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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训4-3三角函数的图象与性质试题



1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数 f(x)=cosω x(ω >0), y=f(x)的图象向右平移 将 π 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( 3 A. 1 3 B.3 D.9 )

C.6 [答案] C π 2π [解析] 由题意知, = ·k(k∈Z), 3 ω ∴ω =6k,令 k=1,∴ω =6.
<

br />(理)(2012·浙江诸暨质检)函数 f(x)=sin2x+ 3cos2x 的图象可以由函数 y=2sin2x 的图象经哪种平移得到( π A.向左平移 个单位 12 π C.向右平移 个单位 12 [答案] B [解析] ∵f(x)=sin2x+ 3cos2x=2sin(2x+ π π )=2sin2(x+ ),∴f(x)的图象可 3 6 ) π B.向左平移 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6

π 以由函数 y=2sin2x 向左平移 个单位得到,故应选 B. 6 π 2.(文)(2012·福建文,8)函数 f(x)=sin(x- )的图象的一条对称轴是( 4 π A.x= 4 π C.x=- 4 [答案] C [解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题. π 函数 f(x)=sin(x- )的图象的对称轴是 4 π B.x= 2 π D.x=- 2 )

x- =kπ + ,k∈Z,即 x=kπ +
3π π 当 k=-1 时,x=-π + =- . 4 4

π 4

π 2

3π ,k∈Z. 4

[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点. π (理)(2011·海淀模拟)函数 f(x)=sin(2x+ )图象的对称轴方程可以为( 3 π A.x= 12 π C.x= 3 [答案] A π π kπ π [解析] 令 2x+ =kπ + 得 x= + ,k∈Z, 3 2 2 12 π 令 k=0 得 x= ,故选 A. 12 π π π [点评] f(x)=sin(2x+ )的图象的对称轴过最高点将选项代入检验, ∵2× + = 3 12 3 π ,∴选 A. 2 π 3.(文)(2011·唐山模拟)函数 y=sin(2x+ )的一个递减区间为( 6 π 2π A.( , ) 6 3 π π C.(- , ) 2 2 [答案] A π π 3π [解析] 由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + 得, 2 6 2 π π B.(- , ) 3 6 π 3π D.( , ) 2 2 ) 5π B.x= 12 π D.x= 6 )

kπ + ≤x≤kπ +

π 6

2π 3

(k∈Z),

π 2π 令 k=0 得, ≤x≤ ,故选 A. 6 3 π π (理)(2012·新课标全国理,9)已知 ω >0,函数 f(x)=sin(ω x+ )在( ,π )上单调 4 2 递减,则 ω 的取值范围是( 1 5 A.[ , ] 2 4 1 C.(0, ] 2 [答案] A [解析] 本题考查了三角函数 y=Asin(ω x+φ )的性质及间接法解题. ) 1 3 B.[ , ] 2 4 D.(0,2]

π 5π 9π π 3π 5π ω =2? ω x+ ∈[ , ]不合题意,排除 D,ω =1? (ω x+ )∈[ , ]合题 4 4 4 4 4 4 意,排除 B,C. π π 4.(2011·大连模拟)已知函数 f(x)=2sinω x(ω >0)在区间[- , ]上的最小值是 3 4 -2,则 ω 的最小值为( A. 2 3 ) B. 3 2

C.2 [答案] B

D.3

π π T π π [解析] ∵f(x)=2sinω x(ω >0)在区间[- , ]上的最小值为-2,∴ ≤ ,即 3 4 4 3 2ω π ≤ , 3 3 3 ∴ω ≥ ,即 ω 的最小值为 . 2 2 5.(文)(2011·吉林一中月考)函数 y=sin(ω x+φ )(x∈R,ω >0,0≤φ <2π )的部分 图象如图,则( )

π π A.ω = ,φ = 2 4 π π B.ω = ,φ = 3 6 π π C.ω = ,φ = 4 4 π 5π D.ω = ,φ = 4 4 [答案] C

