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江西省吉安县凤凰中学2014高中数学《2.3.2平面向量的正交分解及坐标运算和共线的坐标表示》学案



江西省吉安县凤凰中学 2014 高中数学《2.3.2 平面向量的正交分解及 坐标运算和共线的坐标表示》学案 新人教 A 版必修 4
【学习目标】 1.理解向量的正交分解及其意义。 2.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则,能熟练进行向量的坐标运算; 3.理解并掌握用坐标表示平面向量共线的条件,能应用平面向量共线的条件解决向量共线的 有关问题. 【重点、难点】 重点:理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则,能熟练进行向量的坐标运算 难点:能灵活应用平面向量共线的条件解决向 量共线的有关问题. 自主学习案 【知识梳理】 1. 平面向量的正交分解 由平面向量的基本定理,对于平面内的任一向量 a 均可以分解为不共线的两个向量 λ 1 a1 和 λ 2 a 2 ,使 a =λ 1 a1 +λ 2 a 2 ,若 向量基本定理的特殊形式,是向量坐标表示的理论基础。 2. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底,由平 面向量基本定理知,对于平面 内任一向量 a ,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj , 即 a =________
一一对应 从原点出发的向量 OA ?? ? ??向量的坐标( x, y)

?

?

,则称为 a 的正交分解,它是平面

?

3.已知 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则: (1) a + b =____________ (2) a - b =____________ (3) ? a =____________ 4. 若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 AB = 5. 设 a .

?

? ? ? ? ? ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,其中 b ? 0 ,当且仅当__________时, a ∥b 。

【预习自测】 1、已知 i 、 j 分别是与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量,若 a =(3,4) ,则 a 可以用 i 、

j 表示为(
A. a ? 3 i ? 4 j 2.已知向量 a
? ? ?



?

B. a ? 3 i ? 4 j

?

?

?

? ? a ?b =

? (1,3) ,向量 b ? (?2,1) ,求以下向量的坐标运算: ? ? ? ? ? 3a ? a ?b= 2a ? 3b =

-1-

?

C. a ? ? 3 i ? 4 j

?

?

?

D. a ? 4 i ? 3 j

?

?

?

3.已知 A(?1,2), B(3,?4) ,则向量 AB 的坐标是

4.下面各组的两个向量,共线的是(

? ? A、 a ? (?2,3),b ? (4,6) ? ? C、 e ? (2,3), f ? (3,2)
【 我的疑问】



B、 c ? (1,?2), d ? (4,6) D、 g ? (?3,2), h ? (6,?4)

?

?

?

?

合作探究案 【课内探究】 例1、 已知 a ? (2,1), b ? (?3,4) ,求 a ? b , a ? b ,3a ? 4b 的坐标。

?

?

?

? ?

? ?

?

变式:已知 a ? (1,?2),b ? (?3,1), c ? (11 ,?7) ,且 c ? xa ? yb ,求 x , y .

?

?

?

?

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?

例 3.已知 a ? (1,2), b ? (?3,2) ,若 ka ? b 与 a ? 3b 平行,求 k.

?

?

?

?

?

变式:已知 A(?1,?1), B(1,3), C (2,5) ,试判断 A、B、C 三点是否共线。
-2-

例 4:设点 P 是线段 P 1P 2 上的一点, P 1 , P2 的坐标分别是 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) 。 (1) 当点 P 是线段 P 1P 2 的 中点时,求点 P 的坐标; ( 2) 当点 P 是线段 P 1P 2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标。

总结提升: 向量的正交 分解实质 上是平面向量基本定理的一种特殊形式; 向量的坐标表示也是向量的 代数表示,向量的坐标表示体现了数形的紧密联系,从而可用“数”来解决“形”的问题。 【当堂检测】 1. 下列说法正确的是( ) A ..平面内由单位向量组成的正交基底有只有一对, B.相等向量的坐标相同,并且它们起点的坐标,终点的坐标都要相同 C.平面内任何两个不共线的非零向量都能作为基底向量。 D. 平面内任何两个不共线的非零向量都能作为正交基底向量 2.在平面直角坐标系中,O 为原点,已知点 A 的坐标为(2,3)点 B 的坐标为(6,5) ,则 , AB ? ________ ? ? ? ? 3.若 a ? (2,3),b ? (4, m ? 1), 且 a ∥ b ,则 m 等于(

OA ?

?

, OB ?

?

) D、8

A、 5

B 、6

C、 7

4.已知点 O(0,0) ,向量 OA ? (2,3),OB ? (6,?3) ,点 P 是线段 AB 的三等分点,求点 P 的坐 标。

课后练习案 1. O 是坐标原点,向量 OA 的坐标是(4,0) ,向量 OB 2. 已知 m ? (2,7), n ? ( x ? 2,7) ,若 m ? n ,则 x= 3.已知向量 a ? ( x ? y, xy) , b ? (?10,?12) ,若 a

?

1 OA ,则向量 OB 的坐标是 2

1 ? ? b ,求 x,y. 2

4.已知表示向量 a 的有向线段始点 A 的坐标,求它的终点 B 的坐标:

?

-3-

(1) a ? (?2,1), A ? (0,0)

?

(2) ? ? (5, ?4), A ? (3, ?6)

5.已知

ABCD 的顶点 A(-1,-2),B(3,-1) ,C(5,6) ,求顶 点 D 的坐标。

-4-



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