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浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考试卷数学(理科)答案



浙江省名校高考研究联盟 2013 届第一次联考 数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 A 2 C 3 B 4 C 5 C 6 B 7 D 8 D 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 14. 17. 5 12. 15 13. 16. 13 10



17 3 1 ? ? k ?4 2

15. 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 11 ? 0

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或解题步骤) 18. (本小题满分 14 分) 解: (I)由正弦定理,设

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 3c ? a 3k sin C ? k sin A 3sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B cos A ? 3cos C 3sin C ? sin A ? . 所以 cos B sin B
即 (cos A ? 3cos C )sin B ? (3sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 3sin( B ? C ). 又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 3sin A

………………4 分

………………6 分

sin C ? 3. sin A sin C ? 3 得 c ? 3a. (II)由 sin A
因此 由题意 ?

………………8 分 ………………9 分

? a?c ?b , 2 2 2 ?a ? c ? b

………………12 分

5 ? ? a ? 10 2
19. (本小题满分 14 分)

………………14 分

解: (I)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为 40,公差为 10 的等差数列.
1

设此数列为 ?an ? ,则易知 a1 ? 40, an ? 10n ? 30 ,? S n ?

n(10n ? 70) ? 300, 2
…………3 分
1

解得 n ? ?12 (舍去)或 n ? 5 ,所以此决赛共比赛了 5 场.

则前 4 场比赛的比分必为 1 : 3 ,且第 5 场比赛为领先的球队获胜,其概率为 C4 ( ) ?
4

1 2

1 ; 4

…………6 分 (II)随机变量 X 可取的值为 S4 , S5 , S6 , S7 ,即 220,300,390,490 …………7 分 …………8 分 …………12 分

1 1 1 1 , P( X ? 300) ? C4 ( ) 4 ? 8 2 4 1 5 5 3 1 P( X ? 390) ? C52 ( )5 ? , P( X ? 490) ? C6 ( ) 6 ? 2 16 2 16 所以, X 的分布列为 220 300 X 1 1 P 8 4
又 P( X ? 220) ? 2 ? ( ) ?
4

1 2

390

490

5 16

5 16
…………14 分

所以 X 的均值为 E ( X ) ? 377.5 万元 20. (本小题满分 14 分) (I)证明:? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,

z

C

?CB ? 平面 ABEF . ? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,…………2 分 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ? AF ? 平面 CBF . …………3 分 ? AF ? 平面 ADF ,? 平面 DAF ? 平面 CBF .
…………4 分 AF ? 平面 CBF , (II)根据(Ⅰ)的证明,有 ? FB 为 AB 在平面 CBF 内的射影, 因此, ? ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角 ? AB // EF ,? 四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH ? AB ,交 AB 于 H .

D

B

H O

.

E y F

x A

……………6 分

AB ? 2 , EF ? 1 ,则 AH ?

AB ? EF 1 ? . 2 2
2

在 Rt ?AFB 中,根据射影定理 AF

? AH ? AB ,得 AF ? 1 .

…………8 分

sin ?ABF ?

AF 1 ? ,? ?ABF ? 30? . AB 2
…………9 分

? 直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30? .
2

(Ⅲ)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA 、 OG 、 AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方

向建立空间直角坐标系(如图).设 AD ? t (t ? 0) ,则点 D 的坐标为 (1, 0, t ) 则

C (? 1 , 0 , , ) t

又 A(1, 0, 0), B(?1, 0, 0), F ( ,

1 3 , 0) 2 2
…………10 分

??? ? ??? ? 1 3 ? CD ? (2, 0, 0), FD ? ( , ? , t) 2 2
设平面 DCF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 n1 ? CD ? 0 , n1 ? FD ? 0 .

?? ??? ?

?? ??? ?

?2 x ? 0, ? 即? 3 y ? tz ? 0. ?? ? 2

令z ?

3 ,解得 x ? 0, y ? 2t

? n1 ? (0, 2t, 3)

………………12 分

由(I)可知 AF ? 平面 CFB ,取平面 CBF 的一个法向量为 n2 ? AF ? (? , 意 n1 与 n2 的夹角为 60
?

?? ?

??? ?

