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2011版高三数学一轮精品复习学案:数系的扩充与复数的引入


2011 版高三数学一轮精品复习学案:
数系的扩充与复数的引入
【高考目标定位】
一、考纲点击:1、理解复数的基本概念;2、理解复数相等的充要条件;3、了解复数的代数表示法及其几 何意义;4、会进行复数代数形式的四则运算;5、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 二、热点提示:1、复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一,常以选择题的形式出现,属 容易题;2、复数的代数运算是高考的另一热点点,以选择题、填空题的形式的出现,属容易题。

【考纲知识梳理】
1、复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部。若 b=0,则 a+bi 为实数,若 b≠0,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数。 (2)复数相等:a+bi=c+di ? a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭 ? a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).。 (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面。X 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数;除 原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数。 (5)复数的模 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记叙|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= a ? b 。
2 2

??? ?

2、复数的几何意义

? (1)复数 z=a+bi ???? 复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R);
一一对应
一一对应

? (2)复数 z=a+bi ???? 平面向量 OZ (a,b∈R) 。
3、复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+ z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1- z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1· z2=( a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法:

??? ?

z1 a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? ? (c ? di ? 0) z2 c ? di (c ? di)(c ? di ) c2 ? d 2

(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、 结合律, 即对任何 z1 、z2 、z 3 ∈C, z1 + z2 = z2 + z1 , z1 + z2 ) z 3 = z1 + z2 + z 3 ) 有 ( + ( 。 注:任意两个复数不一定能比较大小,只有这两个复数全是实数时才能比较大小。

【热点难点精析】

一、复数的有关概念及复数的几何意义 ※相关链接※

1、复数的分类 2、处理有关复数概念的问题,首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式,则应通过代数 运算化为代数形式) ,然后根据定义解题。 ※例题解析※ 〖例〗当实数 m 为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i (1) 纯虚数; (2)为实数; (3)对应的点在复平面内的第二象限内。 思路解析:根据复数分类的条件和复数的几何意义求解。 解答:根据复数的有关概念,转化为实部和虚部分别满足的条件求解。 (1)若 z 为纯虚数,则 ?

?lg(m 2 ? 2m ? 2) ? 0 ? , 解得 m=3 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0 ?

?lg(m 2 ? 2m ? 2) ? 0 ? , 解得 m=-1 或 m=-2 (2)若 z 为实数,则 ? 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0 ?
(3)若 z 的对应点在第二象限,则 ? 即(1)m=3 时,z 为纯虚数; (2)m=-1 或 m=-2 时,z 为实数; (3)-1<m<1- 3 或 1+ 3 <m<3 时,z 的对应点在第二象限内。 二、复数相等 ※相关链接※ 1、a+bi=c+di ? ?

?lg(m 2 ? 2m ? 2) ? 0 ? , 解得-1<m<1- 3 或 1+ 3 <m<3. 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0 ?

?a ? c (a, b, c, d ? R) . ?b ? d

2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。 注:对于复数 z,如果没有给出代数形式,可设 z= a+bi(a,b∈R)。 ※例题解析※ 〖例〗已知集合 M={ (a+3)+(b2-1)i,8},集合 N={3, 2-1)+(b+2)}同时满足 M∩N (a Φ ,求整数 a,b 思路解析:判断两集合元素的关系 ?列方程组 ?分别解方程组 ?检验结果是否符合条件。 解答: 依题意得(a ? 3) ? (b ?1)i ? 3i …………………………①
2

? M,M∩N≠
?

或 8 ? (a ?1)(b ? 2)i …………………………………………②
2

或 a ? 3 ? (b ?1)i ? a ? 1 ? (b ? 2)i …………………………③
2 2

由①得 a=-3,b=±2,经检验,a=-3,b=-2 不合题意,舍去。∴a=-3,b=2 由②得 a=±3, b=-2.又 a=-3,b=-2 不合题意,∴a=3,b=-2; 由③得 ?

?a ? 3 ? a 2 ? 1 ?a 2 ? a ? 4 ? 0 ? ? ,此方程组无整数解。 即? 2 2 ?b ? 1 ? b ? 2 ?b ? b ? 3 ? 0 ? ?

