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通信原理(樊昌信第六版)第6章



通信原理
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通信原理
第6章 数字基带传输系统

2

第6章 数字基带传输系统
?

概述
?

?

?

?

数字基带信号 - 未经调制的数字信号,它所占据的频 谱是

从零频或很低频率开始的。 数字基带传输系统 -不经载波调制而直接传输数字基 带信号的系统,常用于传输距离不太远的情况下。 数字带通传输系统 -包括调制和解调过程的传输系统 研究数字基带传输系统的原因: ? 近程数据通信系统中广泛采用 ? 基带传输方式也有迅速发展的趋势 ? 基带传输中包含带通传输的许多基本问题 ? 任何一个采用线性调制的带通传输系统,可以等效 为一个基带传输系统来研究。
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第6章 数字基带传输系统
?

6.1 数字基带信号及其频谱特性
?

6.1.1 数字基带信号
?

几种基本的基带信号波形

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第6章 数字基带传输系统
? ?

单极性波形:该波形的特点是电脉冲之间无间隔,极性单一, 易于用TTL、CMOS电路产生;缺点是有直流分量,要求传 输线路具有直流传输能力,因而不适应有交流耦合的远距离 传输,只适用于计算机内部或极近距离的传输。 双极性波形:当“1”和“0”等概率出现时无直流分量,有利 于在信道中传输,并且在接收端恢复信号的判决电平为零值, 因而不受信道特性变化的影响,抗干扰能力也较强。

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第6章 数字基带传输系统
?

?

单极性归零(RZ)波形:信号电压在一个码元终止时刻前总要 回到零电平。通常,归零波形使用半占空码,即占空比为 50%。从单极性RZ波形可以直接提取定时信息 。 与归零波形相对应,上面的单极性波形和双极性波形属 于非归零(NRZ)波形,其占空比等于100%。 双极性归零波形:兼有双极性和归零波形的特点。使得接收 端很容易识别出每个码元的起止时刻,便于同步。

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第6章 数字基带传输系统
? ?

差分波形:用相邻码元的电平的跳变和不变来表示消息代码 , 图中,以电平跳变表示“1”,以电平不变表示“0”。它也称 相对码波形。用差分波形传送代码可以消除设备初始状态的 影响。 多电平波形:可以提高频带利用率。图中给出了一个四电平 波形2B1Q。

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第6章 数字基带传输系统
?

数字基带信号的表示式:表示信息码元的单个脉冲 的波形并非一定是矩形的。 若表示各码元的波形相同而电平取值不同,则 数字基带信号可表示为:
s(t ) ?
n ? ??

?a

?

n

g (t ? nTs )

式中,an - 第n个码元所对应的电平值 Ts - 码元持续时间 g(t) -某种脉冲波形

一般情况下,数字基带信号可表示为一随机脉冲序 ? 列: s(t ) ? ? s n (t )
n ? ??

式中,sn(t)可以有N种不同的脉冲波形。

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第6章 数字基带传输系统
?

6.1.2 基带信号的频谱特性
?

本小节讨论的问题
?

?

由于数字基带信号是一个随机脉冲序列,没有确定的 频谱函数,所以只能用功率谱来描述它的频谱特性。 这里将从随机过程功率谱的原始定义出发,求出数字 随机序列的功率谱公式。
设一个二进制的随机脉冲序列如下图所示:

?

随机脉冲序列的表示式
?

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第6章 数字基带传输系统
图中 Ts - 码元宽度 g1(t)和g2(t) - 分别表示消息码“0”和“1”,为任意波形。
?

设序列中任一码元时间Ts内g1(t)和g2(t)出现的概率分别为P和 (1-P),且认为它们的出现是统计独立的,则该序列可表示为

s(t ) ?
式中

n ? ??

?s

?

n

(t )

? g1 (t ? nTS ) , 以概率 P 出现 sn (t ) ? ? 2 t ? nTS), 以概率 (1 ? P )出现 ? g(

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第6章 数字基带传输系统
?

为了使频谱分析的物理概念清楚,推导过程简化,我们可以 把s(t)分解成稳态波v(t)和交变波u(t) 。所谓稳态波,即随机

序列s(t)的统计平均分量,它取决于每个码元内出现g1(t)和
g2(t) 的概率加权平均,因此可表示成

v(t ) ?

n ? ??

?[ Pg (t ? nT ) ? (1 ? P) g
1 s

?

2

(t ? nTs )] ?

n ? ??

?v

?

n

(t )

由于v(t)在每个码元内的统计平均波形相同,故v(t)是以Ts为 周期的周期信号。

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第6章 数字基带传输系统
交变波u(t)是s(t)与v(t)之差,即

u(t ) ? s(t ) ? v(t )
于是
式中,

u (t ) ?

n ? ??

