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高中数学


1.3.函数的基本性质

1.3.1单调性与最大(小)值 第一课时

问题情境1.清远市冬天某天的气温变化曲线图

问题1:随着时间的变化,温度的变化趋势是? (上升?下降?)

观察下列函数图象,回答下列问题:

(1) f ( x) ? x ?1
y
1

(2) f ( x ) ? x
y

2

-1 0

x

0

x

1.这两个函数图象有怎样的变化趋势?(上升?下降?)

[0,??)内y随x的增大而增大 , 在区间 2.函数 f ( x) ? x 2 在区间 (??,0]
内y随x的增大而减小 .

在区间D内
y y

在区间D内

f ( x2 )

f ( x1)

图象

f ( x1 )
x1 x2

f ( x2 )
x
x1 x2

x

图象特征 从左到右,图象上升 从左到右,图象下降 数量特征 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小

图象在区间D内呈上升趋势

当x的值增大时 , 函数值y也增大

区间内有两个点 x1 , x2 ,当x1 ? x2时, 有f ( x1 ) ? f ( x2 )

定义: 一般地, 设函数f ( x)的定义域为I: 如果对于定义域 I内某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 , 当x1 ? x2时, 都有f ( x1 ) ? f ( x2 ) 那么就说函数 f ( x)在区间D上是单调递增函数 。

类比得到减函数的定义:
如果对于定义域 I内某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 ,当x1 ? x2时, 都有f ( x1 ) ? f ( x2 ) 那么就说函数 f ( x)在区间D上是单调递减函数 。

注意:
1、“定义域I内某个区间D”即说明了函数的单调区 间是其定义域的子集。 2、增、减函数定义中的x1,x2有三个特征:一是任 意性,即不能用特殊值代替,“任意”两字不能 丢;二是有大小,通常规定;三是同属于一个区间, 三者缺一不可。 3、自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系 正逆互推。即若 f ?x? 是增(函数),则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x1 ? x2

概念辨析
1.函数y=f(x),x ∈[0,3]的图象如图所示.
y

O

1

2

3

x

区间[0,3]是该函数的单调增区间吗?

例1:如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的 图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在 每一个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数。

答:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1], [1,3], [3,5],

其中 y=f(x)在区间[-5, -2], [1,3]上是减函数,
在区间[-2,1), [3, 5]上是增函数。

注意:
? 单调区间只能写成[-5,-2],[-2,1], [1,3], [3,5], 不能写成 [-5,-2]U[-2,1]

练习1:根据下列函数图象,写出其单调区间。

y=x

3

y=

1 _ x

增区间(-∞,+∞)

减区间(-∞,0), (0,+∞)

练习2:P32页第三题

例2、试判断函数
在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?并 给予证明。 分析: 问1:除了图象法判定函数单调性还有什么方法? 2:如何用定义法判定函数单调性? 3:用定义判定函数单调性的关键是什么?

例2、试判断函数 在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数? 并给予证明。

证明: 设x1 , x2是(0,??)上的任意两个值 , 且x1 ? x2 , 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x1 ) ? ( x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 1) 又0 ? x1 ? x2, 故x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ? 0 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即:f ( x1 ) ? f ( x2 ) 因此, 函数f ( x) ? x 2 ? x在(0,??)上是增函数
定号
2 2 2 2

取值

作差变形

下结论

练习3:P32页第4题

3 练习4, 证明 : 函数 y ? 在(0,?? )上是减函数 x
小结:
1、函数单调性的定义; 2、判定函数单调性: (1)方法:图象法,定义法; (2)定义法步骤:取值,作差变形,定号,下结论。

课后思考:函数

在R上单调递增,那么,

的符号有什么规律?
若单调递减,又该如何? 作业:P39页A组1,2


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