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2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第9章 平面解析几何 第5讲椭 圆



第5讲 椭 圆
最新考纲 1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界 和解决实际问题中的作用;2.掌握椭圆的定义、几何图形、标

准方程及简单几何性质.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知识梳理
1.椭圆的定义 在平面内与两定点 F1 , F2 的距

离的和等于常数 ( 大于 |F1F2|) 椭圆 .这两定点叫做椭圆的 _____ 焦点 ,两焦 的点的轨迹叫做 _____ 点间的距离叫做椭圆的______ 焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c> 0,且a,c为常数: (1)若______ a>c ,则集合P为椭圆; (2)若______ a=c ,则集合P为线段; a<c ,则集合P为空集. (3)若______
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方 程 x2 y2 a2+b2=1 (a>b>0) y2 x2 a2+b2=1 (a>b>0)

图形

基础诊断

考点突破

课堂总结

范围 对称性 性 质 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系 顶点

-a≤x≤a -b≤y≤b

-b≤x≤b -a≤y≤a

对称轴:坐标轴;对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

2a ;短轴 B1B2 的长为____ 2b 长轴 A1A2 的长为____ 2c |F1F2|=____
c (0,1) e=a∈_____

a2-b2 c2=_______

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)平面内与两个定点 F1,F2的距离之和等于常数的点的轨 迹是椭圆. ( ×)

(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.
(3)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.

( ×)
( √) (√ )

(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.

基础诊断

考点突破

课堂总结

x2 y2 2.(2014· 大纲全国卷)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、 3 右焦点为 F1,F2,离心率为 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为 ( x2 y2 A. 3 + 2 =1 x2 y2 C.12+ 8 =1 x2 2 B. 3 +y =1 x2 y2 D.12+ 4 =1 )

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

由椭圆的定义可知△AF1B 的周长为 4a,所以 4a=

c 3 4 3,故 a= 3,又由 e=a= 3 ,得 c=1,所以 b2=a2-c2 x2 y2 =2,则 C 的方程为 3 + 2 =1,故选 A.

答案 A

基础诊断

考点突破

课堂总结

x2 y2 3.设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率 为 3 A. 6 1 B.3 ( )

1 3 C. 2 D. 3 解析 在 Rt△PF2F1 中,令|PF2|=1,因为∠PF1F2=30° ,

2c |F1F2| 3 所以|PF1|=2,|F1F2|= 3.故 e=2a= = .故选 |PF1|+|PF2| 3 D. 答案 D
基础诊断 考点突破 课堂总结

4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的 取值范围是________.
x2 y2 2 解析 将椭圆方程化为 2 + 2 =1,焦点在 y 轴上,则k>2, k 即 k<1,又 k>0,所以 0<k<1.

答案 (0,1)

基础诊断

考点突破

课堂总结

x2 y2 5.(人教 A 选修 1-1P42A6 改编)已知点 P 是椭圆 5 + 4 =1 上 y 轴右侧的一点,且以点 P 及焦点 F1,F2 为顶点的三角形 的面积等于 1,则点 P 的坐标为________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

设 P(x,y),由题意知 c2=a2-b2=5-4=1,

所以 c=1,则 F1(-1,0),F2(1,0),由题意可得点 P 到 x 轴 x2 y2 的距离为 1,所以 y=± 1,把 y=± 1 代入 5 + 4 =1,得 x=
? 15 ? 15 15 ? ? ± 2 ,又 x>0,所以 x= 2 ,∴P 点坐标为? , 1 ?或 ? 2 ? ? ? ? ? ? 15 ? ,- 1 ?. 2 ?

答案

? ? ? ?

? ? 15 ? 15 ? ? ? 或 , 1 ,- 1 ? ? 2 ? 2 ? ? ?

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1) (2015·枣庄模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与F重合,然后抹平纸片,折痕为 CD ,设 CD与 OM 交于点 P,则点P的轨迹是 ( )

A.椭圆
B.双曲线 C.抛物线

D.圆

基础诊断

考点突破

课堂总结

x2 y2 (2)已知 F1,F2 是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点, → → P 为椭圆 C 上的一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9, 则 b=________.

解析 (1)由条件知|PM|=|PF|. ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|. ∴P 点的轨迹是以 O,F 为焦点的椭圆.

基础诊断

考点突破

课堂总结

→ → (2)由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,PF1⊥PF2, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, ∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. ∴|PF1||PF2|=2b2, 1 1 ∴S△PF1F2=2|PF1||PF2|=2×2b2=b2=9. ∴b=3.