?u

?

n

(t )

? g1 (t ? nTs ) ? Pg1 (t ? nTs ) ? (1 ? P) g 2 (t ? nTs ) ? ? (1 ? P)[g (t ? nT ) ? g (t ? nT )], 以概率 P ? 1 s 2 s un (t ) ? ? ? g 2 (t ? nTs ) ? Pg1 (t ? nTs ) ? (1 ? P) g 2 (t ? nTs ) ? ?? ? P[ g1 (t ? nTs ) ? g 2 (t ? nTs )], 以概率 (1 ? P) 或写成

其中

un (t ) ? an [ g1 (t ? nTs ) ? g 2 (t ? nTs )] ? 1 ? P, 以概率P an ? ? ?? P, 以概率(1 ? P)

显然, u(t)是一个随机脉冲序列 。

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第6章 数字基带传输系统
?

v(t)的功率谱密度Pv(f)
由于v(t)是以为Ts周期的周期信号,故

v(t ) ?

n ? ??

?[ Pg (t ? nT ) ? (1 ? P) g
1 s
m ? ??

?

2

(t ? nTs )]

可以展成傅里叶级数
v(t ) ?

?C
T

?

m

e j 2? m f S t

式中

1 2s C m ? ? Ts v(t )e ? j 2? m f S t dt Ts ? 2 由于在(-Ts/2,Ts/2)范围内, v(t ) ? Pg1 (t ) ? (1 ? P) g 2 (t )

所以

1 Cm ? Ts

?

Ts 2 T ? s 2

[ Pg1 (t ) ? (1 ? P) g 2 (t )]e ? j 2? m f S t dt
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第6章 数字基带传输系统
又由于
Pg1 (t ) ? (1 ? P) g 2 (t )

只存在于(-Ts/2,Ts/2)范围内,所以上式的积分限可以改 为从 -? 到 ?,因此 其中
1 Cm ? Ts

?

?

??

[ Pg1 (t ) ? (1 ? P) g 2 (t )]e ? j 2? m f S t dt
?

G1 (mfs ) ? ? g1 (t )e ? j 2?mf S t dt
?? ?

G2 (m fs ) ? ? g 2 (t )e ? j 2?mf S t dt
??

于是,根据周期信号的功率谱密度与傅里叶系数的关系式得 到的功率谱密度为
Pv ? f ? ?
m ???

?

?

f S [ PG1 (mf S ) ? (1 ? P)G2 (mf S )] ? ( f ? mf s )
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2

第6章 数字基带传输系统
?

u(t)的功率谱密度Pu(f)
由于是一个功率型的随机脉冲序列,它的功率谱密度

可采用截短函数和统计平均的方法来求。 2 E[ UT ( f ) ] Pu ( f ) ? lim T ?? T 式中 UT (f) - u(t)的截短函数uT(t)所对应的频谱函数;
E - 统计平均 T - 截取时间,设它等于(2N+1)个码元的长度,即 T = (2N+1) 式中,N 是一个足够大的整数。此时,上式可以写成
E[ U T ( f ) ] Pu ( f ) ? lim N ?? (2 N ? 1)T s
2

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第6章 数字基带传输系统
现在先求出uT(t)的频谱函数。
uT (t ) ?
n?? N

? u (t ) ? ?
n

N

N

n?? N

an [ g1 (t ? nTs ) ? g 2 (t ? nTs )]



UT ( f ) ? ? uT (t )e ? j 2? f t dt
??
N

?

?

n?? N

?
N

an ? [ g1 (t ? nTS ) ? g 2 (t ? nTS )]e ? j 2? f t dt
??

?

?
其中

n?? N
?

? j 2 ? f nTs a e [G1 ( f ) ? G2 ( f )] ? n

G1 ( f ) ? ? g1 (t )e ? j 2?ft dt
?? ?

G2 ( f ) ? ? g 2 (t )e ? j 2?ft dt
??

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第6章 数字基带传输系统
于是
? U T ( f ) ? U T ( f )U T (f) 2

?

m?? N n ?? N

?

N

j 2?f ( n ? m )TS ? a a e [ G ( f ) ? G ( f )][ G ( f ) ? G ( f )] ? m n 1 2 1 2

N

其统计平均为
E[ U T ( f ) ] ?
2 m?? N n ?? N

?

