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(2)轴线角: 角的终边的位置 终边落在 x 轴的非负半轴上 终边落在 x 轴的非正半轴上 终边落在 y 轴的非负半轴上 终边落在 y 轴的非正半轴上 终边落在 y 轴上 终边落在 x 轴上 终边落在坐标轴上 集合表示 {α|α=k· 360° ,k∈Z} {α|α=k· 360° +180° ,k∈Z} {α|α=k· 360° +90° ,k∈Z} {α|α=k· 360° +270° ,k∈Z} {α|α=k· 180° +90° ,k∈Z} {α|α=k· 180° ,k∈Z} {α|α=k· 90° ,k∈Z}

第一章

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1.将射线 OM 绕端点 O 按逆时针方向旋转 120° 所得的角 为 导学号 67600000 ( A.120° C.60° ) B.-120° D.240°

[答案] A

第一章

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2.与 95° 角终边相同的角是 导学号 67600001 ( A.-5° C.395° B.85° D.-265°

)

[答案] D

第一章

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α 3.已知角 α 是第二象限角,2是第______象限角. 导学号 67600002

[答案] 一、三
[解析] 可用不等式来表示第二象限角,然后对式中的k进 行讨论.讨论时分奇数和偶数两类进行;也可采用几何法,即 将每一象限分成两等份,从第一象限开始按逆时针方向在每一 个区域依次标上 1、2、 3 、 4 ,循环标注,则标有2 的区域即为

所求.

第一章

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4.下列说法中,正确的是________. 导学号 67600003 (1)终边落在第一象限的角为锐角; (2)锐角是第一象限角; (3)第二象限角为钝角; (4)小于 90° 的角一定为锐角.

[答案] (2)

第一章

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[解析]

终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°的

角是第一象限角,但不是锐角,故(1)的说法是错误的;同理第 二象限角也不一定是钝角,故(3)的说法也是错误的;小于90° 的角不一定为锐角,如负角,故(4)的说法是错误的;综上,只 有(2)的说法是正确的.

第一章

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课堂典例讲练

第一章

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任意角
写 出 图 (1) 、 (2) 中 的 角 α 、 β 、 γ 的 度 数. 导学号 67600005

第一章

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[思路分析] 1.弄清角的始边与终边.
2.弄清逆时针还是顺时针. [解析] 图(1)中,α=360°-30°=330°; 图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°; γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.

第一章

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导学号 67600006 如图,射线 OA 绕顶点 O 逆时针旋转 45° 到 OB 位置,并在此基础上顺时针旋转 120° 到达 OC 位置,则∠AOC=________.

[答案] -75° [ 解析 ] 由角的定义可得 ∠ AOC = ∠ AOB+ ∠ BOC = 45°

+(-120°)=-75°.

第一章

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终边相同的角
(1)与-457° 角的终边相同的角的集合是( A.{α|α=457° +k· 360° ,k∈Z} B.{α|α=97° +k· 360° ,k∈Z} C.{α|α=263° +k· 360° ,k∈Z} D.{α|α=-263° +k· 360° ,k∈Z} )

第一章

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(2) 已 知 α = - 1 910°, ① 把 α 写 成 β + k· 360° (k ∈ Z,0° ≤β<360° )的形式,指出它是第几象限角;②求 θ,使 θ 与 α 的终边相同,且-720° ≤θ<0° . (3)若角 α 的终边在函数 y=-x 的图象上, 试写出角 α 的集 合. 导学号 67600007

第一章

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[思路分析] 1.寻找与-457°终边相同的角.
2.用α除以360°,使余数为正且使余数落在[0°,360°) 即可;利用公式α+k·360°列不等式求解. 3 .函数 y =- x 的图象是第二、四象限的平分线,可以先 在0°~360°范围内找出满足条件的角,进一步写出满足条件 的所有角,并注意化简.

第一章

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[解析]

(1) 由 于 - 457° = - 1×360° - 97° = -

2×360°+263°,故选C. (2)①∵-1 910°÷360°=-6余250°, ∴-1 910°=-6×360°+250°, ∴β=250°,从而α=-6×360°+250°是第三象限角.

第一章

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②令 θ=250° +k · 360° (k∈Z), ∵-720° ≤θ<0° , 97 25 ∴-720° ≤250° +k· 360° <0° ,即-36≤k<-36. ∵k∈Z,∴k=-1 或-2. 即 250° +(-1)· 360° =-110° , 250° +(-2)· 360° =-470° .

