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第6章 填空题、选择题详解(1)


第六章
一、填空题 1. 设总体 X 服从参数为 ? 的泊松分布, X 1 , X 2 , ?, X n 为其样本, 则样本的概率分布为

P{ X 1 ? i1 , X 2 ? i2 ,

, X n ? in } ? ? P{ X ? ik } ? ?
k ?1 k ?1

n

n

?

ik

ik !

e?? ?

?

? ik
k ?1

n

i1 !? i2 !?

? in !

e ? n? .

解: X ~ ? (? ), X 1 , X 2 , ?, X n 来自总体 X , X 1 , X 2 , ?, X n 独立且服从 ? (? ),

P{ X 1 ? i1 , X 2 ? i2 ,

, X n ? in } ?

?i

1

i1 !

e?? .

?i

2

i2 !

e ? ? ...

?i

n

in !

e??

?

?

? ik
k ?1

n

i1 !? i2 !?

? in !

e? n? .
2

i1 , i2 ...in ? 0,1, 2...

2. 设总体 X ~ N ( ? , ? ) , X1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的简单随机样本, X 为样本均值, S 为样本标准差, 则

X ? ? t (n ? 1) ~ . S n

解: X ~ N ( ? , ? ) , X 为样本均值, S 为样本标准差
2

X ??

?

~ N (0,1) ,

n

X ?? ~ t (n ? 1) S n

3. 设 X1 , X 2 ,?, X 6 是来自总体 X ~ N (0,1) 的简单随机样本, 令

Y ? ( X 1 ? X 2 ? X 3 ) 2 ? ( X 4 ? X 5 ? X 6 ) 2 , 则当 c= 时, 统计量 cY 服从 ? 2 分布, 自
由度为_____2____. 解: X1 , X 2 ,?, X 6 是来自总体 X ~ N (0,1)

1 3

X 1 ? X 2 ? X 3 ~ N (0,3), X 4 ? X 5 ? X 6 ~ N (0,3), 且X 1 ? X 2 ? X 3与X 4 ? X 5 ? X 6独立

X1 ? X 2 ? X 3 3

~ N (0,1),

X4 ? X5 ? X6 3

~ N (0,1)且独立.

1 1 1 (X 1 ? X 2 ? X 3 )2 + (X 4 ? X 5 ? X 6 ) 2 ~ ? 2 (2),则当c= 时,cY ~ ? 2 (2) 3 3 3
4 设随机变量 X ~ N (2,1) , 随机变量 Y1 , Y2 , Y3 , Y4 均服从 N (0,4) , 且 X , Yi (i ? 1,2,3,4) 都相互

独立,则统计量 t ?

4( X ? 2)

?Y
i ?1

4

~ t (4) , 且 t0 ? 4.6041 时, 有 P{| T |? t 0 } ? 0.01.

2

i

解: X ~ N (2,1),

X ?2 ~ N (0,1), 1 4 Yi Y Yi ~ N (0,) 4 ~ N (0,1), ? ( i ) 2 ~ ? 2 (4) 2 i ?1 2 4 Y 且X 与? ( i )2独立 , i ?1 2 ( X ? 2) 4( X ? 2) t? ?t ? ~ t (4). 2 4 4 Yi 2 Yi /4 ? ? i ?1 i ?1 4 P{| T |? t0 } ? 0.01 ? P{T ? t0} ? P{T ? ?t0} ? 0.01
? 2P{T ? t0 } ? 0.01即P{T ? t0}=0.005

?t0 =t0.005 (4) ? 4.6041.
5. 设总体 X 服从标准正态分布, X1, X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的一个简单随机样本, 则当

?n ? 5 n ? 5 时, 统计量 Y ? ? ? 1? ? X i2 ? 5 ? i ?1
解: ? X i2 ~ ? 2 (5), ? X i2 ~ ? 2 (n ? 5)
i ?1 i ?6 5 n

?X
i ?6

n

2 i
5

~ F (5, n ? 5) .
n

, 且? X i2与? X i2 独立
i ?1 i ?6

?X
i ?1 n

5

2 i

F=

n

? X i2
i ?6

?

n?5 5 2 ? Xi n i ?1

? X i2
i ?6

n

~ F (5, n ? 5).

n?5
6. X1 , X 2 ,?, X n , X n ?1 是取自正态总体 N ( ? ,? ) 的简单随机样本, 则
2

Y ? X n ?1 ?

1 n ?1 1 n n ?1 2 n N (0, ? ? 2) . ) ~ , Z ? X ? X i ~ N (0, X ? ? n ?1 i n ?1 n n ? 1 i ?1 n i ?1

解: Y ? X n ?1 ?

1 n ? X i ? X n?1 ? X n , X n?1与X n独立 n i ?1

E ?Y ? ? E ( X n?1 ) ? E ( X n ) ? ? ? ? ? 0
D(Y ) ? D( X n?1 ) ? D( X n ) ? ? ?
2

?2

1 ? (1 ? )? 2 n n

?Y ~ N (0,

n ? 2) n ?1

Z ? X n ?1 ?