T 2π π [解析] ∵ =3-1=2,∴T=8,∴ω = = . 4 T 4



π π π ×1+φ = ,得 φ = ,∴选 C. 4 2 4

(理)函数 y= ,x∈(-π ,0)∪(0,π )的图象可能是下列图象中的( sinx

x

)

[答案] C [解析] 依题意,函数 y= ,x∈(-π ,0)∪(0,π )为偶函数,排除 A,当 x∈(0, sinx π )时,直线 y=x 的图象在 y=sinx 上方,所以 y= >1,故选 C. sinx π π )+cos(2x+ ),则( 4 4 )

x

x

6.(文)(2011·课标全国文)设函数 f(x)=sin(2x+

π π A.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π B.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 2 π π C.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π D.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 2 [答案] D π? π? ? ? [解析] f(x)=sin?2x+ ?+cos?2x+ ? 4? 4? ? ?

π? ? = 2sin?2x+ ?= 2cos2x. 2? ? π ? π? 则函数在?0, ?单调递减,其图象关于直线 x= 对称. 2? 2 ? (理)(2011·河南五校联考)给出下列命题: 2 π 3 ①函数 y=cos( x+ )是奇函数;②存在实数 α ,使得 sinα +cosα = ;③若 α 、 3 2 2 π 5π β 是第一象限角且 α <β , tanα <tanβ ; x= 是函数 y=sin(2x+ )的一条对称轴 则 ④ 8 4 方程;⑤函数 y=sin(2x+ π π )的图象关于点( ,0)成中心对称图形. 3 12 ) B.②④ D.④⑤

其中正确命题的序号为( A.①③ C.①④ [答案] C

2 π 2 [解析] ①y=cos( x+ )? y=-sin x 是奇函数; 3 2 3 π 3 ②由 sinα +cosα = 2sin(α + )的最大值为 2< , 所以不存在实数 α , 使得 sinα 4 2 3 +cosα = ; 2 ③α ,β 是第一象限角且 α <β .例如:45°<30°+360°,但 tan45°>tan(30°+ 360°), 即 tanα <tanβ 不成立; π 5π 3π ④把 x= 代入 y=sin(2x+ )得 y=sin =-1, 8 4 2 π 5π 所以 x= 是函数 y=sin(2x+ )的一条对称轴; 8 4 π π π ⑤把 x= 代入 y=sin(2x+ )得 y=sin =1, 12 3 2 π π 所以点( ,0)不是函数 y=sin(2x+ )的对称中心. 12 3 综上所述,只有①④正确. [点评] 作为选择题,判断①成立后排除 B、D,再判断③(或④)即可下结论. 1 7. (文)函数 y=cosx 的定义域为[a, ], b 值域为[- , 则 b-a 的最小值为________. 1], 2 [答案] 2π 3

1 2π 4π [解析] cosx=- 时,x=2kπ + 或 x=2kπ + ,k∈Z,cosx=1 时,x=2kπ , 2 3 3

k∈Z.
2π 由图象观察知,b-a 的最小值为 . 3 (理)(2011·江苏南通一模)函数 f(x)=sinω x+ 3cosω x(x∈R),又 f(α )=-2,

f(β )=0,且|α -β |的最小值等于 ,则正数 ω 的值为________.
[答案] 1 π [解析] f(x)=sinω x+ 3cosω x=2sin(ω x+ ), 3 π T π 由 f(α )=-2,f(β )=0,且|α -β |的最小值等于 可知, = ,T=2π ,所以 ω 2 4 2 =1. π 2 8.已知关于 x 的方程 2sin x- 3sin2x+m-1=0 在 x∈( ,π )上有两个不同的实数 2 根,则 m 的取值范围是________. [答案] -2<m<-1 [解析] m=1-2sin x+ 3sin2x=cos2x+ 3sin2x π =2sin(2x+ ), 6 π ∵x∈( ,π )时,原方程有两个不同的实数根, 2 π π ∴直线 y=m 与曲线 y=2sin(2x+ ),x∈( ,π )有两个不同的交点,∴-2<m<-1. 6 2 π 9.(2011·济南调研)设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0 3 π ∈[- ,0],则 x0=________. 2 π [答案] - 6 π [解析] ∵函数 y=2sin(2x+ )的对称中心是函数图象与 x 轴的交点,∴2sin(2x0+ 3 π )=0, 3 π π ∵x0∈[- ,0]∴x0=- . 2 6
2

