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2017届高考数学(理)一轮复习讲练测:专题2.6+指数与指数函数(讲)(原卷版)



2018 年高考数学讲练测【新课标版理】 【讲】

第二章 函数与基本初等函数Ⅰ
第 06 节 【课前小测摸底细】
1.【必修一 P56 例 6 改编】若函数 f ( x) ? a (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, ) ,则
x

指数与指数函数

1 2

f (?1) =_______.
2. 已知 a ? 2 , b ? 4 , c ? 25 ,则( (A) b ? a ? c 3. 已知 f ? x ? ? A.-2 B.-1 (B) a ? b ? c
4 3 2 5 1 3

) (D) c ? a ? b )

(C) b ? c ? a

2x ? ax ,若 f ? ln 3? ? 2 ,则 2x ? 1
C.0 D.1
x

? 1? f ? ln ? 等于( ? 3?

4.【基础经典试题】指数函数 f ( x) ? (a ? 1) 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是( A. a ? 1 B. a ? 2 C. 0 ? a ? 1 D. 1 ? a ? 2
x



5. 【改编自 2011 年高考山东卷】 若点 (a,81) 在函数 y ? 3 的图象上, 则 tan A. ? 3 B. ?

a? 的值为 ( 6



3 3

C.

D.

【考点深度剖析】
与指数函数有关的试题,大都以其性质及图像为依托,结合推理、运算来解决,往往指 数函数与其他函数进行复合,另外底数多含参数、考查分类讨论.

【经典例题精析】 考点 1 根式、指数幂的化简与求值
【1-1】化简 [ 3 ( ?5) ] 4 的结果为(
2 3

) D.﹣5
2

A.5
?

B.
1

C.﹣

1 ?3? 3 ? 7?0 4 4 ? 2 ?3 【1-2】 ? ? × ? ? ? + 8 × 2 - ? ? ? =________. ?2? ? 6? ? 3?

-1-

【课本回眸】
1. a 叫做 a 的 n 次幂, a 叫做幂的底数, n 叫做幂的指数,规定: a ? a ;
n
1

2. ( n a ) ? a (n ? 1, n ? N ? ) , a ? ?
n
n n
? n m

? a, n为奇数 ; ?| a |, n为偶数

3. a

?

1 a
n m

(a ? 0, m, n ? N ? , 且

n ? 为既约分数) , (a?) =a?? . m

【方法规律技巧】
指数幂的化简与求值 (1)化简原则:①化根式为分数指数幂;②化负指数幂为正指数幂;③化小数为分数;④注意 运算的先后顺序. 提醒:有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于零,否则不能用性质来运算. (2)结果要求:①若题目以根式形式给出,则结果用根式表示;②若题目以分数指数幂的形式 给出,则结果用分数指数幂的形式表示;③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既 有分母又有负分数指数幂.

【新题变式探究】

? ?0.25 33 ? 1 ?2 1 1 3 ? ( ) ? ? lg 4 ? lg ? 【变式一】 ?81 8 ? 2 5 ?

1

.

1 ? 7 ? 0 0.25 ? 2 ?3 6 【变式二】1.5- × ? ? ? +8 × 4 2 +( 3 2 × 3 ) - ? ? 3 ? 6? ?3?

2

考点 2

根式、指数幂的条件求值
1 ? 1 2

【2-1】已知 a 2 ? a

? 3 ,求下列各式的值.
a 2 ? a ?2 ? 1 a ? a ?1 ? 1
a? b 的值. a? b

(1) a1 ? a ?1 ; (2) a 2 ? a ?2 ; (3)

【2-2】已知 a, b 是方程 x 2 ? 6 x ? 4 ? 0 的两根,且 a ? b ? 0, 求

【课本回眸】 1. a ? 0 时, a b ? 0;
2. a ? 0 时, a 0 ? 1 ;

-2-

r s 3. 若 a ? a , 则 r ? s ;

4. a ? 2a 2 b 2 ? b ? (a 2 ? b 2 ) (a ? 0, b ? 0) ;
2

1

1

1

1

5. (a 2 ? b 2 )(a 2 ? b 2 ) ? a ? b(a ? 0, b ? 0) .

1

1

1

1

【方法规律技巧】
根式、指数幂的条件求值,是代数式求值问题的常见题型,一般步骤是: (1)审题:从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点; (2)化简:①化简已知条件;②化简所求代数式; (3)求值:往往通过整体代入,简化解题过程.

【新题变式探究】
【变式一】已知 x ? y ? 12, xy ? 9, 且 x ? y ,求

x ?y x ?y
1 2

1 2

1 2 1 2

的值.

