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步步高大一轮2018文科数学第九章第一节课件


§9.1 直线的方程

内容索引

基础知识

自主学习

题型分类
课时作业

深度剖析

基础知识

自主学习

知识梳理

1.直线的倾斜角

几何画板展示

(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l 向上 方向 之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴 平行或重合 时 , 规定它的倾斜角为0°. (2)范围:直线l倾斜角的范围是 [0°,180°) . 2.斜率公式

y2-y1 (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 l 上且 x1≠x2,则 l 的斜率 k= x2-x1 .

(1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k= tan α .

3.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 ____________
x y + = 1 a b

适用范围 不含直线x=x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x=x1 (x1≠x2)和直线y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用

Ax+By+C=0(A2+B2≠0) _______________________

思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( × ) (4)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × ) (6)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y- y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( √ )
几何画板展示

考点自测

1.(2016· 天津模拟)过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的

值为
A.1

答案

解析

B.4

C.1或3

D.1或4

m-4 依题意得 =1,解得 m=1. -2-m

2.直线 3 x-y+a=0的倾斜角为 答案
A.30°

解析

B.60°

C.150°
化直线方程为 y= 3x+a,
∴k=tan α= 3.

D.120°

∵0°≤α<180°,∴α=60°.

3.如果A· C<0且B· C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过

答案

解析

A.第一象限
C.第三象限

B.第二象限
D.第四象限

C 由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距- >0,在y轴上的截距 A C -B >0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.

4.(教材改编)直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数

a= 1或-2 . 答案

解析

令x=0,得直线l在y轴上的截距为2+a;
2 令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距为 1+a,
2 依题意 2+a=1+a,解得 a=1 或 a=-2.

5. 过 点 A(2 , - 3) 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 互 为 相 反 数 的 直 线 方 程

为 3x+2y=0或x-y-5=0 .

答案

解析

3 ①当直线过原点时,直线方程为 y=-2x,即 3x+2y=0; x y ②当直线不过原点时,设直线方程为 - =1,即x-y=a,将 a a 点A(2,-3)代入,得a=5,即直线方程为x-y-5=0.故所求直

线的方程为3x+2y=0或x-y-5=0.

题型分类

深度剖析

题型一 直线的倾斜角与斜率 例1 (1)(2016· 北京东城区期末 )已知直线l 的倾斜角为 α,斜率为 k,那
解析

π “α>3”是“k> 3” 的 答案 么

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
π 当2<α<π 时,k<0; π π 当 k> 3时,3<α<2.

π 所以“α>3”是“k> 3”的必要不充分条件,故选 B.

(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, 3 )为端点的线段有公共点,

则直线l斜率的取值范围为 (-∞,- 3]∪[1,+∞) . 答案
如图,

解析

几何画板展示

1-0 ∵kAP= =1, 2-1
3-0 kBP= =- 3, 0-1
∴k∈(-∞,- 3 ]∪[1,+∞).

引申探究 1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取 值范围. 解答

∵P(-1,0),A(2,1),B(0, 3),

1-0 1 ∴kAP= =3, 2-?-1?
3-0 kBP= = 3. 0-?-1?

如图可知,直线 l

?1 斜率的取值范围为? ? , ?3

? 3? ?. ?

2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜 角的范围. 解答 如图,直线PA的倾斜角为45°,

直线PB的倾斜角为135°,
由图象知l的倾斜角的范围为

[0°,45°]∪[135°,180°).

思维升华
直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此
? ?π ? π? ? ? ? ? 根据斜率求倾斜角的范围时,要分?0,2?与?2,π?两种情况讨论.由正切函 ? ? ? ?

数图象可以看出,当 不存在;当

? ? π ? 0 , α∈ ? ? ?时,斜率 2? ?

π k∈[0,+∞);当 α=2时,斜率

?π ? ? ? , π α∈?2 ?时,斜率 ? ?

k∈(-∞,0).