π 2

π 10.(文)(2011·北京文)已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1. 6 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 4 π [解析] (1)因为 f(x)=4cosxsin(x+ )-1 6 =4cosx( 3 1 sinx+ cosx)-1 2 2
2

= 3sin2x+2cos x-1= 3sin2x+cos2x π =2sin(2x+ ). 6 所以 f(x)的最小正周期为 π . π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6 (理)(2011·天津南开中学月考)已知 a=(sinx,-cosx),b=(cosx, 3cosx),函数

f(x)=a·b+

3 . 2

(1)求 f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标; π (2)当 0≤x≤ 时,求函数 f(x)的值域. 2 [解析] (1)f(x)=sinxcosx- 3cos x+ 1 3 3 = sin2x- (cos2x+1)+ 2 2 2 1 3 π = sin2x- cos2x=sin(2x- ), 2 2 3 所以 f(x)的最小正周期为 π . π π 令 sin(2x- )=0,得 2x- =kπ , 3 3 ∴x=
2

3 2


2

π + ,k∈Z. 6

故所求对称中心的坐标为(


2



π ,0)(k∈Z). 6

π π π 2π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 ∴- 3 π 3 ≤sin(2x- )≤1,即 f(x)的值域为[- ,1]. 2 3 2 能力拓展提升 cosx 11.(文)(2011·苏州模拟)函数 y=sinx·| |(0<x<π )的图象大致是( sinx )

[答案] B cosx [解析] y=sinx·| | sinx

? ? π =?0,x= 2 ?-cosx,π2 <x<π ?
π cosx,0<x< 2 π 图象如图,则 f( )=( 24 )

.

π (理)(2011·辽宁文)已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )(ω >0,|φ |< ),y=f(x)的部分 2

A.2+ 3 C. 3 3

B. 3 D.2- 3

[答案] B 3 π π [解析] 由图可知:T=2×( π - )= , 8 8 2 π ∴ω = =2,

T

3 又∵图象过点( π ,0), 8 3 3 ∴A·tan(2× π +φ )=A·tan( π +φ )=0, 8 4 π ∴φ = . 4 π 又∵图象还过点(0,1),∴Atan(2×0+ )=A=1, 4 π ∴f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π ∴f( )=tan(2× + ) 24 24 4 π π π =tan( + )=tan = 3. 12 4 3 12.(文)为了使函数 y=cosω x(ω >0)在区间[0,1]上至多出现 50 次最小值,则 ω 的 最大值是( )

A.98π C.99π [答案] C [解析]

B.

197 π 2

D.100π

1 99 2π 由题意至多出现 50 次最小值即至多需用 49 个周期,∴ · ≥1,∴ 2 2 ω

ω ≤99π ,故选 C.

?π ? (理)有一种波,其波形为函数 y=sin? x?的图象,若在区间[0,t](t>0)上至少有 2 ?2 ?
个波谷(图象的最低点),则正整数 t 的最小值是( A.5 [答案] C B.6 C.7 D.8 )

?π ? ?π ? [解析] ∵y=sin? x?的图象在[0,t]上至少有 2 个波谷,函数 y=sin? x?的周期 T ?2 ? ?2 ?
=4, 7 ∴t≥ T=7,故选 C. 4 π π 13.(文)(2011·南昌调研)设函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,φ ∈(- , ))的最小正 2 2 π 周期为 π ,且其图象关于直线 x= 对称,则在下面四个结论中: 12 π ①图象关于点( ,0)对称; 4 π ②图象关于点( ,0)对称; 3 π ③在[0, ]上是增函数; 6 π ④在[- ,0]上是增函数中, 6 所有正确结论的编号为________. [答案] ②④ 2π π [解析] 由最小正周期为 π 得, =π ,∴ω =2;再由图象关于直线 x= 对称, ω 12 π π π ∴2× +φ = ,∴φ = , 12 2 3 π π π 1 π π ∴f(x)=sin(2x+ ),当 x= 时,f( )= ≠0,故①错;当 x= 时,f( )=0, 3 4 4 2 3 3