1 n 1 n?1 )X n?1 ? Xn X i =(1? n ?1 n ?1 n ? 1 i ?1

X n?1与X n +1不独立
E ( Z ) ? E ( X n?1 ? 1 n?1 ? Xi ) ? ? ? ? ? 0 n ? 1 i ?1

D( Z ) ?(1-

1 2 2 n 2 ? 2 n2 ? n 2 n )? ? ( ) ? ? ? ?2 2 n ?1 n ? 1 n (n ? 1) n ?1

? Z ~ N (0,
二、选择题

n ? 2 ). n ?1

1、设总体 X 服从正态分布, E ( X ) ? ?1, E ( X ) ? 4 , X1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的简单
2

随机样本, 则 X ?

1 n ? X i ~( n i ?1
(B)

A ).

(A)

3 N (?1, ) n

4 N (?1, ) n
2

(C) N (? , 4)

1 n

(D) N (? ,

1 3 ) n n

解: E ( X ) ? ?1, E ( X ) ? 4, D( X ) ? 4 ? (?1) ? 3
2

?X ~ N ( ? 1, 3 )

E ( X ) ? ?1, D( X ) ?

3 n

3 ? X ~ N (? 1 , ) n
2

A

( )

2、设 X1 , X 2 ,?, X16 是来自总体 X~ N (1,? ) 的简单随机样本, X 为样本均值,

已知 Y ? aX ? b ~ N (0,1) , 则( B

).

(A) a ?

4

?

,b ?

4

?

(B) a ? ?

4

?

,b ?

4

?

(C) a ? ? , b ? ??
2 解: X ~ N (1, ? ), X ?

(D) a ? ? , b ? ?

? ?2 ? 1 16 X i ~ N ?1, ? ? 16 i ?1 ? 16 ?

Y ? aX ? b ~ N (a ? b,

a 2? 2 ) ? N (0,1) 16

? a ? b ? 0.

a 2? 2 4 4 ? 1, 得a ? ? , b ? . (B) 16 ? ?
D ) (B) X ? Y ~
2 2

3、设 X, Y 都服从标准正态分布, 则必有( (A)X+Y 服从正态分布

? 2 (2)

(C)

X2 ~ F (1,1) Y2

(D) X 2 , Y 2 都服从 ? 2 分布

解:X 与 Y 独立时,(A)(B)(C)(D)均成立. X 与 Y 不独立时,只有 X 2 , Y 2 都服从 ? 2 分布. (D)

4、设随机变量 X ~ t (n) (n ? 1), Y ? (A) Y ~

1 , 则( X2

C ). (C) Y ~ F (n, 1) (D) Y ~ F (1, n)

? 2 (n)

(B) Y ~

? 2 (n ? 1)

2 解: X ~ t (n) , X ~ F (1, n), X 2 ~ F (n,1).

1

(C)

选做题

1. 设 X1 , X 2 ,?, X 6 为取自总体 X ~ N ( ? ,? ) 的简单随机样本 , S 2 ?
2

1 6 ( X k ? X )2 , ? 5 k ?1

其中 X 为样本均值, 则 D( S ) =(

2

D ).

(A) 解:

1 4 1 ? (B) ? 4 3 5

(C)

2 2 ? 5

(D) ? 4

2 5

(6 ? 1) S 2

?2
(n ? 1) S 2

~ ? 2 (6 ? 1), E (

(6 ? 1) S 2

?2
(n ? 1) S 2

) ? 6 ? 1, D(

(6 ? 1) S 2

?2

) ? 2(6 ? 1)

?
D(

2

~ ? 2 (n ? 1), E (

?2
(n ? 1)2

) ? n ?1

(n ? 1) S 2

?2

) ? 2(n ? 1) ,

?4

D( S 2 ) ? 2(n ? 1)

D( S 2 ) ?

2? 4 n ?1

? D( S 2 ) ?

2? 4 2 4 ? ? ( D) 6 ?1 5

2. 设 X1 , X 2 ,

, X n (n ? 2) 是来自总体 N (0,1) 的简单随机样本 , X 为样本均值 , S 2 为样本
) (B) nS 2 ~ ? 2 (n)

方差, 则( D

(A) nX ~ N (0,1)

(C)

(n ? 1) X ~ t (n ? 1) S

(D)

(n ? 1) X 12

?X
i ?2

n

~ F (1, n ? 1)

2 i

解: X ~ N ( ? ,? 2 ), X ~ N ( ? ,

? 2 (n ? 1) S 2 ), ~ ? 2 (n ? 1), 2 n ?

? ? 0,? ? 1,且 X与S 2 独立
1 X ~ N (0, ),(n ? 1) S 2 ~ ? 2 (n ? 1) n n2 nX ~ N (0, ) ? N (0, n) n
X ?0 1 n (n ? 1) S 2

? n ?1

X S n

~ t (n ? 1),

X1 ~ N (0,1), X12 ~ ? 2 (1).

?X
i ?2

n

2 i

? X 2 2 ? ... ? X n 2 ~ ? 2 (n ? 1) , 且X12与? X i 2相互独立
i ?2

n

X 12 ?

1

?X
i ?2

n

?

(n ? 1) X 12

2 i

?X
i ?2

n

~ F (1, n ? 1)

2 i

(n ? 1)


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