综合①②③得 a=-3,b=2 或 a=3,b=-2。 三、复数的代数运算 ※相关链接※ 1、在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度: (1) ?1 ? i ? ? 2i, ? 2 ??1 ? i ? ? ?2i, ? 3?
2 2

1? i ?i 1? i

(4)

1? i ? ?i, (5) ?b ? ai ? i ? a ? bi ? , 1? i

(6) i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i, n ? N 2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含 i 的看作另一类 同类项,分别合并即可,但要注意把 i 的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟透 i 的特点及熟练应用运算 技巧。 ※例题解析※

1 ? i 5 2 1 ? i 20 [(1 ? 2i) ? i 100 ? ( ) ] ?( ) 1? i 2 〖例〗

1 ? i 5 2 1 ? i 20 [(1 ? 2i) ? i 100 ? ( ) ] ?( ) 1? i 2 解答:
四、复数加减法的几何意义

10 ? [ ( 1? i2 ) 1 i? 2) ]? 0 ? ?1 ? i ? ? i ? 1 ? 2i ? ? (5 i1 2

〖例〗如图,平行四边形 OABC,顶点 O、A、C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求: (1) OA 表示的复数, BC 表示的复数; (2)对角线 CA 所表示的复数。 思路解析:求某个向量对应的复数,只要求出向量的起点和终点对应的复数 即可。 解答: (1)OA =- AO ,∴ AO 表示的复数为-3-2i.∵ BC = AO ,∴ BC 所表示 的复数为-3-2i。 (2) CA = OA - OC ,∴ CA 所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 注:①解决这类题目是利用复数 a+bi(a,b∈R)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系,相等的 向量表示同一复数,然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解。 ②复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法,桥梁是设 z=x+yi,依据是复数相等的充要 条件。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

??? ???? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

【感悟高考真题】
1.(2010 湖南文数)1. 复数

2 等于 1? i

A. 1+i 解:A

B. 1-i

C. -1+i

D. -1-i

2.(2010 浙江) (5)对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确的是 (A) z ? z ? 2 y (C) z ? z ? 2 x (B) z 2 ? x2 ? y 2 (D) z ? x ? y

解析: 可对选项逐个检查, 项, z ? z ? 2 y , A 错, 项,z 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xyi , B 错, 项, z ? z ? 2 y , A 故 B 故 C 故 C 错,D 项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义,属中档题

?3?i ? 3.(2010 全国卷 2 理数) (1)复数 ? ? ? ? 1? i ?
2

(A) ?3 ? 4i 【答案】A

(B) ?3 ? 4i

(C) 3 ? 4i

(D) 3 ? 4i

【命题意图】本试题主要考查复数的运算. 【解析】 ?

? (3 ? i)(1 ? i) ? ?3?i ? 2 ? ?? ? ? (1 ? 2i) ? ?3 ? 4i . 2 ? ? ? 1? i ?
2 2

4. (2010 北京理数) (9)在复平面内,复数 答案: (-1,1)

2i 对应的点的坐标为 1? i



5.(2010 江苏卷)2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等,z 的模为 2。 6.(2010 湖北理数)1.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 Z,则表示复数 A.E B.F C.G D.H

z 的点是 1? i



【答案】D 【解析】观察图形可知 z ? 3 ? i ,则 -1) ,故 D 正确. 7.(2010 上海文数)4.若复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z ? z ? z ?
z 3?i ? ? 2 ? i ,即对应点 H(2, 1? i 1? i

6 ? 2i



解析:考查复数基本运算 z ? z ? z ? (1 ? 2i)(1 ? 2i) ? 1 ? 2i ? 6 ? 2i 8.(2010 重庆理数) (11)已知复数 z=1+I ,则

2 ? z =____________. z

解析:

2 ? 1 ? i ? 1 ? i ? 1 ? i ? ?2i 1? i

【考点精题精练】一、选择题

1、 (广东佛山一中·2010 届高三模拟)复数 Z ? cos ? ? i sin ? ( ? ? (0, 2? ) )在复平面上所对应的点在第二象

限上,则 ? 的取值范围是(

B )A. (0,

?
2

)

( ,? ) B. 2

?

C. (? ,

3? ) 2

D. (

3? , 2? ) 2

2、 (广西桂林十八中·2010 届高三月考)设 i 是虚数单位,若 z ? A、-1 B、1 C、 ?i

1 ? 2i ,则 z 的值是(D) 2?i
D、 i

3、 (河南省许昌平顶山·2010 届高三调研)复数(

1-i 9 ) 的值等于(D) 1+i
D.-i

A.

2 2

B. 2 个

C. I

4、 黑龙江庆安三中·2010 届高三 10 月月考)复数 (
A. 1 ?

2?i 等于( ?i

C

).

