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华师大二附中2013届高三数学周测20



华师大二附中 2013 届高三数学周测 20
一、填空题(每题 5 分,共 60 分) :

x 1. 已知集合 U ? {?1,2,

lg x

} , A ? {?1,2} ,且 ?U A ? {10} ,则 x ?

.

2. 已知 △ABC 的三内角满足 sin 2 A ? sin 2 C ? sin 2 B ? 3 sin C sin B , 则角 A 的大小为 3. 已知 . .

m ? 1 ? ni ,其中 m,n 是实数, i 是虚数单位,则 | m ? ni |? 1? i
a9 2 ? a11
. 开始

4. 在等比数列 {an } 中,若 a3 ? a7 ? a11 ? 27 ,则

?x ? t ? 2 ? 5. 曲线 C: ? 1 (t 为参数)的对称中心坐标是 ?y ? t ?1 ?
6. 如果将函数 y ? sin(2 x ?

f ( x) ? x 4 ? 16 x ? 1
.

a ? ?2,b ? 2
m? a?b 2

?
4

) 的图像向右平移

? 个 8


单位得到函数 y ? g ( x) 的图像,则函数 y ? g ( x) 的解析式为 .

f (m) ? 0?


? ? 7. 已知向量 a ? {x1,y1} 和向量 b ? {x2,y2 } ,

( * )




? ? 将 a 和 b 的数量积用行列式的形式表示

4

b?m

a?m


.

| a ? b |? 0.0001?

打印m

8. 右上图是用二分法求方程 x ? 16 x ? 1 ? 0 在 [?2, 2] 的近似解的程序框图,要求解的

结束

精确度为 0.0001 ,则 ( * ) 处应填的内容是_________________. 9. 已知 (ax ? 1) 的展开式中,二项式系数和为 32 ,各项系数和为 243 ,则 a ?
n



10. 某人参加某电视台举办的答题游戏,从 8 道备选题中任抽取 4 道作答.已知他答对 题目的个数 ? 的分布律如下表所示,则 ? 的数学期望 E(? ) ? . 3 4

?
P

0

1

2

1 81

8 81

8 27

32 81

16 81

11. 给出下列 5 个命题:①函数 f ( x) ? x | x | ?ax ? m 是奇函数的充要条件是 m ? 0 ;②

若函数 f ( x) ? lg(ax ? 1) 的定义域是 {x | x ? 1} ,则 a ? ?1 ;③若 log a 2 ? log b 2 ,则

lim

a n ? bn 2 2 ;④圆: x ? y ? 10 x ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点 M 关于 ? 1 (其中 n ? N * ) n ?? a n ? b n

直线 ax ? y ? 5a ? 2 的对称点 M ? 也在该圆上;⑤函数 y ? cos | x | 是周期函数. 其中正确结论的序号是 12. 已知 f ( x ) ? .(填写你认为正确的所有结论序号)

1 2 * ,且关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 k (k ? N ) 个根, | x ? 1| ?1

则这 k 个根的和可能是 .(请写出所有可能值) 13. 在计算“ 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ”时,某同学学到了如下一种方法: 先 改 写 第 k 项 : k( k 1 ? ? )

1 3

k k [ ? (

1 k) ( ? 2k ? ? )

(k , k 由 ) 此 (得 1 ) ] ?1

1 ? ?1? 2 ? 3 (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2) ? ?2 ? 3 ? 1 (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) ,两边分别相加,得 ? 3 ?????? ? 1 ?n(n ? 1) ? 3 [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] ? 1 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ? n(n ? 1)(n ? 2). 3 类比上述方法,请你计算“ 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n(n ? 1)(n ? 2) ”,
其结果是 .
2