第一章

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(3) 由于 y = - x 的图象是第二 、 四象限的平分线 ,故在

0°~360°范围内所对应的两个角分别为135°及315°,从而
角 α 的 集 合 为 S = {α|α = k·360° + 135° 或 α = k·360° + 315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°或α=(2k+1)·180°+ 135°,k∈Z},∴S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}. [规律总结] 写出终边落在某条过原点的直线上的角集合 有两种方法:一是分别写出每条终边所代表的角的集合,再取 并集;二是在其中一条终边上找出一个角,然后再加上 180° 的整数倍.

第一章

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导学号 67600008 (1)与 405° 角终边相同的角是( A.k· 360° -45° ,k∈Z B.k· 360° ± 405° ,k∈Z C.k· 360° +45° ,k∈Z D.k· 180° +45° ,k∈Z )

第一章

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(2)已知角α=2017°.
①把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指 出它是第几象限角; ②求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°. (3)已知角β的终边在直线x-y=0上. ①写出角β的集合S;②写出S中适合不等式- 360°≤β<720°的元素. [答案] (1)C

第一章

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[解析]

(1)∵405°=360°+45°,是与45°终边相同的

角,即与405°终边相同的角是k·360°+45°,故选C. (2)①用2017°除以360°商为5,余数为217°, ∴ k=5,∴α=5×360°+217°(β=217°), ∴α为第三象限角. ②∵θ=k·360°+217°,k∈Z, 又-360°≤θ<720°,∴k=-1,0,1, ∴θ=-143°、217°、577°.

第一章

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(3)①如图,直线 3x-y=0 过原点, 倾斜角为 60° ,在 0° ~360° 范围内,终边 落在射线 OA 上的角是 60° ,终边落在射 线 OB 上的角是 240° ,所以以射线 OA、 OB 为终边的角的集合为: S1 = {β|β =60° + k· 360° , k ∈ Z} , S2 ={β|β=240° +k· 360° ,k∈Z},

第一章

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所以,角β的集合S=S1∪S2
= {β|β = 60° + k·360° , k∈Z}∪{β|β = 60° + 180° + k·360°,k∈Z} = {β|β = 60° + 2k·180° , k∈Z}∪{β|β = 60° + (2k + 1)·180°,k∈Z} ={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.

第一章

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②由于- 360° ≤β<720° ,即- 360° ≤60° + n· 180° <720° ,n ∈Z, 7 11 解得-3≤n< 3 ,n∈Z,所以 n=-2、-1、0、1、2、3. 所以 S 中适合不等式-360° ≤β<720° 的元素为: 60° -2×180° =-300° ; 60° -1×180° =-120° ; 60° -0×180° =60° ; 60° +1×180° =240° ; 60° +2×180° =420; 60° +3×180° =600° .
第一章 1.1 1.1.1

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区域角的表示
若角 α 的终边在下图中阴影所表示的范围内, 则 α 角组成的集合为________. 导学号 67600009

第一章

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[解析]

在0°~360°范围内,终边落在阴影范围内的角

是 60°≤α≤150° , 故 满 足 条 件 的 角 的 集 合 为 {α|k·360° + 60°≤α≤k·360°+150°,k∈Z}. [答案] {α|k·360°+60°≤α≤k·360°+150°,k∈Z}

第一章

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[规律总结]

区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的

角.其写法可分为三步: (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; (2) 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的- 360°到 360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β}; (3)起始、终止边界对应角 α、 β再加上360°的整数倍,即 得区间角集合.

第一章

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导学号 67600010 写出图中阴影区域所表示角 α 的集合(包括边界).

第一章

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[解析]

(1){α|k·360° + 30°≤α≤k·360° + 90° ,

k∈Z}∪{α|k·360°+ 210°≤α≤k·360°+ 270°, k∈Z} 或写成 {α|k·180°+30°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}. (2){α|k·360°-45°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}.

第一章

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判断角所在的象限
α 若角 α 是第一象限角,问-α、2α、3是第几象 限角? 导学号 67600011

[思路分析 ] 法.

解决这类问题有两种方法:分类讨论或几何

第一章

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[解析] ∵α是第一象限角,
∴k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z). (1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z), ∴-α所在区域与(-90°,0°)范围相同, 故-α是第四象限角. (2)2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z), ∴2α所在区域与(0°,180°)范围相同, 故2α是第一、二象限角或终边落在y轴的正半轴.

第一章

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α (3)k· 120° < 3 <k · 120° +30° (k∈Z) 方法一:(分类讨论)当 k=3n(n∈Z)时, α n· 360° <3<n· 360° +30° (n∈Z), α ∴3是第一象限角;

第一章

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当 k=3n+1(n∈Z)时, α n· 360° +120° <3<n· 360° +150° (n∈Z), α ∴3是第二象限角; 当 k=3n+2(n∈Z)时, α n· 360° +240° <3<n· 360° +270° (n∈Z), α ∴3是第三象限角. α 综上可知:3是第一、二或第三象限角.
第一章 1.1 1.1.1

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方法二:(几何法)如右图,先将各 象限分成 3 等份, 再从 x 轴的正向的上 方起,依次将各区域标上 1、2、3、4, α 则标有 1 的区域即为3终边所落在的区 α 域,故3为第一、二或第三象限角.