答案 (1)A (2)3

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平

面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当 P 在椭圆上 时,与椭圆的两焦点 F1 , F2 组成的三角形通常称为 “ 焦点

三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可
求|PF1|·|PF2|;通过整体代入可求其面积等.

基础诊断

考点突破

课堂总结

x2 y2 【训练 1】 (1)(2015· 丽水模拟)已知 F1,F2 是椭圆16+ 9 =1 的 两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点,在△AF1B 中, 若有两边之和是 10,则第三边的长度为 A.6 C.4 B.5 D.3 ( )

(2)(2015· 保定一模)与圆 C1:(x+3)2+y2=1 外切,且与圆 C2 : (x - 3)2 + y2 = 81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为 ________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

? ?|AF1|+|AF2|=8, (1)由椭圆定义知,? ? ?|BF1|+|BF2|=8,

两式相加得|AB|+|AF1|+|BF1|=16, 即△AF1B 周长为 16,又因为在△AF1B 中,有两边之和是 10,所以第三边长度为 16-10=6.选 A. (2)设动圆的半径为 r, 圆心为 P(x, y), 则有|PC1|=r+1, |PC2| =9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|, 即 P 在以 C1(-3,0), C2(3,0)为焦点, 长轴长为 10 的椭圆上, x2 y2 得点 P 的轨迹方程为25+16=1. x2 y2 答案 (1)A (2)25+16=1
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点二

求椭圆的标准方程

【例 2】 (1)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点, 2 焦点 F1, F2 在 x 轴上, 离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点,且△ ABF2 的周长为 16 ,那么椭圆 C 的方程为 ________. (2)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,且过点 A(3,0),并且 以坐标轴为对称轴,则椭圆的标准方程为________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

x2 y2 2 c (1)设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),由 e= 2 ,知a=

2 b2 1 2 ,故a2=2. 由于△ ABF2 的周长为 |AB| + |BF2| + |AF2| = (|AF1| + |AF2|) + (|BF1|+|BF2|)=4a=16,故 a=4.
2 2 x y ∴b2=8,∴椭圆 C 的方程为16+ 8 =1.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)法一
2 2

若椭圆的焦点在 x 轴上, 设方

深度思考

求椭圆

x y 程为a2+b2=1(a>b>0). ? ? ?2a=3×2b, ?a=3, 由题意得? 9 0 解得? ? 2+ 2=1, ?b=1. ? a b ? x2 2 所以椭圆的标准方程为 9 +y =1.

方程除定义外一般
采 用 待 定 系 数 法.本例第 (2) 小题 可有两种方法:一 是分类,二是不分

类,关键在于方程
的设法上,不妨一 试.

基础诊断

考点突破

课堂总结

y2 x2 若焦点在 y 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0). ? ? ?2a=3×2b, ?a=9, 由题意得? 0 9 解得? ? 2+ 2=1, ?b=3. ? ?a b y2 x2 所以椭圆的标准方程为81+ 9 =1. x2 2 y2 x2 综上所述,椭圆的标准方程为 9 +y =1 或81+ 9 =1.

基础诊断

考点突破

课堂总结

法二

x2 y2 设椭圆的方程为 m + n =1(m>0,n>0,m≠n),则

9 9 ? ? ? =1, ? =1, 由题意知?m 或?m ? ? ?2 m=3×2 n ?2 n=3×2 m,
? ?m=9, 解得? ? ?n=1 ? ?m=9, 或? ? ?n=81.

x2 2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 9 +y =1 或81+ 9 =1.
x2 y2 答案 (1)16+ 8 =1 x2 2 y2 x2 (2) 9 +y =1 或81+ 9 =1
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法

和待定系数法.定义法的要点是根据题目所给条件确定动 点的轨迹满足椭圆的定义,待定系数法的要点是根据题目

所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练 2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程: x2 y2 (1)与椭圆 4 + 3 =1 有相同的离心率且经过点(2,- 3); (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且 P 到两焦点 的距离分别为 5,3,过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一 个焦点;
? 3 5? ? (3)经过两点?-2,2?,?? ? ?

3, 5???.