π π π 故②正确;由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + 2 3 2

5π π (k∈Z)得,kπ - ≤x≤kπ + ,令 k=0 12 12

5π π 得,- ≤x≤ ,故③错,④正确,∴正确结论为②④. 12 12 (理)(2011·南京模拟)已知函数 f(x)=xsinx,现有下列命题: ①函数 f(x)是偶函数;②函数 f(x)的最小正周期是 2π ;③点(π ,0)是函数 f(x)的图 π π 象的一个对称中心;④函数 f(x)在区间[0, ]上单调递增,在区间[- ,0]上单调递减. 2 2 其中真命题是________(写出所有真命题的序号). [答案] ①④ π π π [解析] ∵y=x 与 y=sinx 均为奇函数, f(x)为偶函数, ∴ 故①真; f( )= , ( ∵ f 2 2 2 π π +2π )= +2π ≠ , 2 2 π π 3π 3π π 3π π 3π ∴②假;∵f( )= ,f( )=- , + =2π , +(- )≠0,∴③假;设 2 2 2 2 2 2 2 2 π f? x1? x1 sinx1 π 0≤x1<x2≤ ,则 = · <1,∴f(x1)<f(x2)(f(x2)>0),∴f(x)在[0, ]上为增 2 f? x2? x2 sinx2 2 π 函数,又∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[- ,0]上为减函数,∴④真. 2 π 1 3 2 14.函数 f(x)=2acos x+bsinxcosx 满足:f(0)=2,f( )= + . 3 2 2 (1)求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)若 α 、β ∈(0,π ),f(α )=f(β ),且 α ≠β ,求 tan(α +β )的值.

?f? 0? =2, ? [解析] (1)由? π 1 3 ?f? 3 ? =2+ 2 , ? ?2a=2, ? 得?1 3 1 3 ?2a+ 4 b=2+ 2 . ?

解得 a=1,b=2,

π ∴f(x)=sin2x+cos2x+1= 2sin(2x+ )+1, 4 π ∵-1≤sin(2x+ )≤1, 4 ∴f(x)max= 2+1,f(x)min=1- 2. π π (2)由 f(α )=f(β )得,sin(2α + )=sin(2β + ). 4 4

π π π 9π ∵2α + 、2β + ∈( , ),且 α ≠β , 4 4 4 4 π π π π ∴2α + =π -(2β + )或 2α + =3π -(2β + ), 4 4 4 4 π 5π ∴α +β = 或 α +β = ,故 tan(α +β )=1. 4 4 π 15.(文)(2011·长沙一中月考)已知 f(x)=sinx+sin( -x). 2 1 (1)若 α ∈[0,π ],且 sin2α = ,求 f(α )的值; 3 (2)若 x∈[0,π ],求 f (x)的单调递增区间. [解析] (1)由题设知 f(α )=sinα +cosα . 1 ∵sin2α = =2sinα ·cosα >0,α ∈[0,π ], 3 π ∴α ∈(0, ),sinα +cosα >0. 2 4 2 由(sinα +cosα ) =1+2sinα ·cosα = , 3 2 2 得 sinα +cosα = 3,∴f(α )= 3. 3 3 π (2)由(1)知 f(x)= 2sin(x+ ),又 0≤x≤π , 4 π ∴f(x)的单调递增区间为[0, ]. 4 (理)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,向量 m=(b,2a-c),n=(cosB, cosC),且 m∥n. (1)求角 B 的大小; (2)设 f(x)=cos?ω x- ?+sinω x(ω >0),且 f(x)的最小正周期为 π ,求 f(x)在区间 2? ? π [0, ]上的最大值和最小值. 2 [解析] (1)由 m∥n 得,bcosC=(2a-c)cosB, ∴bcosC+ccosB=2acosB. 由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, 即 sin(B+C)=2sinAcosB. 又 B+C=π -A,∴sinA=2sinAcosB. 1 π 又 sinA≠0,∴cosB= .又 B∈(0,π ),∴B= . 2 3

?