跟踪训练1

(2017· 开封月考)若直线l:y=kx- 3 与直线2x+3y-6=0的 π π ( 6 ,2 ) 交点位于第一象限,则直线的倾斜角的取值范围是________.
答案 解析

∵直线 l 恒过定点(0,- 3).

作出两直线的图象,如图所示,
从图中看出,直线 l 的倾斜角的取值范围 π π 应为(6,2).

题型二 求直线的方程
例2 根据所给条件求直线的方程:

10 (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; 解答

由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.

10 设倾斜角为 α,则 sin α= 10 (0<α<π),
3 10 1 从而 cos α=± 10 ,则 k=tan α=± 3.

1 故所求直线方程为 y=± ( x + 4). 3 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.

(2)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等; 设直线l在x,y轴上的截距均为a. 若a=0,即l过点(0,0)及(4,1),
x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1, 4 1 ∵l 过点(4,1),∴a+a=1, ∴a=5,
1 ∴l 的方程为 y=4x,即 x-4y=0.

解答

∴l的方程为x+y-5=0. 综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.

(3)直线过点(5,10),到原点的距离为5. 解答 当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;
当斜率存在时,设其为k,

则所求直线方程为y-10=k(x-5),
即kx-y+(10-5k)=0.
|10-5k| 3 由点到直线的距离公式,得 2 =5,解得 k=4. k +1

故所求直线方程为3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.

思维升华
在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式
的适用条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不

能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原
点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是

否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.

跟踪训练2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等; 解答 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0,即l过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y=3x,即 2x-3y=0.

x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1, 3 2 ∵l 过点(3,2),∴a+a=1,

∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0,
综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.

1 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的-4倍; 解答
1 3 设所求直线的斜率为 k,依题意 k=-4×3=-4.

又直线经过点A(-1,-3),
3 因此所求直线方程为 y+3=-4(x+1),

即3x+4y+15=0.

(3)过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点且|AB|=5.
解答

题型三 直线方程的综合应用 命题点1 与基本不等式相结合求最值问题 例3 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的

正半轴分别交于 A 、 B 两点,如图所示,求 △ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
解答

命题点2 由直线方程解决参数问题

例4

已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,
解答

直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实

数a的值.

由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线
l2在x轴上的截距为a2+2, 1 1 所以四边形的面积 S=2×2×(2-a)+2×2×(a2+2)=a2-a+4 ? 1? 15 ? ?2 =?a-2? + 4 , ? ? 1 当 a=2时,面积最小.

思维升华
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数, 再利用基本不等式求解最值. (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式 直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再 结合函数的单调性或基本不等式求解.

跟踪训练3

设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx

2 5 -y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的最大值是______.
答案 解析

现场纠错系列10 求与截距有关的直线方程

典例 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程; (2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数,求a.
错解展示 现场纠错 纠错心得

在求与截距有关的直线方程时,注意对直线的截距是否为零进行分类

讨论,防止忽视截距为零的情形,导致产生漏解.

课时作业

π 1.直线 x=3的倾斜角等于 答案 A.0 π B.3

解析



π C.2

D.π

π π 由直线 x=3,知倾斜角为2.

1

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π 2.(2016· 威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小 的直 4 线方程是 答案 解析

A.x=2 √

B.y=1

C.x=1

D.y=2

3π ∵直线 y=-x-1 的斜率为-1,则倾斜角为 4 , 3π π π 依题意,所求直线的倾斜角为 4 -4=2,

∴斜率不存在,∴过点(2,1)的所求直线方程为x=2.
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3.(2016· 济宁模拟)直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该定点的坐标是

A.(-2,1) √
C.(1,-2)

B.(2,1)
D.(1,2)

答案

解析

mx-y+2m+1=0,即m(x+2)-y+1=0.
? ? ?x+2=0, ?x=-2, 令? 得? ? ? ?-y+1=0, ?y=1,

故定点坐标为(-2,1).
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4.已知两点 M(2 ,- 3) , N( - 3 ,- 2) ,直线 l过点 P(1,1) 且与线段 MN相