14. 设非空集合 S ?{x | m ? x ? l} 满足:当 x ? S 时,有 x ? S . 给出如下三个命题:①若

2 1 1 1 1 m ?1 ,则 S ?{ } ;②若 m ? ? ,则 ? l ? 1 ;③若 l ? ,则 ? ? m? 0 ;④若 l ?1 , 2 2 4 2 则 ?1? m ? 0 或 m ?1 .其中正确命题的是 .
二、选择题(每题 4 分,共 16 分) :
* 15. 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 若 对 于 任 意 n ? N , 点 P (n,Sn ) 都 在 直 线 n

y ? 3x ? 2 上,则数列 {an }
A.是等差数列不是等比数列 C.是常数列





B.是等比数列不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 )

16. m、n 是不重合的两直线, ?、? 是不重合的两平面,则下列命题正确的是 ( A.若 m // ?,n ? ? ,则 m // n ; C.若 m ? ?,m ? ? ,则 ? // ? ; B.若 m // ?,m // ? ,则 ? // ? ;

D.若 ? ? ? ? n,m // n ,则 m // ? 且 m // ?

17. 已知 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3,?BAC ? 30 ,若 ?MBC 、 ?MAB 、
?

??? ???? ?

1 4 1 ?MAC 的面积分别为 、 x、y , 则 ? 的最小值是( ) x y 2
A.9 B. 16 C. 18 D. 20

18. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f ( x) 的图 象恰好通过 n(n ? N ) 个整点,则称函数 f ( x) 为 n 阶整点函数.有下列函数:
*

① f ( x) ? sin 2 x ; ② g ( x) ? x ;
3

③ h( x ) ? ( ) x ; ) C.①④

1 3

④ ? ( x) ? ln x .

其中是一阶整点函数的是 ( A.①②③④ B.①③④ 三、解答题(共 74 分) :

D.④

19. (本题满分 12 分)如图, ABCD 是底面半径为1 的圆柱 OO1 的轴截面, P 是下底面 圆周上一点(异于 A、B ) , (1)判断 A、B、D、P 是否在同一个球面上,说明理由;
? (2)若 DP 与底面所成的角是 45 ,圆柱的体积为 3? ,求二面角 B ? AD ? P 的大小.

D

O1

C

A

O P

B

20. (本题满分 14 分)已知 f ( x) ?

x ? [0, ] . 2
(1)若 f ( x) ? 0 ,求常数 a、b、c 所满足的条件; (2)当 a ? b ? c ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 的值域.

?

a ? c cos x b ? c sin x ,其中 a、b、c 为正实数, ? b ? c sin x a ? c cos x

21. (本题满分 14 分)函数 f (x) 和 g (x) 的图象关于原点对称,且 f ( x) ? x ? 2 x .
2

(1)求函数 g (x) 的解析式; (2)解不等式 g ( x) ? f ( x)? | x ? 1| ; (3)若 h ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? 1 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围 22. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? log 3 像上的两点,横坐标为

3x ,M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) 是 f ( x) 图 1? x

1 的点 P 满足 2OP ? OM ? ON ( O 为坐标原点). 2

(1)求证: y1 ? y2 为定值; (2)若 S n ? f ?

?1? ? 2? ? n ?1 ? * ? ? f ? ? ? ?? f ? ? ,其中 n ? N , n ? 2 ?n? ? n? ? n ?

?1 n ?1 ?6, ? * 令 an ? ? ,其中 n ? N ,Tn 为数列 ? an ? 的前 n 项和, 1 ? ,n ? 2 ? 4 ? S n ? 1?? S n ?1 ? 1? ?
* 若 Tn ? m ? S n ?1 ? 1? 对一切 n ? N 都成立,试求 m 的取值范围.

(3)对于给定的实数 a(a ? 1) 是否存在这样的数列 {an } ,使得 f (an ) ? log 3 ( 3an ?1 ) , 且 a1 ?

1 ?若存在,求出 a 满足的条件;若不存在,请说明理由. a ?1
x2 2 ? y ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的 4

23. (本题满分 18 分)已知椭圆 C1 的方程为

左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; (2)若直线 l:y ? kx ? 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B ,且 OA ? OB ? 2 (其 中 O 为原点) ,求 k 的范围. (3)试根据轨迹 C2 和直线 l ,设计一个与 x 轴上某点有关的三角形形状问题,并予以 解答(本题将根据所设计的问题思维层次评分).