B?

(2)由题知 f(x)=cos(ω x- =

π )+sinω x 6

3 3 π cosω x+ sinω x= 3sin(ω x+ ), 2 2 6

2π π 由已知得 =π ,∴ω =2,f(x)= 3sin(2x+ ), ω 6 π π π 7π 当 x∈[0, ]时,(2x+ )∈[ , ], 2 6 6 6 π 1 sin(2x+ )∈[- ,1]. 6 2 π π π 因此,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 3. 6 2 6 π 7π π 3 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值- . 6 6 2 2 16.(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数 f(x)=-1+2 3sinxcosx+2cos x. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)求 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标; (3)若角 α ,β 的终边不共线,且 f(α )=f(β ),求 tan(α +β )的值. π [解析] f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ), 6 π π 3π (1)由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z) 2 6 2 π 2π 得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z), 6 3 π 2π ∴f(x)的单调减区间为 [kπ + ,kπ + ](k∈Z). 6 3 π π (2)由 sin(2x+ )=0 得 2x+ =kπ (k∈Z), 6 6 即 x=
2



π - (k∈Z), 2 12

π ∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(- ,0). 12 (3)由 f(α )=f(β )得: π π 2sin(2α + )=2sin(2β + ), 6 6 又∵角 α 与 β 的终边不共线, π π ∴(2α + )+(2β + )=2kπ +π (k∈Z), 6 6

π 即 α +β =kπ + (k∈Z),∴tan(α +β )= 3. 3 (理)

π π (2011·浙江文)已知函数 f(x)=Asin( x+φ ),x∈R,A>0,0<φ < .y=f(x)的部分 3 2 图象如图所示,P、Q 分别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求 A 的值. 3 [解析] (1)由题意得,T= 2π =6, π 3

π 因为 P(1,A)在 y=Asin( x+φ )的图象上, 3 π 所以 sin( +φ )=1. 3 π π 又因为 0<φ < ,所以 φ = . 2 6 (2)设点 Q 的坐标为(x0,-A),

π π 3π 由题意可知 x0+ = ,得 x0=4, 3 6 2 所以 Q(4,-A).

2 连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= π ,由余弦定理得, 3

RP2+RQ2-PQ2 A2+9+A2-? 9+4A2? 1 cos∠PRQ= = =- , 2 2RP·RQ 2 2A· 9+A
解得 A =3 又 A>0,所以 A= 3.
2

π 5π 1. (2012·河北郑口中学模拟)已知函数 f(x)=Asin(x+φ )(A>0, - <φ <0)在 x= 2 6 处取得最大值,则 f(x)在[-π ,0]上的单调增区间是( 5π A.[-π ,- ] 6 π C.[- ,0] 3 [答案] D 5π π π [解析] ∵f(x)=Asin(x+φ )在 x= 处取得最大值, >0, A - <φ <0, ∴φ =- , 6 2 3 π π π π π 5π ∴f(x)=Asin(x- ), 2kπ - ≤x- ≤2kπ + (k∈Z)得 2kπ - ≤x≤2kπ + , 由 3 2 3 2 6 6 π 令 k=0 得- ≤x≤0,故选 D. 6 π? π ? 2.(2011·长沙二模)若将函数 y=sin?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单位长度 4? 4 ? π? ? 后,与函数 y=sin?ω x+ ?的图象重合,则 ω 的最小值为( 3? ? A.1 C. 1 12 B.2 D. 23 3 ) )

5π π B.[- ,- ] 6 6 π D.[- ,0] 6

[答案] D

π? ? [解析] y=sin?ω x+ ? 4? ?

y=sin?ω ?x- 4 ?+ ?=sin?ω x+ ?, 3 4

? ? ? ?

π? π?

?

?

? ?

π?

?