第一章

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[规律总结]

此题几何法依据的是数形结合的思想, 简洁直

观;分类讨论要对 n 的取值分以下几种情况进行讨论:被 n 整 除;被 n 除余 1;被 n 除余 2;?;被 n 除余 n-1.然后方可下 结论.

第一章

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导学号 67600012 φ 若 φ 是第二象限角,那么2和 90° -φ 都不是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 )

[答案] B

第一章

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[ 解析 ]

∵ φ 是第二象限角,∴ k· 360° + 90° <φ<k· 360° +

φ φ 180° ,k∈Z,∴k· 180° +45° < 2<k· 180° +90° ,k∈Z,即2终边是 第一或第三象限角,而-φ 显然是第三象限角,∴90° -φ 是第 四象限角,故选 B.

第一章

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易错点 集合概念理解错误 已知集合 A={α|α=k· 180° ± 45° , k∈Z}, 集合 B = {β|β = k· 90° + 45° , k ∈ Z} , 则 A 与 B 的 关 系正确 的 是 导学号 67600013 ( A.A? B C.A=B
[错解] 45°,∴B?A,故选B.
第一章 1.1 1.1.1

) B.B? A D.A?B 且 B?A

∵k=0时,集合A中角α=±45°,集合B中角β=

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[辨析]
[正解]

错解对集合概念理解错误.应从集合中角的终边
当k为偶数时,集合A中角α的终边为一、四象限角

所在位置随k的变化入手解决,或用列举法解决. 的平分线,当k 为奇数时,集合 A中角α的终边为二、三象限角 的 平 分 线 , 角 α 的 终 边 如 图 所 示 , 故 可 以 表 示 为 k·90° + 45°,∴A=B,故选C.

第一章

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第一章

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[点评] (1)可直接用列举法 A={??-225° ,-135° ,- 45° ,45° ,135° ,225° ,??},B={??-135° ,-45° ,45° , 135° ,225° ,??},∴A=B. (2)可从分析两集合中相等的角入手解决.由 k· 180° ± 45° = n· 90° +45° 得,n=2k 或 n=2k-1,∵k∈Z,n∈Z,∴A=B.

第一章

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导学号 67600014 已知集合 A={α|k· 180° +30° <α<k· 180° +90° ,k∈Z},集合 B={β|k· 360° -45° <β<k· 360° +45° ,k∈Z}.求 A∩B.

[ 解析 ]

如图所示, A∩B 中的角

的始边和终边对应 30°和 45°角的终

边,
∴ A∩ B = {α|k·360° + 30°<α<k·360°+45°,k∈Z}.

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当 堂 检 测

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1.下列命题中,正确的是 导学号 67600015 ( A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角必相等 C.相等角的终边位置必相同 D.不相等的角其终边位置必不相同

)

[答案] C [ 解析 ] 锐角是第一象限角,但第一象限角不一定是锐 角,因此A错误;由终边相同角的概念知C正确.

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2.-215° 是 导学号 67600016 ( A.第一象限角 C.第三象限角

)

B.第二象限角 D.第四象限角

[答案] B [ 解析 ] 由于- 215°=- 360°+ 145°,而 145°是第二 象限角,则-215°也是第二象限角.

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3.下列各组角中,终边相同的是 导学号 67600017 ( A.390° ,690° C.480° ,-420° B.-330° ,750° D.3000° ,-840°

)

[答案] B

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4.若 α 是第三象限角,则-α 是 导学号 67600018 ( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

)

[答案] B [解析] 二象限角. 令 α=-120°是第三象限角,则-α=120°是第

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2.-215° 是 导学号 67600016 ( A.第一象限角 C.第三象限角

)

B.第二象限角 D.第四象限角

[答案] B [ 解析 ] 由于- 215°=- 360°+ 145°,而 145°是第二 象限角,则-215°也是第二象限角.

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5.如图所示,终边落在阴影部 分 的 角 的 集 合 是 导学号 67600019 ( ) A.{α|-45° ≤α≤120° } B.{α|120° ≤α≤315° } C . {α|k· 360° - 45° ≤ α≤ k · 360° +120° ,k∈Z} D.{α|k· 360° +120° ≤α≤k· 360° +315° ,k∈Z} [答案] C

[ 解析 ]

如题图所示,终边落在阴影部分的角的取值是

k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z,故选C.
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