??? ??? ? ?

华师大二附中高三数学周测 20 答案
一、填空题: 1. x ? 10 或 x ? 6. y ? sin 2 x ; 9.2; 13.

1 ; 10
7.

2.

5? ; 6
等;

3. 5 ;

4.3;

5. (?2, ; 1)

x1 ? y2

y1 x2

8. f ? a ? ? f ? m ? ? 0? 或 f ? b ? ? f ? m ? ? 0? ; 11.①④⑤; 12. 2、3、4、5、6、7、8

10. E (? ) ?

8 3

1 n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 14. ①②③④ 4

二、 选择题: 15.D; 16.C; 17.C; 18.C 三、解答题: 19. (1)在同一球面上,理由:取线段 BD 的中点 Q ,易证 ?BAD 和 ?BPD 都是直角三 角形,∴ QA ? QB ? QP ? QD ,所以 A、B、D、P 在同一球面上; (2)依题意,显然 ?BAP 是二面角 B ? AD ? P 的平面角, 又 DP 与底面所成的角是 45 , AP ? AD ? 2cos ?BAP ,
?

3 ? ,∴ ?BAP ? . 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ? c cos x ? b ? c sin x a ?b ?c ? ? 0, 20. (1)由 f ( x) ? (b ? c sin x)(b ? c sin x) (b ? c sin x)(b ? c sin x) 2 2 2 得a ?b ?c ? 0 ; 1 (2)当 a ? b ? c ? 0 时, y ? 1 ? sin x ? cos x ? sin x cos x t 2 ?1 ? 令 sin x ? cos x ? t , sin x cos x ? , ∵ x ? [0, ] , ∴ 2 2 t ? sin x ? cos x ? [1, 2] , 1 2 2 , (t ? 1) 在 [1, 2] 上是增函数, y? ? 2 1 ? sin x ? cos x ? sin x cos x (t ? 1) 1 2 ∴ (t ? 1) ? [4,3 ? 2 2] ,∴函数 y ? f ( x) 的值域为 [6 ? 4 2, ] 2 21. (1)设函数 y ? f (x) 的图象上任意一点 Q( x0 , y 0 ) 关于原点的对称点为 P( x , y ) ,则
∴ V圆柱 ? ? ?1? 2 cos ?BAP ? 3? ,∴ cos ?BAP ?

? x0 ? x ? 2 ?0 ? x0 ? ? x ? ,即 ? ∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上, ? y0 ? y ? y0 ? ? y ? ? 2 ?0 ? 2 2 2 ∴ ? y ? x ? 2 x , 即 y ? ? x ? 2 x ,故 g ( x) ? ? x ? 2 x
(2)由 g ( x) ? f ( x)? | x ? 1| ,可得 2 x ? | x ? 1|? 0 ,
2

当 x ? 1时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解
2

当 x ? 1时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ?
2

1 2

因此,原不等式的解集为 (?1, ) .

1 2

2 (3) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1

1 ① 当? ? ?1时,h ? x ? ? 4 x ? 1在? ?1, ? 上是增函数,
② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ? ⅰ)当 ? ? ?1 时,