交,则直线l的斜率k的取值范围是 答案 3 A.k≥4或 k≤-4
3 B.-4≤k≤4 3 C.4≤k≤4 3 D.-4≤k≤4
1 2 3 4 5

解析

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9

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5.直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限,则a,b,c应满足
答案 解析

A.ab>0,bc<0 √

B.ab>0,bc>0

C.ab<0,bc>0

D.ab<0,bc<0

由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限, a c 所以直线存在斜率,将方程变形为 y=-bx-b. a c 易知-b<0 且-b>0,故 ab>0,bc<0.
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6.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 答案

解析

A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2 √ 直线 l1 的倾斜角 α1 是钝角,故 k1 < 0 ,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α2 与 α3 均为 锐角且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2,故选D.
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C.k3<k2<k1

7.若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α,而
? 3 ? ? [- 3,0)∪? , 1 ? ? 3 ? ? 值范围是____________________.

?π ?2π ? π? ? ? ? ? α∈?6,4?∪? 3 ,π?,则 ? ? ? ?

k 的取
解析

答案

π π 3 3 当6≤α<4时, 3 ≤tan α<1,∴ ≤k<1. 3

2π 当 3 ≤α<π 时,- 3≤tan α<0.
3 ∴k∈[- 3,0)∪[ 3 ,1).
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8.(2017· 潍坊质检)直线l过点(-2,2)且与x轴,y轴分别交于点(a,0),(0,
b),若|a|=|b|,则直线l的方程为 x+y=0或x-y+4=0 .
答案 解析

若a=b=0,则直线l过点(0,0)与(-2,2),
直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0. x y 若 a≠0,b≠0,则直线 l 的方程为a+b=1, ?-2 2 ? ? ?a=-4, + = 1 , b 由题意知? a 解得? ? b=4, ? ? ?|a|=|b|, 此时,直线l的方程为x-y+4=0.
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9.(2016· 咸阳模拟)直线l:ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°,则a的 1 (-∞,-2)∪(0,+∞) 答案 解析 取值范围是_______________________. 当a=-1时,直线l的倾斜角为90°,符合题意.

a 当 a≠-1 时,直线 l 的斜率 k=- , a+1 a a 由题意知- >1 或- <0, a+1 a+1
1 1 解得-1<a<-2或 a<-1 或 a>0. 综上知,a<- 或 a>0. 2
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10.(2016· 山师大附中模拟)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若 1 1 点A在mx+ny-1=0(mn>0)上,则 m+n 的最小值为 4 . 答案 解析 ∵函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).

∴把A(1,1)代入直线方程得m+n=1(mn>0). 1 1 1 1 n m ∴m+n=(m+n)· (m+n)=2+m+ n ≥4 1 (当且仅当 m=n=2时取等号),
1 1 ∴m+n的最小值为 4.

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11.(2016· 太原模拟)已知两点A(-1,2),B(m,3). (1)求直线AB的方程; 解答

1 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1 即x-(m+1)y+2m+3=0.

当m=-1时,直线AB的方程为x=-1,

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3 (2)已知实数 m∈[- 3 -1, 3-1], 求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围.
解答

π ①当 m=-1 时,α=2;

3 ②当 m≠-1 时,m+1∈[- 3 ,0)∪(0, 3],

1 3 ∴k= ∈(-∞,- 3]∪[ 3 ,+∞), m+1 π π π 2π ∴α∈[6,2)∪(2, 3 ].

π 2π 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α∈[6, 3 ].
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12.已知点P(2,-1).

(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程; 解答

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(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
解答

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(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不

存在,请说明理由.

解答

由(2)可知,过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线,因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线.

1

2

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*13.如图,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和

30°角,过点 P(1,0) 作直线 AB 分别交 OA 、 OB 于 A 、 B两点,当AB的中点C恰好落在直线 y= 1 x上时, 2 求直线AB的方程. 解答

1

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