N

j 2?f ( n ? m )TS ? ? E ( a a ) e [ G ( f ) ? G ( f )][ G ( f ) ? G ? m n 1 2 1 2 ( f )]

N

因为当m = n时
? (1 ? P) 2,以概率P a m an ? a ? ? 2 ?P , 以概率(1 ? P)
2 n

所以
2 2 E[an ] ? P( 1 ? P) ? ( 1 ? P)P 2 ? P( 1 ? P)

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第6章 数字基带传输系统
当 m ? n时
2 ? ( 1 ? P) , 以概率 P 2 ? 2 am an ? ? P 2, 以概率( 1 ? P) ?? P( 1 ? P),以概率 2 P( 1 ? P) ?

所以

E[am an ] ? P 2 (1 ? P) 2 ? (1 ? P) 2 P 2 ? 2P(1 ? P)(P ? 1)P ? 0
由以上计算可知,式
E[ U T ( f ) ] ?
2 m?? N n ?? N

?

N

j 2?f ( n ? m )TS ? ? E ( a a ) e [ G ( f ) ? G ( f )][ G ( f ) ? G ? m n 1 2 1 2 ( f )]

N

的统计平均值仅在m = n时存在,故有
E[ UT ( f ) ] ?
2 n ?? N

?

N

E[a ] G1 ( f ) ? G2 ( f ) ? (2 N ? 1) P(1 ? P) G1 ( f ) ? G2 ( f )
2 n 2

2

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第6章 数字基带传输系统
将其代入

E[ U T ( f ) ] Pu ( f ) ? lim N ?? (2 N ? 1)T s

2

即可求得u (t)的功率谱密度 2 (2 N ? 1) P(1 ? P) G1 ( f ) ? G2 ( f ) Pu ( f ) ? lim N ?? (2 N ? 1)Ts

? f S P(1 ? P) G1 ( f ) ? G2 ( f )

2

上式表明,交变波的功率谱Pu (f)是连续谱,它与g1(t)和g2(t)的

频谱以及概率P有关。通常,根据连续谱可以确定随机序列
的带宽。
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第6章 数字基带传输系统
?

s(t)的功率谱密度Ps(f) 由于s(t) = u(t) + v(t),所以将下两式相加:

Pu ( f ) ? f S P(1 ? P) G1 ( f ) ? G2 ( f )
Pv ? f ? ?
m ???

2
2

?

?

f S [ PG1 (mf S ) ? (1 ? P)G2 (mf S )] ? ( f ? mf s )

即可得到随机序列s(t)的功率谱密度,即
Ps ( f ) ? Pu ( f ) ? Pv ( f ) ? f S P(1 ? P) G1 ( f ) ? G2 ( f )
2

?

m ? ??

?

?

f S [ PG1 (m fS ) ? (1 ? P)G2 (m fS )] ? ( f ? m fS )

2

上式为双边的功率谱密度表示式。如果写成单边的,则有

PS ( f ) ? f S P(1 ? P) G1 ( f ) ? G2 ( f ) ? f s2 PG1 (0) ? (1 ? P)G2 (0) ? ( f )

2

2

?2f

2 S

? PG1 (m fS ) ? (1 ? P)G2 (m fS ) ? ( f ? m fS ) , f ? 0
2 m ?1

?

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第6章 数字基带传输系统
PS ( f ) ? f S P(1 ? P) G1 ( f ) ? G2 ( f ) ? f s2 PG1 (0) ? (1 ? P)G2 (0) ? ( f )
2
2

?2f

2 S

? PG1 (m fS ) ? (1 ? P)G2 (m fS ) ? ( f ? m fS ) , f ? 0
2 m ?1

?

式中

fs = 1/Ts -码元速率; Ts - 码元宽度(持续时间) G1(f)和G2(f)分别是g1(t)和g2(t)的傅里叶变换

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第6章 数字基带传输系统
由上式可见:
?

二进制随机脉冲序列的功率谱Ps(f)可能包含连续谱(第

一项)和离散谱(第二项)。
?

连续谱总是存在的,这是因为代表数据信息的g1(t)和g2(t) 波形不能完全相同,故有G1(f) ≠ G2(f) 。谱的形状取决于 g1(t)和g2(t)的频谱以及出现的概率P。

?

离散谱是否存在,取决于g1(t)和g2(t)的波形及其出现的概

率P。一般情况下,它也总是存在的,但对于双极性信号
g1(t) = - g2(t) = g(t) ,且概率P=1/2(等概)时,则没有离 散分量?(f - mfs)。根据离散谱可以确定随机序列是否有直

流分量和定时分量。

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第6章 数字基带传输系统
?

【例6-1】 求单极性NRZ和RZ矩形脉冲序列的功率谱。 【解】对于单极性波形:若设g1(t) = 0, g2(t) = g(t) ,将 其代入下式
Ps ( f ) ? Pu ( f ) ? Pv ( f ) ? f S P(1 ? P) G1 ( f ) ? G2 ( f )
2

?

m ? ??