?? ? ? 1

1? ? ? ?1 ,解得 ? ? ?1 1? ? 1? ? ⅱ)当 ? ? ?1 时, ? 1 ,解得 ? 1 ? ? ? 0 1? ? 综上所述, ? ? 0 . ??? 1 ???? ???? ? ? 1 22. (1)证明:设 P 点坐标为 ( ,yP ) ,由已知可得, OP ? (OM ? ON ) 2 2 1 1 则 ( ,yP ) ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ,∴ x1 ? x2 ? 1 2 2 3x1 3x2 3x1 x2 y1 ? y2 ? log 3 ? log 3 ? log 3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 3x1 x2 ? log 3 ?1 1 ? 1 ? x1 x2 (2)由(1)知当 x1 ? x2 ? 1 时, y1 ? y2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1. 1 2 n ?1 ① Sn ? f ( ) ? f ( )? ? f ( ), n n n n ?1 2 1 n ?1 ②,∴ 2 S n ? n ? 1 ,故 Sn ? Sn ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ), n n n 2 1 1 1 (3)当 n ? 2 时, an ? ? ? . n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 4? ? 2 2 1 1 1 1 1 又当 n ? 1 时, a1 ? ? ? ,所以 an ? ? (n ? N *) 6 2 3 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 n 故 Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2(n ? 2) * ∵ Tn ? m( Sn ?1 ? 1) 对一切 n ? N 都成立. Tn 4 n 1 ∴m ? ,而 n ? ? 4 ? 8 (当且仅当 n ? 2 时等号成立) ? ? 2 4 n Sn ?1 ? 1 (n ? 2) n? ?4 n 1 1 ∴ m ? ,即 m 的取值范围是 ( , ?) ? 8 8 3an (3)假设存在数列 {an } 满足条件,则 log 3 ( 3an ?1 ) ? log 3 , 1 ? an an 1 1 1 1 ? ? ? 1 ,∴ { } 是以 ? a ? 1 为首项, ?1 为公差的等差数 即 an ?1 ? 1 ? an an ?1 an an a1
列, 于是

1? ? . 1? ?

1 1 1 ? a ? 1 ? (n ? 1) ? (?1) ? a ? n ,∴ an ? ,注意到 an ? ? (0, 1) an a?n a?n

∴当 a ? 3 时,存在这样的有穷数列 {an } ;当 1 ? a ? 3 时,不存在这样的数列. 23.解: (1)设双曲线 C2 的方程为

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

则 a2 ? 4 ? 1 ? 3 ,再由 a 2 ? b2 ? c 2 得 b2 ? 1 ,故 C2 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

x2 2 2 2 (2)将 y ? kx ? 2 代入 ? y ? 1 得 (1 ? 3k ) x ? 6 2kx ? 9 ? 0 3 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点得:

?1 ? 3k 2 ? 0 1 ? ? k 2 ? 且 k 2 ? 1??① ? 2 2 2 3 ? ? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0 ? 6 2k ?9 ,x1 x2 ? A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2 ?
又? OA ? OB ? 2 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ,? 即

3k 2 ? 7 3k 2 ? 1

??? ??? ? ?

3k 2 ? 7 ?2 3k 2 ? 1

?3k 2 ? 9 3 3 1 ? 0 ,解得: ? k 2 ? 3,?? ②,故 k 的取值范围为 (?1,? ) ? ( ,1) . 2 3 3 3k ? 1 3 (3)参考问题 1:若 x 轴上存在点 P(m, ,使 ?APB 是以 AB 为底边的等腰三角形,求 0) m 的取值范围. 解:显然,当 k ? 0 时, P 点坐标为 (0,0) ,即 m ? 0 ; 当 k ? 0 时,设线段 AB 的中点 M ( x0,y0 ) ,
x1 ? x2 3 2k 3 2k 2 2 ? ,y0 ? ? 2? 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 2 1 3 2k ? ? (x ? ) ,令 y ? 0 ,得 于是,线段 AB 的中垂线方程为 y ? 2 1 ? 3k k 1 ? 3k 2 3 3 3 3 4 2k 4 2 ,由①知, k ? (?1, ? ) ? (? ,0) ? (0, ) ? ( ,1) m? ? 2 1 3 3 3 3 1 ? 3k ? 3k k 1 ∴ ? 3k ? R ,∴ m ? R ,且 m ? 0 。综上所述, m ? R . k 参考问题 2:若 x 轴上存在点 P(m, ,使 ?APB 为等边三角形,求 m 的值. 0) 同问题 1,当 k ? 0 时, P 点坐标为 (0,0) ,即 m ? 0 ,此时
由(2)知 x0 ?

y1 ? y2 ? 2,AB |?| x1 ? x2 |? 6 ,点 P 到 AB 的距离 d ? 2 ,显然不合题意; |
当 k ? 0 时,线段 AB 的中垂线方程为 y ?

2 1 3 2k ? ? (x ? ) ,令 y ? 0 ,得 2 1 ? 3k k 1 ? 3k 2

m?