基础诊断

考点突破

课堂总结



x2 y2 y2 x2 (1)由题意,设所求椭圆的方程为 4 + 3 =t1 或 4 + 3 =
2

22 ?- 3? t2(t1,t2>0),∵椭圆过点(2,- 3),∴t1= 4 + 3 =2, ?- 3?2 22 25 或 t2= 4 + 3 =12. x2 y2 y2 x 2 故所求椭圆标准方程为 8 + 6 =1 或25+25=1. 3 4

基础诊断

考点突破

课堂总结

x2 y2 (2)由于焦点的位置不确定,∴设所求的椭圆方程为a2+b2 y2 x2 =1(a>b>0)或a2+b2=1(a>b>0),
? ?2a=5+3, 由已知条件得? 2 2 2 ? ? 2 c ? = 5 - 3 , ?

解得 a=4,c=2,∴b2=12. x2 y2 y2 x2 故椭圆方程为16+12=1 或16+12=1.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(3)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n),
? 3?2 ?5?2 ? ??- ? m+? ? n=1, ?2? 由?? 2? ? ?3m+5n=1,

1 1 解得 m=6,n=10. y2 x2 ∴椭圆方程为10+ 6 =1.

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点三

椭圆的几何性质

x2 y2 【例 3】 (1)(2014· 江西卷)设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A, B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离 心率等于________. x2 y2 (2)(2014· 包头测试与评估 ) 已知椭圆 a2 + b2 = 1 的左顶点为 A,左焦点为 F,点 P 为该椭圆上任意一点;若该椭圆的上 1 → → 顶点到焦点的距离为 2,离心率 e=2,则AP· FP的取值范围 是________.
基础诊断 考点突破 课堂总结

解析

(1)由题意知 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c= a2-b2,
? b2? ? b2? A?c, a ?, B?c,- a ?.因为 ? ? ? ?

因为过 F2 且与 x 轴垂直的直线为 x=c,由椭圆的对称性可 设它与椭圆的交点为 AB 平行于 y

轴,且|F1O|=|OF2|,所以|F1D|=|DB|,即 D 为线段 F1B 的 中点,所以点 D
? b2 ? 的坐标为?0,-2a?,又 ? ?

AD⊥F1B,所以

b2 ? b2 ? b2 ?- ? - -0 - a ? 2a? a kAD· kF1B=-1,即 × =-1,整理得 3b2 c -0 c-?-c? c =2ac,所以 3(a -c )=2ac,又 e=a且 0<e<1,所以 3e2
2 2

3 +2e- 3=0,解得 e= 3 (e=- 3舍去).
基础诊断 考点突破 课堂总结

(2)因为椭圆的上顶点到焦点的距离为 2, 所以 a=2.因为离
2 1 x 心率 e=2,所以 c=1,b= a2-c2= 3,则椭圆方程为 4 +

y2 3 =1,所以 A 点的坐标为(-2,0),F 点的坐标为(-1,0).设 → → P(x,y),则AP· FP=(x+2,y)· (x+1,y)=x2+3x+2+y2.由 3 2 3 2 1 → → 2 椭圆方程得 y =3-4x ,所以AP· FP=x +3x-4x +5=4(x
2

→ → +6)2-4,因为 x∈[-2,2],所以AP· FP∈[0,12]. 3 答案 (1) 3 (2)[0,12]
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

(1)求椭圆的离心率的方法:①直接求出a,c来

求解 e. 通过已知条件列出方程组,解出 a , c 的值;②构造
a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次 方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解;③通

过取特殊值或特殊位置,求出离心率.(2)椭圆的范围或最
值 问 题 常 常 涉 及 一 些 不 等 式 . 例 如 , - a≤x≤a , - b≤y≤b,0 < e < 1 等,在求椭圆相关量的范围时,要注意应 用这些不等关系.

基础诊断

考点突破

课堂总结

x2 y2 【训练 3】 已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F, 上顶点为 A,P 为 C1 上任一点,MN 是圆 C2:x2+(y-3)2 =1 的一条直径,与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3- 2的 直线 l 恰好与圆 C2 相切. (1)求椭圆 C1 的离心率; → → (2)若PM· PN的最大值为 49,求椭圆 C1 的方程.