考点 3 指数函数的概念、图象、性质及其应用
【 3-1 】若函数 f ? x ?=a (a ? 0,a ? 1) 在 [-1, 2] 上的最大值为 4 ,最小值为 m ,且函数
x

g ? x ?=(1-4m) x 在 [0,+?) 上是增函数,则 a=__________。
【3-2】已知函数 f(x)=|2x-1|,a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,必成立的
是( ) B.a<0,b≥0,c>0 D.2 +2 <2
a c

A.a<0,b<0,c<0 C.2 <2
-a

c

【3-3】函数 y=esinx(-π ≤x≤π )的大致图象为(

)

A

B

C

D

-3-

?1? 2x-x 的值域为( 【3-4】函数 y=? ? ?2? ?1 ? A.? ,+∞? 2 ? ? 【课本回眸】
1? ? B.?-∞, ? 2? ?

2

)

? 1? C.?0, ? ? 2?

D.(0,2]

1. 单调性是指数函数的重要性质, 特别是函数图像的无限伸展性, x 轴是函数图像的渐近线. 当 0<a<1 时,x→+∞,y→0;当 a>1 时,x→-∞,y→0;当 a>1 时,a 的值越大,图像越靠近

y 轴,递增的速度越快;当 0<a<1 时,a 的值越小,图像越靠近 y 轴,递减的速度越快.
2.画指数函数 y=a 的图像,应抓住三个关键点: (1,a )、 ? 0,1? 、 ? ?1,
x
x x

? ?

1? ?. a?

?1? ?1? 3.熟记指数函数 y=10 ,y=2 ,y= ? ? ,y= ? ? ,在同一坐标系中图像的相对位置,由此掌 ? 10 ? ?2?
x x

握指数函数图像的位置与底数大小的关系.

【方法规律技巧】
1.比较幂值大小时,要注意区分底数相同还是指数相同.是用指数函数的单调性,还是用幂 函数的单调性或指数函数的图象解决. 要注意图象的应用, 还应注意中间量 0、 1 等的运用. 指 数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大).当幂的底数不确定时,要 注意讨论底数的不同取值情况. 2.形如. y=a (1) y=a
f ( x) f ( x)

(a ? 0, a ? 1) 一类函数,有如下结论:

(a ? 0, a ? 1) 的定义域、奇偶性与 f ( x) 的定义域、奇偶性相同;
f ( x)

(2)先确定 f ( x) 的值域,再利用指数函数的单调性,确定 y=a (3) y=a
f ( x)

(a ? 0, a ? 1) 的值域;

(a ? 0, a ? 1) 的单调性具有规律“同增异减”,即 u ? f ( x), y ? a u 的单调性相
f ( x)

同 时 , y=a

(a ? 0, a ? 1) 是 增 函 数 , u ? f ( x), y ? a u 的 单 调 性 不 同 时 ,

y=a f ( x ) (a ? 0, a ? 1) 是减函数.
【新题变式探究】
【变式一】已知 f ? x ? ? 2 ? 2 , f ? m ? ? 3 ,且 m ? 0 ,若
x ?x

a ? f ? 2m ? , b ? 2 f ? m ? , c ? f ? m ? 2 ? ,则 a, b, c 的大小关系为(
A. c ? b ? a C. a ? b ? c B. a ? c ? b D. b ? a ? c



-4-

【变式二】已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

1 . x 2

(1)若 f ? x ?=2 ,求 x 的值; (2)若 2 f ? 2t ?+mf ? t ? ? 0 对于 t ? [1, 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围.
t

三、易错试题常警惕
易错典例 1:计算下列各式的值. (1) 3 ( ?8)3 ; (2) (?10) 2 ; (3) 4 (3 ? ? ) 4 ; (4) (a ? b) 2 ( a ? b) . 易错分析: a ? ?
n n

? a, n为奇数 n n ,不注意 n 的奇偶性对 a 的影响,是导致错误出现的一 ?| a |, n为偶数

个重要原因,要在理解的基础上,记准、记熟、会用、活用. 温馨提醒: (1) ( n a ) n 中实数 a 的取值由 n 的奇偶性确定,只要 ( n a ) n 有意义,其值恒等于 a ,即

( n a )n ? a ;
(2) 影响. 易错典例 2:已知 a ? a
1 2 ? 1 2

n

a n 是一个恒有意义的式子,不受 n 的奇偶性限制, a ? R ,但 n a n 的值受 n 的奇偶性

? 3 ,求

a2 ? a a ?a
1 2

3

? ?

3 2 1 2

的值.

易错分析:本题解答一是难以想到应用“立方差”公式,二是应用“立方差”公式时易出现 错误. 温馨提醒: 条件求值问题,化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础,熟记公式,准确化简 是关键.

?1? 易错典例 3:函数 y= ? ? ?2?
温馨提醒:

? x2 ? x ? 2

的单调递增区间是________.

易错分析:本题解答往往忽视函数的定义域,而出现错误.

处理函数问题时,应注意遵循“定义域优先”的原则.

-5-

四、学科素养提升之数形结合思想
利用数形结合的思想比较幂值大小及指数型函数问题常能起到事半功倍的效果
3

? 2 ? ? 3 ?2 【典例】比较 ? ? 与 ? ? 的大小. ?3? ?4?

3

-6-



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