1 4 2k 2 2 ,由①知, k ? 1 且 k ? 2 3 1 ? 3k
2 2

? 6 2k ? (1 ? k 2 )(36 ? 36k 2 ) 36 由(2)知: | AB |? 1 ? k ? ? ? ? ? 2 2 |1 ? 3k 2 | ?1 ? 3k ? 1 ? 3k

点 P 到 AB 的距离 d ?

|k?

4 2k ?0? 2 | | 2k 2 ? 2 | 3 1 ? 3k 2 ? ,且 d ? | AB | , 2 2 2 2 1? k |1 ? 3k | 1 ? k

5 3 3 (1 ? k 2 )(36 ? 36k 2 ) 即 ,解得, k ? ? , ? ? 2 2 2 9 2 |1 ? 3k | |1 ? 3k | 1 ? k

| 2k 2 ? 2 |

1 5 6 ,故 m ? ? . 3 4 参考问题 3: x 轴上存在点 P(m, , ?APB 是以 AB 为底边的等腰直角三角形, m 若 求 0) 使
满足 k ? 1 且 k 2 ?
2

的值. 同问题 1,当 k ? 0 时,此时 y1 ? y2 ?

2,AB |?| x1 ? x2 |? 6 , d ? 2 , |

P 点坐标为 (0,0) ,显然不合题意;
2 1 3 2k ? ? (x ? ), 2 1 ? 3k k 1 ? 3k 2 1 4 2k 2 2 令 y ? 0 ,得 m ? ,由①知, k ? 1 且 k ? , 2 3 1 ? 3k
当 k ? 0 时,线段 AB 的中垂线方程为 y ?

? 6 2k ? (1 ? k 2 )(36 ? 36k 2 ) 36 由问题 2 知, | AB |? 1 ? k ? ? ? ? 2? 2 |1 ? 3k 2 | ?1 ? 3k ? 1 ? 3k
2

2

点 P 到 AB 的距离 d ?

| 2k 2 ? 2 | |1 ? 3k | 1 ? k
2 2

,由 d ?

1 | AB | , 2



7 1 (1 ? k 2 )(36 ? 36k 2 ) 2 ,解得, k ? ? ,满足 k ?1 且 ? ? 2 2 2 3 2 |1 ? 3k | |1 ? 3k | 1 ? k

| 2k 2 ? 2 |

1 7 .此时 m ? ? 14 . k 2 ? ,故 k ? ? 3 3 参考问题 4:对 x 轴上点 P(m, ,若 ?APB 是以 P 为直角顶点的直角三角形,求 m 的取 0)
值范围. 依题意, PA ? PB ? 0 ,即 ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? y1 y2 ? 0
2

??? ??? ? ?

3k 2 ? 7 6 2mk ) ? 6? k 7 * ) ( ? ? m 2 ? 0 , 3 m2 3 k 2 2 m m ? 2 0 ? ? ?? 即( 2 2 3k ? 1 1 ? 3k 3 3 3 3 在 k ? (?1, ? ) ? (? ,0) ? (0, ) ? ( ,1) 上有解, 3 3 3 3 2 2 2 令 f (k ) ? (3m ? 3)k ? 6 2mk ? m ? 7
于是

? f (?1) ? 0 ? 3 2m ? ∵ ??1 ? ? ? 1 恒成立,由 ? ? (6 2m)2 ? 4(3m2 ? 3)(7 ? m2 ) ? 0 2 3m ? 3 ? ? f (1) ? 0 ? 解得 m ? 4 7 ,或 m ? ? 4 7 ,
若 f (0) ? 0 ,则 m ? ? 7 ,此时方程 (*) 的另一个解不是 ?

3 ; 3

3 2 6 ? (??, 4 7) ? ( 4 7, ?) ,直线 l 与 C2 只有唯一交 ? ? ) ? 0 ,则 m ? ? 3 3 2 6 点;综上所述, m ? 4 7 ,或 m ? ? 4 7 ,且 m ? ? . 3
若 f (?



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