基础诊断

考点突破

课堂总结



(1)由题意可知, 直线 l 的方程为 bx+cy-(3- 2)c=0,

因为直线 l 与圆 C2 : x2 + (y - 3)2 = 1 相切,所以 d = |3c-3c+ 2c| 2 2 2 2 2 =1,化简得 c =b ,即 a =2c ,从而 e= 2 . 2 2 b +c (2)设 P(x,y),圆 C2 的圆心记为 C2(0,3), x 2 y2 则2c2+c2=1(c>0), → → → → → → 又因为PM· PN=(PC2+C2M)· (PC2+C2N) → → → → →2 → 2 =(PC2-C2N)· (PC2+C2N)=PC2-C2N =x2+(y-3)2-1=-(y+3)2+2c2+17(-c≤y≤c).
基础诊断 考点突破 课堂总结

①当 c≥3 时, → → (PM· PN)max=17+2c2=49,解得 c=4, x2 y2 此时椭圆方程为32+16=1; ②当 0<c<3 时, → → (PM· PN)max=-(-c+3)2+17+2c2=49, 解得 c=± 5 2-3. 但 c=-5 2-3<0,且 c=5 2-3>3,故舍去. x2 y2 综上所述,椭圆 C1 的方程为32+16=1.
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点四

直线与椭圆的位置关系

x2 y2 【例 4】 (2014· 四川卷)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦 6 点为 F(-2,0),离心率为 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=-3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时,求 四边形 OPTQ 的面积.

基础诊断

考点突破

课堂总结



c 6 (1)由已知可得,a= 3 ,c=2,所以 a= 6.

又由 a2=b2+c2,解得 b= 2, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 6 + 2 =1. (2) 设 T 点的坐标为 ( - 3 , m) ,则直线 TF 的斜率 kTF = m-0 =-m. -3-?-2? 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ=m, 直线 PQ 的方程是 x=my-2.
基础诊断 考点突破 课堂总结

当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2, 也符合 x=my-2 的形式. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程 my-2, ? ?x = 联立,得?x2 y2 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, + =1. ? ?6 2 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 4m 所以 y1+y2= 2 ,y y = , m +3 1 2 m2+3 -12 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3
基础诊断 考点突破 课堂总结

→ → 因为四边形 OPTQ 是平行四边形,所以OP=QT,即(x1,y1) =(-3-x2,m-y2). 12 ? ?x +x = - =-3, 2 1 2 m +3 ? 所以? ?y +y = 4m =m. 1 2 ? m2+3 ?

解得 m=± 1.

1 此时,S 四边形 OPTQ=2S△OPQ=2×2· |OF|· |y1-y2| =2
? 4m ? -2 ? ?2 =2 2 ?m2+3? -4· m + 3 ? ?

3.

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其

常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,

然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及
弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] =
? 1? ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2](k k? ?

为直线斜率).

提醒: 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的 情况下进行的,不要忽略判别式.
基础诊断 考点突破 课堂总结

x2 y2 2 【训练 4】 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,其 中左焦点 F(-2,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在圆 x2+y2=1 上,求 m 的值.

基础诊断

考点突破

课堂总结



? ?c = 2, ?a 2 (1)由题意,得?c=2, ? 2 2 2 ? ?a =b +c . 2,

? ?a=2 解得? ? ?b=2.

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 8 + 4 =1. (2)设点 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 线段 AB 的中点为 M(x0,y0),

基础诊断

考点突破

课堂总结

2 2 x y ? ? + =1, 由? 8 4 消去 y 得,3x2+4mx+2m2-8=0, ? ?y=x+m.

Δ=96-8m2>0,∴-2 3<m<2 3. x1+x2 2m m ∵x0= 2 =- 3 ,∴y0=x0+m= 3 , ∵点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,
? 2m?2 ?m?2 ∴?- 3 ? +? 3 ? =1, ? ? ? ?

3 5 ∴m=± 5 .

基础诊断

考点突破

课堂总结

微型专题 圆锥曲线上点的对称问题 圆锥曲线上两点关于直线的对称问题是高考命题的热点,

该问题集中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥
曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数 学知识和方法于一体,符合在知识网络交汇处、思想方法

的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点,
此类试题综合性强,难度大,对数学知识和能力的考查具 有一定的深度,具有很好的选拔功能,是高考命题的热 点.圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程 法和点差法两种解法.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【例 5】 椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 1 在 x 轴上,离心率 e=2,其中∠F1AF2 的平分线所在的直线 l 的方程为 y=2x-1. (1)求椭圆 E 的方程; (2)在椭圆上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在, 请找出;若不存在,说明理由.