π π π 1 - ω +2kπ = ,∴ω =8k- (k∈Z), 4 4 3 3

23 又∵ω >0,∴ω min= . 3

πx 3. (2011·北京大兴区模拟)已知函数 f(x)= 3sin 图象上相邻的一个最大值点与一

R

个最小值点恰好都在圆 x +y =R 上,则 f(x)的最小正周期为( A.1 [答案] D [解析] B.2 C.3 D.4

2

2

2

)

f(x)的周期 T=

2π =2R, f(x)的最大值是 3,结合图形分析知 R> 3,则 π

R
2R>2 3>3,只有 2R=4 这一种可能,故选 D. 4.(2012·河北保定模拟)已知向量 a=(cosθ ,sinθ )与 b=(cosθ ,-sinθ )互相垂 直,且 θ 为锐角,则函数 f(x)=sin(2x-θ )的图象的一条对称轴是直线( A.x=π π C.x= 4 [答案] B [解析] a·b=cos θ -sin θ =cos2θ =0, π π ∵θ 为锐角,∴θ = ,∴f(x)=sin(2x- ). 4 4 π π kπ 3π 由 2x- =kπ + 得,x= + , 4 2 2 8 7π 令 k=1 得 x= ,故选 B. 8 5.
2 2

)

7π B.x= 8 π D.x= 2

(2011·北京西城模拟)函数 y=sin(π x+φ )(φ >0)的部分图象如图所示,设 P 是图 象的最高点,A,B 是图象与 x 轴的交点,则 tan∠APB=( A.10 B.8 )

C.

8 7

D.

4 7

[答案] B [分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解. [解析] 如图,过 P 作 PC⊥x 轴,垂足为 C,设∠APC=α ,∠BPC=β ,∴∠APB=α 2π +β ,y=sin(π x+φ ),T= =2,tanα = π

1

3

2 2 AC 2 1 BC 2 3 tanα +tanβ = = ,tanβ = = = ,则 tan(α +β )= = =8,∴选 PC 1 2 PC 1 2 1-tanα ·tanβ 1 3 1- × 2 2 B.

1 3 +

1+sinx1 1+sinx2 ? π? 6.对任意 x1,x2∈?0, ?,x2>x1,y1= ,y2= ,则( 2? x1 x2 ? A.y1=y2 B.y1>y2 C.y1<y2 D.y1,y2 的大小关系不能确定 [答案] B

)

1+sinx1 [解析] 取函数 y=1+sinx, 则 的几何意义为过原点及点(x1,1+sinx1)的直线

x1

1+sinx2 斜率, 的几何意义为过原点及点(x2,1+sinx2)的直线斜率,由 x1<x2,观察函数 y=

x2

1+sinx 的图象可得 y1>y2.选 B.
?sinx,sinx≤cosx ? 7.(2011·菏泽模拟)对于函数 f(x)=? ? ?cosx,sinx>cosx

,给出下列四个命题:

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数;

②当且仅当 x=π +kπ (k∈Z)时,该函数取得最小值是-1; 5π ③该函数的图象关于直线 x= +2kπ (k∈Z)对称; 4 π 2 ④当且仅当 2kπ <x< +2kπ (k∈Z)时,0<f(x)≤ . 2 2 其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④ [解析] 画出函数 f(x)的图象,易知③④正确. π π 2 8.已知函数 f(x)= 3sin(2x- )+2sin (x- )(x∈R). 6 12 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. [ 解 析 ] 2? (1)f(x) = 3 sin(2x - π π ) + 1 - cos2(x - ) = 6 12

π? 1 ? π ?? ? 3 ? sin?2x- ?- cos?2x- ??+1 6? 2 ? 6 ?? ? ?2 π =2sin(2x- )+1. 3 所以最小正周期为 T=π . π 5π (2)当 f(x)取最大值时,只要 sin(2x- )=1,得出 x=kπ + (k∈Z),∴x 值的集 3 12

5π 合为{x|x=kπ + ,k∈Z}. 12 [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法.诸如:化复杂为简单,异角化同角,异 名化同名,高次化低次,化为一个角的同名三角函数的形式等等.



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