1 2

3 , 0) ,依题 2

? cos60? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

,即

6 1 3t , 解得 t ? ? 4 2 4t 2 ? 3 ?1

因此,当 AD 的长为

6 ? 时,平面与 DFC 平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60 . 4
………14 分

21. (本小题满分 15 分) 解:I) ( 设椭圆方程为

c 1 x2 y2 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 。 抛物线 y ? ?4x 的焦点是 ?? 1,0? , c ? 1 , 故 又 ? , 2 a 2 a b

所以 a ? 2, b ?

a2 ? c2 ? 3 ,
x2 y2 ? ?1 4 3
…………………………4 分

所以所求的椭圆 ? 方程为

(II)设切点坐标为 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ?4, t ? 。则切线方程分别为

x1 x y1 y x x y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 。又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 4 3 4 3 3 3
3

的 坐 标 都 适合 方 程 x ?

t y ? 1 , 而两 点 之 间 确定 唯 一的 一条 直 线 , 故直 线 AB 的方 程 是 3

t y ? 1 , 显 然 对 任 意 实 数 t , 点 ( 1,0 ) 都 适 合 这 个 方 程 , 故 直 线 AB 恒 过 定 点 3 …………………………………………………………………………9 分 C ?1,0? 。 t (III)将直线 AB 的方程 x ? ? y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3 x?

? t2 ? ? t ? 3? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 ?3 ? ? 3 ? ? ?
2

2

所以 y1 ? y2 ?

6t ? 27 , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2

不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0

AC ?

?x1 ? 1?2 ? y12

? t2 ? t2 ? 9 t2 ? 9 ? ? ? 1? y12 ? y1 ,同理 BC ? ? y2 ………12 分 ?9 ? 3 3 ? ?

所以

?1 1 ? 1 1 3 3 y ?y 3 ? ? ?? ? ? ? ? 2 1 ?? ? ?y y ? 2 2 2 AC BC t ?9 ? 1 t ? 9 y1 y2 t ?9 2 ?
2

? y2 ? y1 ?2
y1 y2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ? 27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 2 t ? 12
4 AC ? BC 。 3 4 故存在实数 ? ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 。 3
即 AC ? BC ? 22. (本小题满分 15 分) 解: (I) f ??x ? ?

……………………………15 分

2a x 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1

?

?

??

因为 x ? 2 为 f ?x ? 的极值点,所以 f ??2? ? 0 ,即 (II)因为函数 f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,所以

2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 。……4 分 4a ? 1

f ??x ? ?

x 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立。………6 分 2ax ? 1

?

?

??

?当 a ? 0 时,f ??x ? ? x?x ? 2? ? 0 在 ?3,??? 上恒成立, 所以 f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数, a ? 0 故
4

符合题意。

… ……7 分

?当 a ? 0 时,由函数 f ?x ? 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 ,
所以 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立。

?

?

………8 分

令函数 g ?x? ? 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 , 其对称轴为 x ? 1?

?

?

1 1 ?1, , 因为 a ? 0 , 所以1 ? 4a 4a

要 使 g ?x ? ? 0 在 ?3,??? 上 恒 成 立 , 只 要 g ?3? ? 0 即 可 , 即 g ?3? ? ?4a 2 ? 6a ? 1 ? 0 , 所 以

3 ? 13 3 ? 13 3 ? 13 。因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 。 ?a? 4 4 4
综上所述,a 的取值范围为 ? 0,

? 3 ? 13 ? ?。 4 ? ?
3

………10 分

1 ?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? ?1 ? x ?2 ? ?1 ? x ? ? b 。 (Ⅲ)当 a ? ? 时,方程 f ?1 ? x ? ? 2 x 3 x
问 题 转 化 为 b ? x ln x ? x?1 ? x? ? x?1 ? x? ? x ln x ? x2 ? x3 在 ?0,??? 上 有 解 , 即 求 函 数
2

g ?x? ? x ln x ? x 2 ? x3 的值域。
因为函数 g ?x ? ? x ln x ? x ? x ,令函数 h?x? ? ln x ? x ? x ?x ? 0? ,………12 分
2 3 2

则 h?? x ? ?

?2 x ? 1??1 ? x ? , 1 ?1? 2x ? x x

所以当 0 ? x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h?x ? 在 ?0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h?x ? 在 ?1,??? 上为减函数, 因此 h?x ? ? h?1? ? 0 。 而 x ? 0 ,所以 b ? x ? h?x ? ? 0 ,因此当 x ? 1 时,b 取得最大值 0. ………15 分

5



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