基础诊断

考点突破

课堂总结

点拨

第(1)问,依据已知条件,结合椭圆方程的性质即可

求得椭圆方程;第(2)问,思路一,先假设存在关于直线l对
称的相异两点,设出关于直线l对称两点所在的直线方程, 求得对称点的中点坐标,再代入直线l,确定对称点的中点

坐标,得出矛盾;思路二,假设存在关于直线l对称的相异
两点,利用点差法,求得对称点的中点横、纵坐标的关 系,即可确定对称点的中点坐标,得出矛盾.

基础诊断

考点突破

课堂总结



x2 y2 (1)设椭圆 E 的方程为a2+b2=1(a>b>0), ?a=4, ? 解得?b=2 3, ?c=2, ?

2 2 ?2 3 ?a2+b2=1, ? 2 2 2 由题意,可得?a -b =c , ?c 1 ? = , ?a 2

x2 y2 所以椭圆 E 的方程为16+12=1.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)法一

(联立方程法)假设在椭圆上存在关于直线 l 对称

的相异两点 M(x1, y1), N(x2, y2), 设线段 MN 的中点为 P(x0, y0). 因为直线 MN 与直线 l 垂直,所以设直线 MN 的方程为 y= 1 -2x+m,由此得 x=2m-2y,将其代入椭圆方程,得 4y2 -6my+3m2-12=0. 3m 因为 y1,y2 是此方程的两个根,所以 y1+y2= 2 . 1 3m 所以 y0=2(y1+y2)= 4 .
基础诊断 考点突破 课堂总结

m 又点 P 在直线 x=2m-2y 上,所以 x0=2m-2y0= 2 ,所以 点P
?m 3m? 的坐标为? 2 , 4 ?. ? ?

3m m 又点 P 在直线 y=2x-1 上,所以 4 =2· 2 -1,解得 m=4, 所以点 P 的坐标为(2,3). 因为点 P 的坐标满足椭圆方程,所以点 P 在椭圆上,不在 椭圆内,故不存在这样的两点.

基础诊断

考点突破

课堂总结

法二

(点差法)假设在椭圆上存在关于直线 l 对称的相异两

点 M(x1,y1),N(x2,y2),设线段 MN 的中点为 P(x0,y0).
2 2 2 因为 M, N 两点在椭圆上, 故有 3x2 1+4y1=48,3x2+4y2=48,

两式相减,得 3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. 又 P 为线段 MN 的中点,则有 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,所 以 3x0(x1-x2)+4y0(y1-y2)=0.因为直线 l 与直线 MN 垂直, 所以 x1≠x2.

基础诊断

考点突破

课堂总结

y1-y2 3x0 1 所以 =-4y =-2. x1-x2 0 所以 3x0=2y0. ①

又点 P(x0,y0)在直线 y=2x-1 上,所以 y0=2x0-1.② 由①②得点 P 的坐标为(2,3),因为点 P 的坐标满足椭圆方 程,所以点 P 在椭圆上,不在椭圆内,故不存在这样的两 点.

基础诊断

考点突破

课堂总结

点评

本题是一道探究椭圆上是否存在关于已知直线对称

的相异两点的存在性问题,既可用方程思想求解,也可用
点差法解答,因为结论是不存在,所以解题的关键是找出 矛盾,这个矛盾可以是线段 MN的中点P在椭圆上,不在椭

圆内.

基础诊断

考点突破

课堂总结

[思想方法] 1.椭圆定义的集合语言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|} 往往是解决计算问题的关键,如果题目的条件能转化为动

点到两定点距离和为常数的问题可考虑利用椭圆定义,或
涉及到椭圆上的点到焦点的距离,也可考虑椭圆定义.

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.求椭圆的标准方程,常采用“先定位,后定量”的方法(待 定系数法).先“定位”,就是先确定椭圆和坐标系的相对

位置,以椭圆的中心为原点的前提下,看焦点在哪条坐标
轴上,确定标准方程的形式;再“定量”,就是根据已知 条件,通过解方程(组)等手段,确定a2,b2的值,代入所设

的方程,即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位
置,这时的标准方程常可设为 mx2 + ny2 = 1(m > 0 , n > 0 且 m≠n).

基础诊断

考点突破

课堂总结

[易错防范] 1.在解关于离心率 e 的二次方程时,要注意利用椭圆的离心率 e∈(0,1)进行根的取舍,否则将产生增根. x2 y2 2.注意椭圆的范围,在设椭圆a2+b2=1 (a>b>0)上点的坐标为 P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点 P 有关的最值问题中 特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.

基础诊断

考点突破

课堂总结



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