?

?

f S [ PG1 (m fS ) ? (1 ? P)G2 (m fS )] ? ( f ? m fS )

2

可得到由其构成的随机脉冲序列的双边功率谱密度为
PS ( f ) ? f S P(1 ? P) G( f ) ?
2 m ? ??

?f

?

S

(1 ? P)G(m fS ) ? ( f ? m fS )

2

当P=1/2时,上式简化为

1 1 2 ? 2 2 PS ( f ) ? f S G( f ) ? f S ? G(m fS ) ? ( f ? m fS ) 4 4 m ? ??
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第6章 数字基带传输系统
?

讨论:
?

若表示“1”码的波形g2(t) = g(t)为不归零(NRZ)矩形脉 冲,即 TS ?
?1, t ? g ?t ? ? ? 2 ? 0, 其他t ? 其频谱函数为
? sin ? f TS G( f ) ? TS ? ? ? f TS

? ? ? TS Sa(? f TS ) ?

当 f = mfs 时:若m = 0,G(0) = Ts Sa(0) ? 0,故频谱Ps(f)

中有直流分量。
若m为不等于零的整数,
G(mfS ) ? TS Sa(n? ) ? 0

频谱Ps(f)中离散谱为零,因而无定时分量 24

第6章 数字基带传输系统
这时,下式
1 1 2 ? 2 2 PS ( f ) ? f S G( f ) ? f S ? G(m fS ) ? ( f ? m fS ) 4 4 m???

变成
1 2 ? sin ? fTS PS ( f ) ? f S TS ? 4 ? ? fTS

TS 1 ? 1 2 ? Sa ( ? fT ) ? ?( f ) S ?? ?(f ) 4 4 ? 4

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第6章 数字基带传输系统
?

若表示“1”码的波形g2(t) = g(t)为半占空归零矩形脉冲, 即 脉冲宽度? = Ts /2 时,其频谱函数为 TS ? f TS
G( f ) ? Sa ( )

当 f = mfs 时:若m = 0,G(0) = Ts Sa(0)/2 ? 0,故功率谱 Ps(f)中有直流分量。

2

2

若m为奇数,

G (m fS ) ?

TS m? Sa( )?0 2 2

此时有离散谱,因而有定时分量(m=1时) 若m为偶数, T m?
G (m fS ) ?
S

此时无离散谱,功率谱Ps(f)变成
TS 1 ? 2 ?fTS 2 m? PS ( f ) ? Sa ( )? Sa ( )? ( f ? m fS ) ? 16 2 16 m??? 2

2

Sa(

2

)?0

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第6章 数字基带传输系统
?

单极性信号的功率谱密度分别如下图中的实线和虚线所示

单极性

( P ? 1/ 2)
实线——NRZ 虚线——RZ

0

fs

3 fs

f

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第6章 数字基带传输系统
?

【例6-2】 求双极性NRZ和RZ矩形脉冲序列的功率谱。 【解】对于双极性波形:若设g1(t) = - g2(t) = g(t) ,则由 2 式 Ps ( f ) ? Pu ( f ) ? Pv ( f ) ? f S P(1 ? P) G1 ( f ) ? G2 ( f )
?

可得

m ? ??

?

?

f S [ PG1 (m fS ) ? (1 ? P)G2 (m fS )] ? ( f ? m fS )
2

2

PS ( f ) ? 4 f S P(1 ? P) G( f ) ?

m ? ??

?

?

f S (2P ? 1)G(m fS ) ? ( f ? m fS )

2

当P = 1/2时,上式变为
PS ( f ) ? f S G ( f )
2

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第6章 数字基带传输系统
PS ( f ) ? f S G ( f )
?

2

讨论: ? 若g(t)是高度为1的NRZ矩形脉冲,那么上式可写成
PS ( f ) ? TS Sa2 (?fTS )
?

若g(t)是高度为1的半占空RZ矩形脉冲,则有 T ? PS ( f ) ? S Sa 2 ( fTS ) 4 2

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第6章 数字基带传输系统
?

双极性信号的功率谱密度曲线如下图中的实线和虚线所示
双极性 ( P ? 1/ 2) 实线——NRZ 虚线——RZ

0

fs

3 fs

f

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第6章 数字基带传输系统
?

从以上两例可以看出:
?

二进制基带信号的带宽主要依赖单个码元波形的频谱函数

G1(f)和G2(f) 。时间波形的占空比越小,占用频带越宽。若
以谱的第1个零点计算, NRZ(? = Ts)基带信号的带宽为BS = 1/? = fs ;RZ(? = Ts / 2)基带信号的带宽为BS = 1/? = 2fs 。