2i

B. 1 ?

2i

C. ?1 ? 2i

D. ?1 ? 2i

(1 ? i )(1 ? 2i ) ? 1? i 5、 (广东深圳深圳高中 09-10 学年·高二期末(文) )

(

C

)

A. ? 2 ? i

B. ? 2 ? i

C. 2 ? i

D. 2 ? i

6、 (湖南省长郡中学·09~10 学年高二期末(文) )下列各数中,纯虚数的个数有( C )个。

2 i 2 ? 7 , 7 , 0i , 5i ? 8 , i 1 ? 3 , 0.618

?

?

A.0 个

B.1 个

C.2 个 D.3 个

5 7、 (浙江省桐乡高中·09~10 学年高二期中考试(文) )复数 3 ? 4i 的共轭复数是( D )
A. 3 ? 4i

3 4 ? i B. 5 5

C. 3 ? 4i

3 4 ? i D. 5 5
2 2

8、 (河南南召二高·09~10 学年高二期末模拟)复数 Z ? (a ? 2a) ? (a ? a ? 2)i 对应的点在第三象限,则 a 的 取值范围是( B ) A. ?1 ? a ? 2 B. 0 ? a ? 2 C. 0 ? a ? 2 D. ?1 ? a ? 0

9、 (2010 届·山东烟台开发区高三月考(文))复数 z1 ? 3 ? i, z2 ? 1 ? i ,则复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

z1 在复平面内对应的点位于(A) z1

10、 (2010 届·辽宁锦州高三期末考试(理) )如果复数 (A)0 (B)1 (C)-1

m2 ?1 ? i ? ? ? m ? i ? i 2

为纯虚数,则实数 m 的值为(A)

(D)0或1

11、 (2010 届·浙江春浑中学高三 1 月月考)设复数 A.-2 B.-1 C.1 D.2

z1 ? 1 ? i, z2 ? x ? 2i( x ? R) ,若 z1 z2 为实数,则 x=( A )
1? i 在复平面内对应的点位于 ( i

12、黑龙江省双鸭山一中· ( 2010 届高三期中考试 (文) 已知 i 为虚数单位, z= ) 则 (A)第一象限 二、填空题 (B)第二象限 (C)第三象限

D ) 。

(D)第四象限

5i 1、 (浙江省桐高·09~10 学年高二期中考试(文) )已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则 z =

2?i



z ? 4 ?t2 ?
2、 (上海宝山 2010 届高三上期末)若复数

1? t i 对应的点在第四象限,则实数 t 的取值范围是

(?1, 2) .
2 3、 (上海宝山 2010 届高三上期末) 已知 a ? 3i (a ? R) 是一元二次方程 x ? 4 x ? t ? 0 的一个根, 则实数 t=_13_.

4、 (2009·金陵中学三模)已知复数 z1 ? ?1 ? 2i, z2 ? 1 ? i, z3 ? 3 ? 2i ,它们所对应的点分别为 A,B,C.若

??? ? ??? ? ??? ? OC ? xOA? yOB,则 x ? y 的值是 5
三、解答题



z?
1、 (广东深圳高中 09-10 学年·高二期末)已知复数

(?1 ? 3i )(1 ? i ) ? (1 ? 3i ) , ? ? z ? ai (a ? R ), i

?
(1)求 | z| ; (2)当 解答: (1) | z| ? 2

z

?

2
时,求 a 的取值范围.

(2) z ? 1 ? i ? ? ? z ? ai ? 1 ? (a ? 1)i
?

?
z

?

1 ? ( a ? 1) 2 ? a a ? ? i. 1? i 2 2
2 2

? 2?a ? ?a? 又 ? 2, 则 ? ? ? ? ? ? 2, z ? 2 ? ?2? 2 即a ? 2a ? 2 ? 0. 解得, 1? 3 ? a ? 1? 3.
5 ? | w ? 2 | ,求一个以 z 为根的实系数一元二次方程. w

?

2、已知复数 w 满足 w ? 4 ? (3 ? 2w) i ( i 为虚数单位) z ? , 解答:方法一

? w(1 ? 2 i) ? 4 ? 3i, ? w ?

? z?

5 ? | ?i |? 3 ? i 。 2?i

4 ? 3i ? 2?i 1 ? 2i

若实系数一元二次方程有虚根 z ? 3 ? i ,则必有共轭虚根 z ? 3 ? i .

? z ? z ? 6, z ? z ? 10 ,
2 ? 所求的一个一元二次方程可以是 x ? 6x ? 10 ? 0 。

方法二 设 w ? a ? b i
a ? b i ? 4 ? 3 i ? 2a i ? 2b

(a、b ? R)

?b ? ?1,

得 ?

?a ? 4 ? 2b, ?b ? 3 ? 2a,

? ? a ? 2, ?

? w? 2?i,
以下解法同[方法一].


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